黄浦区2018年高考模拟考
数学试卷
(完卷时间：120分钟满分：150分)2018.4
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码；
3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1．已知集合，若，则非零实数的数值是．
2．不等式的解集是．
3．若函数是偶函数，则该函数的定义域是．
4．已知的三内角所对的边长分别为，若，则内角的大小是．
5．已知向量在向量方向上的投影为，且，则=．(结果用数值表示)
6．方程的解．
7．已知函数，则函数的单调递增区间是．
8．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，的取值范围是．
9．已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．
10．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示)
11．已知数列是共有个项的有限数列，且满足，，．
12．已知函数对任意恒有成立，则代数式的最小值是．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的
答()．
()充分非必要条件()必要非充分条件
()充要条件()非充分非必要条件
14．二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有答().
()4项()7项()5项()6项
15．实数满足线性约束条件则目标函数的最大值是
答()．
()0()1()()3
16．在给出的下列命题中，是的是答()．
()设是同一平面上的四个不同的点，若，
则点必共线
()若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为
，且表示方法是唯一的
()已知平面向量满足，且，
则是等边三角形
()在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其
中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．
在四棱锥中，，
1)画出四棱锥的主视图；
(2)若，与平面所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知，线段与弧、的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值．
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知动点到点的距离为，到直线的距离为，.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，若的面积(是坐标系原点)，求直线的方程.
20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数
(1)求函数的反函数；
(2)试问:函数的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，；
(3)若方程的三个实数根满足:，，的值．
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.
已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：
(1)若，，求数列的通项公式；
(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；
(3)若，数列是等比数列，求的数值．
黄浦区2018年高考模拟考
数学试卷参考答案和评分标准
2018.4
说明：
1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的．
一、填空题
1．2．3．4．．．
7．．．10．11．12．
二、选择题．
13．14．15．16．
三、解答题．
17．（本题满分分）本题共有2个小题，第1小题满分分，第2小题满分分．
1)主视图如下：
(2)根据题意，可算得.
又，
按如图所示建立空间直角坐标系，
可得，.
于是，有.
设平面的法向量为，
则即
令，可得，故平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角的大小为，则.
所以直线与平面所成角的大小为.
18．（本题满分1分）本题共有2个小题，第1小题满分分，第2小题满分分．
(1)根据题意，可算得弧()，弧().
又，
于是，，
所以，.
(2)依据题意，可知
化简，得
.
于是，当(满足条件)时，().
答所以当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.
19．（本题满分1分）本题共有2个小题，第1小题满分分，第2小题满分分．
.
又，于是，，化简得
.
因此，所求动点的轨迹的方程是.
(2)联立方程组
得.
设点，则
于是，弦，
点到直线的距离.
由，得，化简得
，解得，且满足，即
因此，所求直线的方程为.
20．（本题满分1分）本题共有个小题，第1小题满分分，第2小题满分分第小题满分分．
1)
当时，.
由，，，.
当时，.
由，，，.
(2)答函数图像上存在两点关于原点对称.
设点是函数图像上关于原点对称的点，
则，，
解得，且满足.
因此，函数图像上存在点关于原点对称.
(3)考察函数与函数的图像，可得
当时，有，，
，，.
当时，有，，
，(当时，).
于是，.
由，，.
因为，不符合题意，舍去；
，.
21．（本题满分1分）本题共有个小题，第1小题满分分，第2小题满分分第小题满分分．
(1)根据题意，有.
由，，得
，.
所以，．
证明(2)，，
∴，，．
∴，．
∴数列是首项为、公差为的等差数列．
解(3)，，
由，得.
是等比数列，且，设公比为，则.
∴当，即，与矛盾．因此，不成立.
当，即，与矛盾．因此，不成立.
，即数列是常数列，于是，().
.
，数列也是等比数列，设公比为，有.
可化为
，.
，
关于的一元二次方程有且仅有两个非负实数根.
一方面，()是方程的根；另一方面，
若，则无穷多个互不相等的都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！
，即数列也是常数列，于是，，.
由，得.
把，代入解得.
．
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