第一章§1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积学习目标1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱
、锥、台和球的体积公式.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点一祖暅原理思考取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示)，并改
变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？答案体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高
的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.梳理祖暅原理的含义及应用(1)内容：幂势既同，则积不容异.
(2)含义：夹在的两个几何体，被平行于这两个平面的所截，如果截得的，那么这两个几何体的体积相等.(3)应用：的两个柱体或锥
体的体积相等.两个平行平面间两个截面的面积总相等任意平面等底面积、等高知识点二柱、锥、台、球的体积公式名称体积(V)柱体棱柱__
_____圆柱__________锥体棱锥_________圆锥_________V＝ShV＝πr2h台体棱台__________
___________圆台_____________________球__________其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h
表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径．[思考辨析判断正误]1.锥体的体积等于底面面积与高之积.()2.台
体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()3.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.()×√×题型探究类型一柱体、锥
体、台体的体积例1(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的
体积为_____.解析答案(2)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′D
D′的体积与剩余部分的体积之比.解设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.解答
反思与感悟(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解.②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积
和高都易求的形式即可.③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算
，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.跟踪训练1已知一个三棱台上、下底面分别是边
长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.解答解如图，在三
棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高.
又因为A′B′＝20cm，AB＝30cm，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为＝1900(cm3).类型二球的体积例2(1
)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，如果不计容器厚度，则球的体积为√解析答案解析作出该球轴的截面如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，设DE＝x，故AD
＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一
个球面上，则该球的体积为_____.解析答案反思与感悟(1)求球的体积，关键是求球的半径R.(2)球与其他几何体组合的问题，往往
需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等.√解析答案解析设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面
圆O1，如图所示.(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为√解析由题意知，该三棱柱为
正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，解析答案类型三几何体体积的求法命题角度1等体积
法例3如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为___.解析解
析答案反思与感悟(1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积.(2)利用等体积法可求点到平面的距离.跟踪训练3
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.解在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD
，AB＝AD＝AA1＝a，解答命题角度2割补法例4如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB
，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.解答解如图，连接EB，EC.四棱锥E－ABCD的体积∵A
B＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.反
思与感悟当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体
，从而求出原几何体的体积.跟踪训练4如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几
何体的体积.解用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10
π.解答达标检测1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为√1234
5解析答案2.若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为A.1 B.2 C.3
D.4√解析设两球的半径分别为R，r(R＞r)，∴R－r＝1.12345解析答案3.现有一个底面直径为20cm的装有一部分
水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中.当铅锤从水中取出后，杯里的水将下
降A.0.6cm B.0.15cm C.1.2cm D.0.3cm√12345解析答案√解析设圆锥的母线为l
，底面半径为r.12345解析答案5.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为____.12345解析答案1.计算柱体
、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.
旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面.例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形
，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面.2.在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的
体积计算问题.规律与方法V＝ShV＝πr2hV＝πh(r2＋rr′＋r′2)V＝πR3V＝h(S＋＋S′)解析三棱锥B1－ABC
1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.∴剩余部分的体积为VABCD－A′
B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc，∴VC－A′D′D＝CD·S△A′D′D＝a·bc＝abc，所以DD′＝(
cm)，O′D′＝×20＝(cm)，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2).由S侧＝S上＋S下，
得75DD′＝325，所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.V＝(S上＋S下＋)＝×所以棱台的高h＝O′O＝＝＝4(
cm).OD＝×30＝5(cm)，A.cm3B.cm3C.cm3D.cm所以V＝πR3＝(cm3).解析长方体的体对角
线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为＝a，得球的半径为a，V＝π3＝a3.a3跟踪训练2(1)一平面截一球得到直径为2cm
的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是A.12πcm3B.36πcm3C.64πcm3D.108πcm
3∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3).在Rt△OO1A中，O1A＝cm，OO1＝2c
m，故S球＝4πR2＝πa2.易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R满足R2＝OA2＝2＋2＝a2，A.πa2B.πa2C
.πa2D.5πa2＝××1×1×1＝.∴×a2·a＝××a×·a·d，∴d＝a.A1B＝BD＝A1D＝a，∴V三棱锥F－EBC
＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4.V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.
解析V＝Sh＝××3＝.A.B.C.D.则由题意得解得解析设杯里的水下降hcm，由题意知π2h＝×20×π×32，解得h＝0.6cm.S侧＝πrl＝16π，②由①②可得r＝4，l＝4，V圆锥＝πr2h＝r2＝π.4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是A.B.C.64πD.128π由题意知，l＝r，①所以V＝Sh＝×6××2＝.解析依题意得正六棱锥的高为＝2， |
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