宝山区2017学年度第二学期期中
高三年级数学学科教学质量监测试卷
本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
考生注意：
1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面
2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题
3．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题本大题共有12题，满分54分填对得4分，否则一律得零分7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
设全集，若集合，，则．
设抛物线的焦点坐标为，则此抛物线的标准方程为．
某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为．1.68，1.71，1.73，1.63，1.81，1.74，1.66，1.78，则这组数据的中位数是（米）．
函数的最小正周期为．
已知球的面积为则该球的为
若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．
在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女生都有，则不
同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．
设无穷等比数列的公比为若则
若事件满足．
设奇函数为当时（这里为常数对一切成立则的取值范围为
如图，已知为内的一点，满足，
，，则的值为
将实数中的最小值记为．在锐角中，，，点在的边上或内部运动，且，由所组成的图形为.设、的面积为、，若，则．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
”是“”的（）
（）充分不必要（）必要不充分条件
（）（）既不充分也不必要条件
在的二项展开式中常数项等于（）
（）（）（）（）
若函数（）满足、均为奇函数，则下列四个结论正确的是（）
）为奇函数（）为
（）为奇函数（）为函数
，若使得对一切成立的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”．设函数（）及数列，且，若，则当时，下列结论正确的应为（）
）数列的“准最大项”存在，且为.
（）数列的“准最大项”存在，且为.
（）数列的“准最大项”存在，且为.
（）数列的“准最大项”不存在.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
（本题满分4分）
如图在中为底面，
，点在侧棱上且为侧棱的中点
（1）求的体积
（2）求异面直线与所成角的大小
（本题满分4分）6分，第2题满分8分．
设为关于的（）的虚根，为虚数单位
（1）当时，求的值；
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围．
（本题满分4分）2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分
某渔业公司最近开发出的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点．研究表明：用该项技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为（单位：千克/年），养殖密度为（）（单位：尾/立方分米）．当不超过4（尾/立方分米）时，的值恒为2（千克/年）；当时，是的一次函数，且当达到20（尾/立方分米）时，因养殖空间受限等原因，的值为0（千克/年）．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数的最大值．
（本题满分6分）
在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为：
（，）的右顶点与的
（1）求的方程
（2）如图，、为的左右焦点（）在的右支上，且的平分线与轴、轴分别交于点（）、，试比较与的大小，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设过点、的直线与交于、两点，求面积的
最大值．
（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．
（这里，，，且）．
（1）若成等差数列，求的值；
（2）已知（）是公比为的等比数列，，是否存在正整
数，使得，且？若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）如果存在正常数，使得对一切成立，那么称数列有界.已知
，为正偶数，数列满足，且（），证明：数列有界的充要条件是.
宝山二模参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）
题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.72 9 题号 7 8 9 10 11 12 答案 1688
题号 13 14 15 16 答案
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．解：（1）依为点到面的距离故所求的体积为
（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，易得，，，，
故，，，
设异面直线与所成的角为，则
，，，因此，异面直线与所成角的大小为．
18．解：（1）由已知可得、均为关于的方程（）的虚根，故由韦达定理，得，即.
（2）依题意得也是方程（）的虚根，所以，即，
因此，为圆上的点，由复数几何意义可知，，从而，的取值范围是．
19．解：（1）由题意可知：当时，；当时，设，由已知得，
解得，故函数.
（2）得，当时，，故；当时，，故．综上，的最大值为12.5．
20．解：（1）椭圆的右焦点为的右顶点，，又与的一条渐近线平行，得，的方程为
（2）依题意可得、，则直线：，
直线：，点在的平分线上，
，又，且，
（※），注意到，且动点在的右支上，故
．利用，，（※）可化为：
，解得，最后，结合可得．
（3）由（2）知：直线：，，从而，直线：，
由可得，注意到，设，
，则，，故
，显然当即时，取得最大值，此时点的坐标为．
21．：（1），，成等差数列，即，解得.
（2）设正整数满足题设要求，则，，（），从而.
由可得（※）；由可得（※※）；
消去得，解得，再由（※※）得，得，这样，便有.
或这样：由（※）、（※※）消去得，所以，注意到，故，于是由（※）、（※※）可得，，从而.
（3）易得（）．
充分性：
设，即，
则由，且可得（※※※）.
现用数学归纳法证明：数列的每一项都落在区间中.
（10）当时，，结论成立；
（20）假设当时，结论成立，即，
那么，当时，因为，且为正偶数，所以，，又，并利用（※※※），便得，即，这就是说，当时，结论也成立.
综上，数列的每一项都落在区间中，因而，数列有界.
必要性：
假设，即，
则由为正偶数，可得（※※※※）.，，故，即，进而
，即，，……………
利用函数在上递增，可知：，
即数列单调递增，并且从第二项起的每一项都大于.
，利用（※※※※）便有
，
即（），
这表明，数列中相邻两项的差距越来越大，与数列有界矛盾！所以，假设不成立，即成立.
综上，数列有界的充要条件是.
宝山区2017学年度第学期高三年级数学学科教学质量监测试卷第59页
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