角的认识知识点一????角的大小比较内容方法举例度量法先用量角器量出角的度数,再比较其大小(1)对“中”——角的顶点对准量角器的中心;(
2)重合——角的一边与量角器的零刻度线重合;(3)读数——读出角的另一边所对的度数;(4)比较度数——根据度数的大小确定两个角的大
小∠AOB=70°,∠A''O''B''=40°,∠AOB>∠A''O''B''叠合法把两个角的顶点和一边重合,两个角的另一边落在重合边的同侧
,根据另一边的位置关系来比较(1)将两个角的顶点及一边重合;(2)使两个角的另一边落在重合一边的同侧;(3)由两个角的另一边的位置
确定两个角的大小∠AOB>∠A''O''B''?重要提示(1)角的大小关系和角的度数的大小关系是一致的,是从“数”的方面来进行比较的.(
2)使用叠合法时应注意顶点重合,一边重合,两个角的另一边落在重合一边的同侧.(3)两个角的比较还可用中间值法.通过两个角与中间值的
比较,得出大小关系例1如图4-3-2-1所示,点D在∠AOB的内部,点E在∠AOB的外部,点F在射线OA上,试比较下列各角的大小
.?图4-3-2-1(1)∠AOB?∠BOD;(2)∠AOE?∠AOB;(3)∠BOD?∠FOB;(4)∠AOB?∠FOB;(5)
∠DOE?∠BOD.解析??(1)OB重合,OD在∠AOB的内部,故∠AOB>∠BOD.(2)OA重合,OB在∠AOE的内部,故∠
AOE>∠AOB.(3)OB重合,OD在∠FOB的内部,故∠BOD<∠FOB.(4)OB重合,OF与OA重合,故∠AOB=∠FOB
.(5)OD重合,OB在∠DOE的内部,故∠DOE>∠BOD.答案(1)>(2)>(3)<(4)=(5)>点拨用叠合法
比较角的大小的一般步骤:(1)顶点重合;(2)一边重合;(3)两角的另一边落在重合边的同侧;(4)观察两个角的另一边的位置关系,给
出结论.知识点二????角的和、差、倍、分角的运算叙述图例角的和、差如图例,(1)∠AOC是∠AOB与∠BOC的和,记作∠AOC=
∠AOB+∠BOC.(2)∠AOB是∠AOC与∠BOC的差,记作∠AOB=∠AOC-∠BOC?角的倍、分如图例,(1)如果2个∠1
的和是∠2,那么∠2是∠1的2倍或∠1是∠2的?,记作∠2=2∠1或∠1=?∠2.(2)如果3个∠1的和是∠3,那么∠3是∠1的3
倍或∠1是∠3的?,记作∠3=3∠1或∠1=?∠3?重要提示(1)角的和、差是指角的度数的和、差.(2)角的单位换算是60进制,因
此在角的运算中要注意单位的换算.(3)初中数学中角的度数是一个非负数,所以在角的运算中不能出现负值例2根据图4-3-2-2回答下
列问题:?图4-3-2-2(1)∠AOC是哪两个角的和?∠DOB是哪两个角的和?(2)∠AOB是哪两个角的差?(3)如果∠AOB=
∠COD,那么∠AOC与∠DOB的大小关系如何?并说明你的理由.分析(1)在∠AOC内部,从顶点O出发只有一条射线OB把∠AOC
分成两部分,即∠AOC是∠AOB与∠BOC的和;在∠DOB内部,从顶点O出发只有一条射线OC把∠DOB分成两部分,即∠DOB是∠C
OD与∠COB的和.(2)∠AOB在∠AOC的内部,也在∠AOD的内部,因此用两个角差的形式表示∠AOB可以有两种方法.(3)先用
角的和差表示出∠AOC与∠DOB,再看它们的大小关系.解析?(1)∠AOC是∠AOB与∠BOC的和,∠DOB是∠COD与∠BOC的
和.即∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠DOB=∠COD+∠BOC.(2)∠AOB是∠AOC与∠BOC的差,或∠AOB是∠AOD与∠
DOB的差.即∠AOB=∠AOC-∠BOC=∠AOD-∠DOB.(3)∠AOC=∠DOB.理由:因为∠AOB=∠COD,所以∠AO
B+∠BOC=∠COD+∠BOC.即∠AOC=∠DOB.知识点三????角的平分线定义从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角
的射线,叫做这个角的平分线举例如图,射线OC把∠AOB分成两个相等的角,射线OC叫做∠AOB的平分线?基本性质和判定方法(1)角的
平分线的基本性质:如上图,若OC是∠AOB的平分线,则∠BOC=∠AOC=?∠AOB;(2)角的平分线的基本判定方法:若∠AOC=
∠BOC=?∠AOB,则OC是∠AOB的平分线重要提示角的平分线是一条在角的内部的射线,不是线段,也不是直线例3如图4-3-2-
3,∠AOB=42°,∠BOC=86°,OD为∠AOC的平分线,求∠BOD的度数.分析根据∠BOD=∠AOD-∠AOB可知,要求
出∠BOD的度数,首先要求出∠AOD的度数,由角的平分线的定义得∠AOD=?∠AOC,而∠AOC=∠AOB+∠BOC.图4-3-2
-3解析?∵∠AOB=42°,∠BOC=86°,∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=42°+86°=128°.∵OD平分∠AOC,∴∠
AOD=?∠AOC=?×128°=64°.∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=64°-42°=22°.题型???方程思想在求角中的应用
例2如图4-3-2-4,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB且∠COD=19°,求∠AOB的度数.?图4-3-2-4解析?
