2017学年长宁、嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，若，则实数_______．
2．的展开式中的第项为常数项，则正整数___________．
3．已知复数满足（为虚数单位），则____________．
4．已知平面直角坐标系中动点到定点的距离等于到定直线
的距离，则点的轨迹方程为______________．
5．已知数列是首项为，公差为的等差数列，是其前项和，则_______．
6．设变量、满足条件则目标函数的最大值为_________．
7．将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．
8．三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱的长为________．
9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为、、、的四个相同小
球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相
加之和等于，则中一等奖，等于中二等奖，等于或中三等奖．则顾客抽奖中三
等奖的概率为____________．
10．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_________．
11．在△中，是的中点，，，则线段长的最
小值为____________．
12．若实数、满足，则的取值范围是____________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．“”是“”的………………………………………………………………（）．
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件
14．参数方程（为参数，且）所表示的曲线是………………（）．
（A）直线（B）圆弧（C）线段（D）双曲线的一支
15．点在边长为的正方形的边上运动，是的中点，则当沿
运动时，点经过的路程与△的面积的函数的图
像的形状大致是下图中的……………………………………………………………（）
（A）（B）（C）（D）
16．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示等
于不超过的最大整数，如，．已知，，（且），则等于………………………（）．
（A）（B）（C）（D）
（反面还有试题）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（满分1分．
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）设，，为△的三个内角，若，，求的值．
18．（满分1分中，底面为直角梯形，，∥，，，，平面．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求二面角的余弦值．
19．（满分1分万元到万元的收益．现准备制定一个奖励方案：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过收益的．
（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该团队对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该团队采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．
20．（满分1分：（）的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过点的直线与椭圆交于两个不同的点、（点在点的上方），试求△面积的最大值；
（3）若直线经过点，且与椭圆交于两个不同的点、，是否存在直线：（其中），使得、到直线的距离、满足恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（满分1分的各项均为正数，其前项和为，且满足．数列满足，，且等式对任意成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与的项相间排列构成新数列，，，，…，，，…，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和．
（3）对于（2）中的数列的前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．
2017学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷
参考答案与评分标准
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．2．3．4．5．6．
7．8．9．10．11．12．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．
13．A14．C15．B16．D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（满分1分
，……………………………（每对一步得1分）（4分）
所以，的最小正周期，值域为．……………………………（6分）
（2）由，得，………………………………………（2分）
因为，所以，故，．……（5分）
因为在△中，，所以，…………………………（6分）
所以，
．…………………………………………（8分）
18．（满分1分、、所在直线分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，………………………………………………（1分）
则，，，，………………………（2分）
所以，，，………………………………………（3分）
因为，所以，．……………………………………（5分）
所以，异面直线与所成角的大小为．…………………………………（6分）
（1）法二：连结，因为，所以，………（1分）
由∥，得，所以，………………（2分）
所以，于是，即，…………（4分）
又平面，所以，所以平面，故．
所以，异面直线与所成角的大小为．………………………………（6分）
（2）由（1）平面，所以是平面的一个法向量．（1分）
设平面的一个法向量为，
因为，，则由得
取，则，，故．……………………………………（5分）
设与的夹角为，则．……………（7分）
由图形知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．……………………………………（8分）
19．（满分1分，根据团队对函数模型的基本要求，函数满足：
当时，①在定义域上是增函数；②恒成立；
③恒成立．…………………………………………（3分，每项得1分）
对于函数，当时，是增函数；
，所以恒成立；
但时，，即不恒成立．
因此，该函数模型不符合团队要求．………………………………（6分，每项得1分）
（2）对于函数模型，
当即时递增．………………………………………………（2分）
当时，要使恒成立，即，
所以，；……………………………………………………（4分）
要使恒成立，即，恒成立，
得出．………………………………………………………………………（6分）
综上所述，．…………………………………………………………………（7分）
所以满足条件的最小正整数的值为328．………………………………………（8分）
20．（满分1分关于直线的对称点为，……………………………（1分）
因为在椭圆上，所以，又，故，………………（3分）
则．所以，椭圆的方程为．……………………（4分）
（2）由题意，直线的斜率存在，设的方程为，
由得，………………………………（1分）
由△，得．………………………………（2分）
设，，则，，且，
，
所以，
．…………………………………………………（3分）
令，则，所以，，
因为（当且仅当时等号成立），此时．……………（5分）
所以，当且仅当，即时，△的面积取最大值．…………（6分）
（3）当直线的斜率不存在时，的方程为，此时，，
等式成立；………………………………………………（1分）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，……………………（2分）
设，，则，，
由题意，与一个小于，另一个大于，不妨设，
则
，
所以，，………………………………（4分）
即，解得．…………………………（5分）
综上，存在满足条件的直线，使得恒成立．………………（6分）
21．（满分1分，即，所以，
两式相减得，，…………………………………（1分）
故，………………………………………（2分）
因为，所以．………………………………………（3分）
又由得．
所以，数列是首项为，公差为的等差数列．
所以，数列的通项公式为．…………………………………………（4分）
（2）由题意，数列是首项为，公比为的等比数列，故．…………（1分）
所以，………………………………………………………（3分）
数列的前项和，数列的前项和．…（5分）
所以，．………………………………………………（6分）
（3）当为偶数时，设（），由（2）知，，，
由，得，…………………………………………（1分）
即，…………………………………………………（2分）
设，则，
所以，当时，单调递增，当时，单调递减．………………（3分）
因为，当时，，所以，．
所以，．…………………………………………………………………………（4分）
当为奇数时，设（），则，
，…………………………………………………………………………（5分）
由，得，即，……………（6分）
设，则
，故单调递增，，故．…（7分）
综上，的取值范围是．……………………………………………………（8分）
8
M
O
x
y
l
P
C
D
·
D
P
A
B
C
y
O
x
1
1
2
2.5
2.5
2
1
1
x
O
y
2.5
2
1
1
x
O
y
2.5
2
1
1
x
O
y
2
2
4
左视图
P
A
B
C
主视图
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