虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试
高三数学试卷
（时间120分钟，满分150分）2018.4
一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）
1．已知，，且，则实数的范围是．
2．直线与直线互相平行，则实数．
3．已知，，则．
4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则．
5．已知函数，则．
6．从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为．
7．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则_______．
8．若将函数表示成则的值等于．
9．如图，长方体的边长，，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于．
10．椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.
11．是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是．
12．函数，对于且（），记，则的最大值等于．
二．选择题（每小题5分，满分20分）
13．下列函数是奇函数的是（）．
14．在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为（）
15．直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，则等于（）
48
16．已知数列的首项，且，，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（）
不存在和使得不存在和使得
不存在和使得不存在和使得
三．解答题（本大题满分76分）
17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）
如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，,，高等于3，点，，，为所在线段的三等分点．
（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；
（2）求异面直线，所成的角的大小．
18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）
已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.
（1）若，求边长的值；
（2）求面积的最大值.
19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）
平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.
（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；
（2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求．
20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）
如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.
（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是；
（2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点；
（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线，所成夹角是否相等？并说明理由．
21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.）
已知函数，），（）.
（1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围；
（2）判断在和的单调性，并说明理由；
（3）证明：函数在零点使得立的充要条件是
虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科
期中教学质量监控测试题答案
一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）
1、；2、2；3、；4、2；5、；6、；7、或；
8、20；9、；10、；11、或；12、16；
二、选择题（每小题5分，满分20分）
13、；14、；15、；16、；
三、解答题（本大题满分76分）
17、（14分）解:（1），……2分
，到平面的距离等于，即到平面的距离等于，
三棱柱的体积等于（立方单位），三棱锥的体积等于（立方单位）……………7分
（2）取线段的三等分点，，连，.
∥，∥，的大小等于异面直线，所成的角或其补角的大小.…………9分
，，.
.
异面直线，所成的角的大小等于.………………14分
18、（14分）解：（1）的两个根为.…………2分
，，.…………4分
，，得……………7分
（2）.
，从而，等号当时成立，此时.的面积的最大值等于.……………14分
19、（14分）解：（1）设，.
由，得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列.……………………3分
.………………6分
（2）设，.
由，从而，.数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，.
由得，，又，，数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有，.……10分
令………①
…………②.
①-②得，，得
令
从而………………14分
20、（16分解：在椭圆上，有，在直线上
当时，由，得，直线方程为，代入椭圆方程得，得一个交点，直线是椭圆切线.
当时，有，直线为代入椭圆方程得，有，直线是椭圆切线.…………………4分
另解：不讨论将椭圆方程化为，将直线方程代入消，得到的一元二次方程，然后证明
（2）点不在坐标轴上，，得.，得……………………6分
过点的切线为，得.由，得，从而有，点是线段的中点.…9分
（3）,,的方向向量，.，，，，记与的夹角，与的夹角.………12分
，
，
所以，有，从而有与直线，所成的夹角相等.……16分
21、（18分）解：(1)由，得………………3分
（2）设，
当时，，，，，，
有，，.………………6分
当时，，，，，，有，，.
当时，，，，，.
在递减，在和上递增，从而在上递增.………10分
(3)充分性：当时，有，又，函数在内的图像连续不断，故在内一定存在零点且，有，得，从而.……14分
必要性：当时，.
当时，由成立，可得从而得，，由（2）中的结论可知在递减，在递增，从而，或.
从而，时，有.………………18分
虹口区高三数学本卷共4页第9页
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