数学解题方法谈8：判别式应用(a≠0)根的判别式△=
△＞0方程有两个不相等的实数根△=0方程有两个相等的实数根
△＜0方程无实数根.
现举几类有难度的例子加以说明:
(一)用于求一元二次方程中的参数:
例、－6x＋9=0有两个不相等的实根，求k的取值范围.
解：∵二次方程kx－6x＋9=0有两个不相等的实根，∴k≠0
又△＝(－6)－4×9k＞0∴36－36k＞0
∴k＜1且当k≠0时二次方程kx－6x＋9=0有两个不相等的实根.
例2、k是什么值时，二次方程(k－1)x＋2kx＋k＋3=0
(1)方程有两个不相等的实数根，
(2)方程有两个相等的实数根,
(3)方程无实数根.
解：∵△＝(2k)－4(k－1)(k＋3)=4k－4(k＋2k－3)
=4k－4k－8k＋12=－8k＋12
(1)由－8k＋12＞0得k＜又∵k－1≠0∴k≠1
即当k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根.
（2）由－8k＋12＝0得k＝即当k＝时，方程有两个不相等的实数根.
（3）由－8k＋12＜0得k＞即当k＞时，方程无实数根.
（二）求证方程根的情况：
例、求证方程有两个不同的实根，并且一个大于a，一个小于a
解：令则
∴原方程有两个不同的实数根
∵∴中有一个大于0，而另一个小于0
不仿设＞0即＞0＜0得而方程有两个不同的实根，并且一个大于a，一个小于a
例、a、b、c是不全相等的实数，证明二次方程、、
这三个方程中至少有一个方程有两个不等的实数根.
解：设这三个方程的判别式分别为、、
则
则＋＋==＋＋
=
∵a、b、c是不全相等的实数，∴＋＋中至少有一个大于0，
即这三个方程中至少有一个方程有两个不等的实数根.例、a、b、c是实数，且a+b+c=0abc=1
求证：a、b、c中至少有一个大于
证明：∵a+b+c=0abc=1∴a、b、c中只能是一个正数两个负数，
不仿设a是正数，则b＋c=－a
∴b、c是方程的两根
∵a、b是实数∴∵a＞0∴≥0
∴a≥＞故命题得证
例、已知x、y、z是实数且满足
试求x、y、z
解：由已知∴x、y是方程的两根
∵x、y是实数∴⊿=36－4≥0得≤0得=0
此时⊿=0则x=y∵x＋y=6∴x=y=3z=0例、已知x、y、z为非零的实数，且
求证：≥3
证明：由已知
∴y、z是方程的两根∵y、z是实数∴⊿≥0
∴即
可得∵x、y、z为非零的实数，
∴＞0＞0故得证≥3
例、已知⊿ABC的三边为、、且b＋c=8
试问⊿ABC是什么三角形，并请证明你的结论.
证明：由已知可知、是方程的两根∵b、是正实数，∴⊿=∴a=6代入方程得：
故⊿ABC是等腰三角形
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