设∠AOC=x°,则∠COB=2x°.因为∠COD=19°,所以∠BOD=(2x-19)°,∠AOD=(x+19)°.因为OD平分
∠AOB,所以∠BOD=∠AOD,即2x-19=x+19,解得x=38.所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=76°+38°=114°
.题型三????角的平分线与角的和差的综合运用例3如图4-3-2-5,OC是∠AOD的平分线,OE是∠DOB的平分线.?图4-3
-2-5(1)如果∠AOB=130°,那么∠COE是多少度?(2)在(1)的条件下,如果∠COD=20°,那么∠BOE是多少度?解
析?(1)因为OC是∠AOD的平分线,所以∠COD=?∠AOD.因为OE是∠BOD的平分线,所以∠DOE=?∠BOD.所以∠COD
+∠DOE=?∠AOD+?∠BOD=?(∠AOD+∠BOD).因为∠COD+∠DOE=∠COE,∠AOD+∠BOD=∠AOB,所以
∠COE=?∠AOB.因为∠AOB=130°,所以∠COE=65°.(2)因为∠COE=65°,∠COD=20°,所以∠DOE=∠
COE-∠COD=65°-20°=45°.又OE平分∠DOB,所以∠BOE=∠DOE=45°.点拨解这类题目要从角平分线入手找角
的数量关系,利用图形中角的和差转化求解.易错点????没有分类讨论,导致漏解例已知∠AOB=90°,OC是从∠AOB的顶点O引出
的一条射线,若∠AOB=2∠BOC,求∠AOC的度数.错解如图4-3-2-6,因为∠AOB=90°,∠AOB=2∠BOC,所以∠
BOC=45°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-45°=45°.?图4-3-2-6正解?因为∠AOB=90°,∠AOB=
2∠BOC,所以∠BOC=45°.分以下两种情况:(1)当OC在∠AOB的内部时(如图4-3-2-7①),∠AOC=∠AOB-∠B
OC=90°-45°=45°;(2)当OC在∠AOB的外部时(如图4-3-2-7②),∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+45°
=135°.所以∠AOC的度数为45°或135°.?图4-3-2-7错因分析射线OC需分在∠AOB的内部和外部两种情况.当OC在
∠AOB的内部时,∠AOC等于∠AOB与∠BOC的差;当OC在∠AOB的外部时,∠AOC等于∠AOB与∠BOC的和.本题忽略了射线
OC在∠AOB外部的情况,导致漏解.知识点一????角的大小比较1.如图4-3-2-1,射线OC、OD分别在∠AOB的内部、外部,
下列各式错误的是?()A.∠AOB<∠AOD?B.∠BOC<∠AOBC.∠COD>∠AOD?D.∠AOB>∠AOC图4-3-2
-1答案???C由题图易知∠COD<∠AOD,故C不正确,选C.2.(2018湖南长沙一中期末)若∠A=20°18'',∠B=20
°15''30″,∠C=20.25°,则?()A.∠A>∠B>∠C?B.∠B>∠A>∠CC.∠A>∠C>∠B?D.∠C>∠A>∠
B答案?A∵∠A=20°18'',∠B=20°15''30″,∠C=20.25°=20°15'',∴∠A>∠B>∠C.故选A.3.用“
>”或“<”填空.(1)如图4-3-2-2①所示,∠AOC?∠BOC;(2)如图4-3-2-2②所示,∠α?∠MON.?图4-3-
2-2答案(1)>(2)<知识点二????角的和、差、倍、分4.(2018广西柳州实验中学期末)如图4-3-2-3,∠AOC和
∠DOB都是直角,如果∠AOB=150°,那么∠DOC=?()?图4-3-2-3A.30°?B.40°?C.50°?D.60°
答案??A∠DOC=90°+90°-∠AOB=180°-150°=30°.故选A.5.按图4-3-2-4所示填空.(1)∠AO
B+∠BOC=?;(2)∠AOC+∠COD=?;(3)∠BOD-∠COD=?;(4)∠AOD-?=∠AOB.图4-3-2-4答案
(1)∠AOC(2)∠AOD(3)∠BOC(4)∠BOD解析射线OC在∠AOB的外部时,如图1,∠AOC=∠AOB+∠BOC
=80°+20°=100°.射线OC在∠AOB的内部时,如图2,∠AOC=∠AOB-∠BOC=80°-20°=60°.?6.已知
∠AOB=80°,∠BOC=20°,求∠AOC的度数.D.∠BOC=?∠AOB知识点三????角的平分线7.(2017江苏宜兴期末
)如图4-3-2-5,OC为∠AOB内一条射线,下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是?()A.∠AOC=∠BOCB.∠AOB=2∠AOCC.∠AOC+∠COB=∠AOB图4-3-2-5答案?C直接利用角的平分线的定义进行判断.8.如图4-3-2-6所示,点O在直线AB上,射线OD平分∠AOC,若∠AOD=55°,则∠BOC等于?()?图4-3-2-6A.85°B.80°C.70°D.65°答案??C因为射线OD平分∠AOC,∠AOD=55°,所以∠AOC=2∠AOD=2×55°=110°,所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-110°=70°. |
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