2019年全国III卷（丙卷）适用省市范围：云南、广西、贵州、四川、西藏
绝密启用前
201年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题
1．已知集合则
A．B．C．D．
2．若则
A．B． C． D．
3．A．B．C．D．．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．在[0，2π]的零点个数为
A． B． C． D．
6．
A．16 B．8 C．4 D．2
7．在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．a=e，b=-1 B．C．
8．
A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线
B．≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于
A. B. C. D.
10．的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为
A．．．．
11．表示的平面区域为D.命题；命题.下面给出了四个命题
① ② ③ ④
这四个命题中，所有真命题的编号是
A．．．．
12．设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
二、填空题
13．已知向量，则___________.
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则___________.
15．设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
18．（12分）
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
19．（12分）
图1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；
（2）求图2中的四边形ACGD的面积.
20．（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.
21．（12分）
已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.2019年普通高等学校招生全国统一考试科数学参考答案
1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B 11．A 12．C
二、填空题
13． 14．100 15． 16．118.8
三、解答题
17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
18．解：（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故0°
因此，面积的取值范围是．
19．解：（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．
又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．
（2）平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EMCG，故CG平面DEM.
因此DMCG.
在DEM中，DE=1，EM=，故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
20.解：（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0,1]的最小值为，最大值为或.于是
，
所以
当时，可知单调递减，所以的取值范围是.
当时，单调递减，所以的取值范围是.
综上，的取值范围是.
21．：（1），.
由于，所以切线DA的斜率为，故.
整理得
设，同理可得.
故直线AB的方程为.
所以直线AB过定点.
（2）由（1）得直线AB的方程为.
由，可得.
于是.
设M为线段AB的中点，则.
由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.
当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为.
22.解：（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，.
所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.
（2）设，由题设及（1）知
若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得.
综上，P的极坐标为或或或.
23．解：（1）由于
，
故由已知得，
当且仅当x=，，时等号成立．
所以的最小值为.
（2）由于
，
故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．
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