第一章§1.1空间几何体1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征学习目标1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体.2.认识和把握棱柱、棱
锥、棱台的几何结构特征.3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点一
多面体多面体的有关概念(1)多面体：由若干个所围成的几何体.(2)多面体的相关概念①面：围成多面体的.②棱：相邻的两个面的.
③顶点：棱和棱的.④对角线：连接的两个顶点的线段.⑤截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部).(3)凸多
面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面，则这样的多面体就叫做凸多面体.平面多边形各个多边形公共边公共点不在同一
个面上都在这个平面的同一侧知识点二棱柱1.棱柱的定义及表示名称棱柱特征性质或定义条件：①有两个的面；②夹在这两个平行平面间的
都互相平行图形表示及相关名称棱柱(或棱柱)互相平行每相邻两个面的交线ABCDE－A′B′C′D′E′AC′2.棱柱的分类(1)
按底面多边形的边数(3)特殊的四棱柱知识点三棱锥1.棱锥的定义及表示名称棱锥特征性质或定义条件：①有一个面是；②其余各面都是
的三角形图形表示及相关名称棱锥(或棱锥)多边形有一个公共顶点S－ABCDS－AC2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数正多边形
过底面中心，且与底面垂直知识点四棱台1.棱台的结构特征及分类名称定义图形及表示相关概念分类棱台棱锥被_______所截，截面和
底面间的部分叫做棱台如图可记作：棱台________________上底面：原棱锥的.下底面：原棱锥的.侧面：其他各面.侧棱：
相邻两侧面的公共边.高：两底面间的距离由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……截面平行于底面底面的
平面ABC－A′B′C′2.特殊的棱台正棱台：由截得的棱台.正棱锥[思考辨析判断正误]1.棱柱的侧面都是平行四边形.()2
.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.()3.夹在两个平行的平面之间，其余面都是梯形，这样的几何体一定是棱台.(
)√××题型探究类型一棱柱、棱锥、棱台的有关概念例1(1)下列命题中正确的是A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两
个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的
底面D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形√解析正四棱柱中两个相对侧面互相平行，故B错；平行六面体的任意两个相
对面可作底面，故C错；棱柱的底面可以是平行四边形，故D错.解析答案(2)下列说法正确的序号是____.①棱锥的侧面不一定是三角形；
②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台.③解析棱
锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定
交于一点，③正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故④不正确.解析答案反思与感悟棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)棱柱有两个主要结构特
征：一是有两个面互相平行，二是各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形.(2)棱锥有两个主要结构特征：一是有一个面是多边形，二是其余各面
都是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台的上、下底面平行且相似，各侧棱延长交于一点.跟踪训练1(1)下列命题：①各侧面为矩形的棱柱
是长方体；②直四棱柱是长方体；③侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；④各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱柱.其中正确的是____.(填序号)
③解析①中一定为直棱柱但不一定是长方体；②直四棱柱的底面可以是任意的四边形，不一定是矩形；③符合直棱柱的定义；④中的棱柱为一般直
棱柱，它的底面不一定为正方形.解析答案(2)下列命题：①各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③
棱锥的所有侧面可以都是直角三角形；④四棱锥的侧面中最多有四个直角三角形；⑤棱台的侧棱长都相等.其中正确的命题有_____.(填序号
)③④解析答案解析在四棱锥P－ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，底面ABCD为矩形，但不一定是正方形，这样的棱锥就不是正四棱锥
，因此①错误；底面是正多边形，但侧棱长不一定都相等，这样的棱锥也不一定是正棱锥，故②错误；在三棱锥P－ABC中，PA垂直于平面AB
C，∠ABC＝90°，则此三棱锥的所有侧面都是直角三角形，故③正确；在四棱锥P－ABCD中，PA垂直于平面ABCD，四边形ABCD
为矩形，故④正确；棱台的侧棱长不一定都相等，故⑤错误.类型二简单几何体中的计算问题例2正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，求正
三棱锥的高.解作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点.解答引申探究1.若本例条件不变，求
正三棱锥的斜高.解作出正三棱锥如图，取AB的中点E，连接SE，则SE为该正三棱锥的斜高，解答2.若将本例中“正三棱锥”改为“正四
棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高.解如图，在正四棱锥S－ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝3，解答反思与感悟(1)正棱锥
中直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高为PO，底面为正方形，作PE⊥CD于点E，则PE为斜高.①斜高、侧棱构成直
角三角形，如图中Rt△PEC；②斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE；③侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.(2)正
棱台中直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上，下底面中心，作O1E1⊥B1C1于点E1，OE⊥BC于点E
，则E1E为斜高.①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1；②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO；③高、侧棱构成
直角梯形，如图中梯形O1OCC1.跟踪训练2已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高
、侧棱长.解答解如图，设O′，O分别为上、下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点，∴EF⊥B′C
′，即EF为斜高.由上底面面积为4，上底面为正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4.∵四边形BCC′B′的面积为12,∴EF
＝4.过B′作B′H⊥BC交BC于H，则BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4.类型三多面体的展开图例3如图，在侧棱
长为的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值.解沿着侧棱
VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图.则AA′的长即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.故截
面△AEF周长的最小值为6.解答反思与感悟求几何体表面上两点间的最小距离(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.(2
)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.(3)结合已知条件求得结果.跟踪训练3如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝
2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为√解析沿
侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图).由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过M到达
C1的路线最短.解析答案达标检测1.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是A.①是棱柱 B.②不是棱锥C.③不是棱锥 D.④
是棱台√解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.12345解析答案2.下列说法中，
正确的是A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B.用一个平面去截棱锥，棱锥底
面与截面之间的部分是棱台C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形√解析B
错，截面与底面平行时才能得棱台；C错，棱柱底面可能是平行四边形；D错，棱柱侧面的平行四边形不一定全等，如长方体.12345解析答案
3.下列说法错误的是A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧
面为三角形√解析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故D错.12345解析答案4.正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两
条侧棱作截面SAC，则截面面积为________.则有SA2＋SC2＝AC2，∴∠ASC＝90°.12345解析答案5.对棱柱而言
，下列说法正确的是_____.(填序号)①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形
状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱.①③解析①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；③正确，根据
棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.12345解
析答案1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.2.(1)各种棱柱之间的关系①棱柱的分类规律
与方法②常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：名称底面侧面侧棱高平行于底面的截
面棱柱斜棱柱平行且全等的两个多边形平行四边形平行且相等?与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与
底面全等正棱柱平行且全等的两个正多边形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一
个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点?与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰
梯形相等且延长后交于一点?与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点?与底面相似(2)按侧棱与底面是否垂直棱柱棱柱
棱锥(2)特殊的棱锥正棱锥在Rt△ADO中，AD＝，∠OAD＝30°，故SO＝＝3，故三棱锥的高为3.故AO＝＝.2在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，所以SE＝＝.在△SAE中，SA＝2，AE＝，在Rt△SOC中，SC＝2，所以SO＝＝＝.AC＝3，所以OC＝.即正四棱锥的高为.∴×(2＋4)·EF＝12，同理，在直角梯形O′OFE中，计算出O′O＝.综上，该正四棱台的侧棱长为，斜高为4，高为.在Rt△B′BH中，BB′＝＝.在△VAA′中，AA′＝2×2×＝6，2A.2B.2C.4D.4所以最短路线长为BC1＝＝2.解析AC＝＝a，由SA＝SC＝a，所以S△SAC＝·a·a＝a2.a2棱柱 |
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