第一章§1.1空间几何体1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学习目标1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图
.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积.内容索引问题导学题型探究
达标检测问题导学知识点直棱柱、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积几何体侧面积公式表面积(全面积)直棱柱S直棱柱侧＝___棱柱、棱锥、
棱台的表面积＝＋_______正棱锥S正棱锥侧＝_____正棱台S正棱台侧＝____________圆柱S圆柱侧＝2πRh圆锥
S圆锥侧＝πRl球?S球＝_____ch侧面积底面积4πR2其中c′，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，R表示球的
半径.[思考辨析判断正误]1.多面体的表面积等于各个面的面积之和.()2.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长
，c为底面周长.()3.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.()√××题型探究类型一柱、锥、台的侧(表)面积命题角度1多面体
的侧(表)面积例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.解答解如图，设底面对角
线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56
.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积为4×8×5＝160.反思与感悟多面体表面积的求解方法(1)棱锥、棱台
的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面周长.(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高
、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键.跟踪训练1已知正四棱台的上、下底面边
长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是√解析如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、
上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，连接OE、O1E1，作E1H∥O1O，∴E1H＝2，∴O1O＝2，故选A.解析答案命题
角度2圆柱与圆锥的侧(表)面积例2(1)若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为___cm2.3
π解析因为底面圆的周长为2πcm，所以底面圆的半径为1cm，所以圆锥的底面积为πcm2，圆锥的侧面积为×2×2π＝2π(
cm2)，所以圆锥的表面积为3πcm2.解析答案(2)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为
S，则圆锥的侧面积为___________.解析答案反思与感悟由圆柱、圆锥的侧面积公式可知，要求其侧面积，必须已知(或能求出)它
的底面圆的半径和它的母线长.跟踪训练2轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的√解析设圆锥底面半径为r
，由题意知母线长l＝2r，则S侧＝πr×2r＝2πr2，解析答案类型二简单组合体的表面积例3牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与
圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01m2)下部分圆柱体的
侧面积为S2＝π×5×1.8(m2).∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为解答反思与感悟(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先
要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用.(2)在实际问题中，常通过计算物体的
表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有.跟
踪训练3有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可
能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围.解两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为
5a的边重合在一起，表面积为24a2＋28.三棱柱有三种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a2＋32；边长为3a的边重合在一
起，表面积为24a2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a2＋48.最小的是一个四棱柱，即24a2＋28<12a2
＋48，解答类型三球的表面积例4有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点
，求这三个球的表面积之比.解答解设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切
点及球心作截面，(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作
正方体的对角面得截面，如图③，综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.反思与感悟(1)在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球
心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解.(2)球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方
体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.跟踪训练4已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，
H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为____.解析答案解析如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2，得∵
截面面积为π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，达标检测1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方
形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是√解析设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.S表＝S
侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，1234解析答案2.若正三棱锥的斜高是高的倍，则该正三棱锥的侧面积是底
面积的___倍.21234解析答案设底面边长为a，1234则正三棱锥的侧面积与底面积的比为h′∶OM＝2，故该正三棱锥的侧面积是
底面积的2倍.12343.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为_____.6π解析设圆柱的底面半径为r，高为h.
由2πr＝2π，得r＝1，∴S圆柱表＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π＝6π.1234解析答案4.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图
是一个半圆，则该圆锥的底面直径为____.2解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.1234解析
答案规律与方法1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积
加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截
面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.(c＋c′)h′ch′∴AB2＝2＋2＝＝＝64，由题意，得
×4＝9＋36，∴EE1＝，在Rt△EHE1中，E1H2＝EE－EH2＝－＝4，A.2B.C.3D.∴圆锥的侧面积为πr
l＝πr＝.设圆锥的母线为l，∴l＝＝.解析设圆柱的高为h，则2πrh＝S，∴h＝.∴＝＝2.A.4倍B.3倍C.倍D.2
倍其侧面积为S1＝π××(m2).S＝S1＋S2＝π××＋π×5×1.8≈50.05(m2).解上部分圆锥体的母线长为m，∴a
的取值范围为.即a2<，又a>0，∴0如图①，所以有2r1＝a，r1＝，所以S3＝4πr＝3πa2.所以有2r3＝a，r3＝a，π∴R＝.HA＝·2R＝R，∴OH＝.∴S球＝4πR2＝4π·2＝π.∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，A.B.C.D.＝＝.正三棱锥的侧面积为3·h′a，解析∵＝，＝＝.＝＝正三棱锥的底面积为3··OM·a，则πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr， |
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