第一章§1.1空间几何体1.1.4投影与直观图学习目标理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图.内容索引问题导学题型探究达标
检测问题导学知识点直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的.(2)斜二测画法的规则①在已知模型所在的空间中取水平平面，
作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使∠xOz＝，且∠yOz＝.②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y
′，O′z′，使∠x′O′y′＝，∠x′O′z′＝，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.平面图形90°90°45°(或135
°)90°③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于、或的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与
已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系.④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，长度为.⑤画图完成
后，擦去作为辅助线的，就得到了空间图形的直观图.y′轴x′轴z′轴相同保持长度不变原来的一半坐标轴[思考辨析判断正误]1.用
斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()2.用斜二测画法
画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.()3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(
)×××题型探究类型一直观图的画法例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图.解答解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB
所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)
(2)所示.(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取
点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2).(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3).
引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解答解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立
直角坐标系.(2)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E
′＝OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水
平放置的等腰梯形ABCD的直观图.反思与感悟(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便.(2)在画水平放置
的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标
轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶
点顺次连接即可.跟踪训练1(1)用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.解答解①如图a所示，以BC边
所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.②画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°
.(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定).解答解①画轴.如图c，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz
＝90°.②画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.③画顶点.在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的
高.④画棱.连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S－ABCD的直观图，如图d所示.类型二直观图的还原与
计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.解答解
①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上
取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形
，如右图所示.反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对
于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.跟踪训练2如图所示，矩形O′A′B′
C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是____形.菱解析答案命题角度2原图
形与直观图的面积的计算例3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，
A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.解答解如图，建立直角坐标系xOy，
在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取
AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰
的长度AD＝2，反思与感悟(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成
45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.跟踪训练3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图
是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是√解析答案达标检测1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边
形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为A.16 B.64C.16或64 D.无法确定√解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也
可能等于8，所以正方形的面积为16或64.1234解析答案2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的√解
析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.1234解析答案3.有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其用
斜二测画法得到的直观图的面积为____cm2.1234解析答案4.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.1234解答解
(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示.(2)如图②所示
，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，1234过E′作E′C′∥y′轴，连接D′C′
，B′C′.(3)擦去坐标轴及B′E′，E′C′，则所求四边形OBCD的直观图如图③所示.12341.画水平放置的平面图形的直观图
，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量
多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直
的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变
，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.规律与方法3.中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较
大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致.若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似.在x′轴上截取
O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝OA＝cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC
的直观图，如图b所示.∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形.解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝
2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，所以面积为S＝×2＝5.(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝S.A.B.C.D.2解析直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为∶4，所以原图形的面积为，故选C.5解析该矩形直观图的面积为×5×4＝5.使E′C′＝EC.使得O′D′＝OD； |
|
