崇明区2018届第二次高考模拟考试试卷
数学
考生注意：
1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟．
2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1－6题每题4分，7－12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】
1．已知集合，则．
2已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则．
3是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为4．若，则
5．我国古代数学名著《九章算术》有米谷粒分题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为，则此圆锥的体积为（结果保留）．
7若二项式的展开式中一次项的系数是，则．
8的焦点、，抛物线的焦点为，若，
则．
9．设是定义在上以2为周期的偶函数，当时，，则函数在上的解析式是．
1某办公楼前有7个连的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是．
．12．在平面四边形中，已知，则的值为．
4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，
选对得5分，否则一律得零分.】
13．“”是”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14若是关于的实系数方程的一个复数根，则
A． B． C．D．
1将函数图上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图上，则
A．，的最小值为B．，的最小值为
C．，的最小值为D．，的最小值为
1为两点、的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点A、B、C，都有和直线，则；
③定点、，动点满足，
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分.）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，求异面直线与所成角的大小；
求点到平面的距离
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．）
已知点、依次为双曲线的左右焦点，，，（1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离；
（2）若双曲线上存在点，使得，求实数的取值范围
1914分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．）
如图，某公园有三条观光大道围成直角三角形，其中直角边，斜边．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏，所在位置分别记为点．
（1）若甲乙都以每分钟的速度从点出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟分钟出发，当乙出发分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；
（2）设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．
20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．）
已知函数．
（1）证明：当时，函数是减函数；
根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得，
且．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分9分．）
设数列的前n项和为若，则称是紧密数列（1）已知数列是紧密数列，其前5项依次为，求的取值范围（2）若数列的前n项和为，判断是否是紧密数列，并说明理由；
（3）设数列是公比为的等比数列若数列与都是紧密数列，求的取值范围
崇明区2018届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准
填空题
；2.；3.；4.；5.；6.；
；8.；9.；10.；11.；12.
选择题
A14.C15.A16.D
解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，
则,,,
所以，……3分
设异面直线与所成角
则……6分
所以异面直线与所成角
设平面的一个法向量为
则……2分
所以
取，得……4分
所以点到平面的距离
解:(1)由题意知:,,?……2分所以直线的方程为：，即?……4分
所以到的距离
所以
，所以……3分
所以，即
因为，
所以……5分
所以，又……7分
故实数的取值范围
19.解：（1）依题意得，，
在△中，，∴，……2分
在△中，由余弦定理得：
，
∴.……5分
所以甲乙两人之间的距离为m.……6分
（2）由题意得，，
在直角三角形中，，……1分
在△中，由正弦定理得，即，
∴，，……5分
所以当时，有最小值.……7分
所以甲乙之间的最小距离为. ……8分
解：（1）证明：任取，设，
则
因为，所以，又
所以，即……3分
所以当时，函数是减函数……4分
当时，，所以，
所以函数是偶函数……1分
当时，
所以函数是奇函数……3分
当且时，，
因为且
所以函数是非奇非偶函数……5分
证明：由（1）知，当时函数是减函数，
所以函数在上的值域为，
因为，所以存在，使得.……2分
假设存在使得，
若，则，若，则，
与矛盾，故是唯一的……5分
假设，即或，则或
所以，与矛盾，故……7分
解：（1）由题意得：
所以……3分
（2）由数列的前项和，得．……3分
所以，……4分
因为对任意，，即，所以，，即是“紧密数列”．……6分
（3）由数列是公比为的等比数列，得，因为是“紧密数列”，所以．……1分
①当时，，因为，所以时，数列为“紧密数列”，故满足题意．……2分
②当时，，则．因为数列为“紧密数列”，所以，对任意恒成立．
（ⅰ）当时，，
即，对任意恒成立．
因为，，，
所以，，
所以，当时，，对任意恒成立．……5分
（ⅱ）当时，,即，对任意恒成立．因为．所以，解得，
又，此时不存在．……8分
综上所述，的取值范围是．……9分
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