28.1锐角三角函数第3课时利用方位角、坡度解直角三角形学习目标1.正确理解方向角、坡度的概念；（重点）2.能运用解直角三角形
知识解决方向角、坡度的问题.(难点)情境引入如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？右边的路BD陡些
．如何用数量来刻画哪条路陡呢？以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角,叫做方位角.如图所示：
30°45°BOA东西北南方位角45°45°西南O东北东西北南西北东南北偏东30°南偏
西45°一.解与方位角有关的问题例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正
南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01nmile
）？65°34°PBCA典例精析解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×co
s25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约
130.23nmile．65°34°PBCA例2某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲
在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员
乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向
，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55
°≈1.43).分析：在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间
的大小即可．解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.∴BD＝CD?tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．
BC＝CDcos∠BCD＝40cos55°≈70.2(米)．∴t甲≈57.22＋10＝38.6(秒)，t乙≈70.22＝35.
1(秒)．∴t甲>t乙．答：乙先到达B处．水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡C
D的坡度i=1∶2.5，则斜坡CD的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ADBCi=1:2.52
36二.解与坡度有关的问题αlhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.2.坡度（或坡比
）坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）
,记作i,即i=——hl3.坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值坡面水平面1.斜坡的坡度是，
则坡角α=______度.2.斜坡的坡角是45°，则坡比是_______.3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是__
_____.αlh301：1练一练例3如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了2
40m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2典例精析
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
你还可以用其他方法求出BC吗？因此例4水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡C
D的坡度i=1∶2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;（2）斜坡CD的坡角α（精确到1
°）.EFADBCi=1:2.5236α分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C
作AD的垂线；垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD，
EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出；斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角
的问题实质上就是解Rt△ABE和Rt△CDF.解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F,由题意
可知EFADBCi=1:2.5236αBE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中在Rt
△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得(2)斜坡CD的坡度i=tanα=1
：2.5=0.4，由计算器可算得答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°.
当堂练习1.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于
．90°2.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽
（精确到0.1米,）.?45°30°4米12
米ABCD45°30°4米12米ABCEFD解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可
知DE＝CF＝4（米），CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，在Rt△BCF中，同
理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的宽约为22.93米．3.
海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这
时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAD30°60°解：由点A作BD
的垂线,交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°.由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x,AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理在Rt△ABF中，解得x=6因而10.4>8，所以没有触礁危险.BADF30°60°课堂小结解直角三角形的应用坡度问题方位角问题坡角坡度（或坡比） |
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