28.1锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数学习目标1.理解并掌握锐角余弦和正切的定义并能进行相关运算.（重点）2.能灵活
运用锐角三角函数进行相关运算.（重点）问题引入如图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠
A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？互动探究我们来试着证明前面的问题：∵∠A=∠D=α，∠C=
∠F=90°，∴∠B=∠E.从而因此一.余弦由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边
与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的
余弦，记作cosα，即斜边角的邻边α从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有
cosα=sin(90°-α)从而有sinα=cos(90°-α)
例1求cos30°，cos60°，cos45°的值．解:cos30°=sin(90°-30°)=sin60°=
；cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=cos45°=sin(90°-45°)=sin45
°=典例精析例2如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C=，D
F=3，求⊙O的半径．解析：由于∠A、∠C所对的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例关系，可用未知数表
示出它们的长．连接BD，易证△BDF∽△ABF，根据所得比例线段即可求得未知数的值，从而得到直径AB的长，从而得到⊙O的半径．
解：连接BD．在⊙O中，∠C=∠A，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得，BF
=3x．∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴cosA=cosC=∴△ABF∽△BDF，∴⊙O的半径为
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A.B.C.
D.练一练D2.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A.B.C.D.
A我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值
也就确定（是一个常数）.那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？想一想二.正切问题如图，△ABC和△DEF
都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？∴Rt△AB
C∽Rt△DEF.即BC·DF=AC·EF，∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∵∴∴由此可
得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．角的
对边角的邻边如下图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα，即例3求tan
30°，tan60°的值.从而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.解如图，构造一个Rt△ABC，使∠
C=90°，∠A=30°，由此得出典例精析于是∠B=60°.因此因此例
4矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．解析：
根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函
数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．解：由折叠的性质可得，CF=CD，∠EFC=∠
EDC=90°.∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，∴∠AFE+∠BFC=90°.∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠
AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.∴tan∠BCF=.∴t
an∠AFE=tan∠BCF=.典例精析例5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求si
nA,cosA,tanA的值.ABC106解：由勾股定理得因此三.锐角三角函数当堂练习1.如图,在Rt△A
BC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍
B.缩小100倍C.不变D.不能确定2.已知∠A,∠B
为锐角，(1)若∠A=∠B,则cosAcosB;(2)若tanA=tanB,则∠A∠B.ABC┌C=
=提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.┌BCA36(1)3.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;解:3.在Rt△ABC中,∠C=90°,(2)如图(2),BC=
3,tanA=,求AC和AB.B┌AC3(2)解:4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝
8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．ABC8解：∵5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，co
sA＝，求sinA、tanA的值．解：∵ABC∴设AC=15k，则AB=17k所以课堂小结余弦函数和正切函数在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦α确定的情况下，cosα,tanα为定值，与三角形的大小无关在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫做角α的正切余弦正切性质 |
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