高考理数(课标专用)§2.3二次函数与幂函数统一命题·课标卷题组考点一二次函数1.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x2+a
x+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m?()A.与a有关,且与b有关????B.与a有关,但与b无关C.
与a无关,且与b无关????D.与a无关,但与b有关答案?B本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想
和分类讨论思想.解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m与b无关.又a=1时,g(x)m
ax-g(x)min=2,a=2时,g(x)max-g(x)min=3,故M-m与a有关.故选B.五年高考解法二:(1)当-?≥1
,即a≤-2时,f(x)在[0,1]上为减函数,∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)当?≤-?<1,即-2,M=f(0),m=f?,从而M-m=f(0)-f?=b-?=?a2.(3)当0<-??,从而M-m=f(1)-f?=?a2+a+1.(4)当-?≤0,即a≥0时,f(x)在[0,1]上为增函数,∴M-m=f(1)
-f(0)=a+1.即有M-m=?∴M-m与a有关,与b无关.故选B.答案?B当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间?上
单调递减,则n-8<0?n<8,于是mn<16,则mn无最大值.当m∈[0,2)时,f(x)的图象开口向下,要使f(x)在区间?
上单调递减,需-?≤?,即2n+m≤18,又n≥0,则mn≤m?=-?m2+9m.而g(m)=-?m2+9m在[0,2)上为增函数
,∴m∈[0,2)时,g(m)2时,f(x)的图象开口向上,要使f(x
)在区间?上单调递减,需-?≥2,即2m+n≤12,而2m+n≥2?,所以mn≤18,当且仅当?即?时,取“=”,此时满足m>2.
故(mn)max=18.故选B.2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=?(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0
)在区间?上单调递减,那么mn的最大值为()A.16????B.18????C.25????D.?3.(2015陕西,
12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零?),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结
论是?()A.-1是f(x)的零点????B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值????D.点(2,8)在曲线y=
f(x)上答案???A由已知得,f''(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有?解得b=-2a,c=-
3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a≠3,则C错.而f(2)=-3a≠8,则D也错,与题
意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有?由①②得?代入③中并整理得9a2-4a+?=0,又a为非零整数
,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+?=0无整数解,故A错.若B、C、D正确,则有?解得a=5,b=-10,c=8,则f(
x)=5x2-10x+8,此时f(-1)=23≠0,符合题意.故选A.考点二幂函数1.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系
中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是?()答案?D因为a>0,所以f(x)=xa在(0,+∞)
上为增函数,故A错.在B中,由f(x)的图象知a>1,由g(x)的图象知0<1,由g(x)的图象知a>1,矛盾,故C错.在D中,由f(x)的图象知0.(2018上海,7,5分)已知α∈?.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=?.答案-1解析本题主要
考查幂函数的性质.∵幂函数f(x)=xα为奇函数,∴α可取-1,1,3,又f(x)=xα在(0,+∞)上递减,∴α<0,故α=-1
.规律方法幂函数y=xα(α∈R)的性质及图象特征:①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1);②如果α>
0,则幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上为增函数;③如果α<0,则幂函数的图象在区间(0,+∞)上为减函数;④当α为奇数
时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.教师专用题组答案?B易知函数y=(3-a)(a+6)的两个零点是3,-6,其图
象的对称轴为a=-?,y=(3-a)(a+6)的最大值为?3+??×?=?,则?的最大值为?,选B.考点一二次函数1.(2013
重庆,3,5分)?(-6≤a≤3)的最大值为?()A.9????B.??C.3????D.?2.(2014大纲全国,16
,5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间?是减函数,则a的取值范围是?.解析???f(x)=cos2x+asin
x=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x∈?,则t∈?,原函数化为y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性
的判定可知y=-2t2+at+1在?上是减函数,结合二次函数图象可知,?≤?,所以a≤2.答案(-∞,2]3.(2014辽宁,1
6,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,?-?+?的最小值为?.解析设2
a+b=t,则2a=t-b,由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有解
.故Δ=9t2-24(t2-c)≥0,所以t2≤?c,所以|t|max=?,此时c=?t2,b=?t,2a=t-b=?,所以a=?
.故?-?+?=?-?+?=8?=8?-2≥-2.答案-24.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a
,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b
满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=?+b-?,得对称轴为直线x=-?.由|a|≥2,
得?≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-
1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2, 即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得
max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+
a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=?得|a|+|
b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,|f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大
值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点二幂函数(2014上海,9,4分)若f(x)=?-?,则满足f
(x)<0的x的取值范围是?.解析令y1=?,y2=?,则f(x)<0即为y1象知:当0考模拟·基础题组考点一二次函数1.(2018河南安阳模拟,5)已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最
小值-2,则f(x)的最大值为?()A.1????B.0????C.-1????D.2答案?A?f(x)=-x2+4x+
a=-(x-2)2+a+4,∴函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,∴当x=0时,f(x)取得最小值,当x=1时
,f(x)取得最大值,∴f(0)=a=-2,f(1)=3+a=3-2=1,故选A.三年模拟2.(2018湖北荆州模拟,8)二次
函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围
是?()A.(0,+∞)????B.[2,+∞)????C.(0,2]????D.[2,4]答案?D∵二次函数f(x)
满足f(2+x)=f(2-x),∴其图象的对称轴是x=2,又f(0)=3,∴f(4)=3,又f(2)口向上,∵f(0)=3,f(2)=1,f(4)=3,f(x)在[0,m]上的最大值为3,最小值为1,∴由二次函数的性质知2≤
m≤4.故选D.答案????D由题意,f(x)<-m+4对于x∈[1,3]恒成立即m(x2-x+1)<5对于x∈[1,3]恒成
立.∵当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],∴不等式f(x)<-m+4等价于m式mx)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为?()A.(-∞,0]????
B.?C.(-∞,0)∪??D.?答案?D函数f(x)既是二次函数又是幂函数,∴f(x)=x2,∴f(x)+1为R上的偶函数,
又函数g(x)是R上的奇函数,h(x)=?+1,∴h(x)+h(-x)=?+?=?+2=2,∴h(2018)+h(2017)+
h(2016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)=[h(20
18)+h(-2018)]+[h(2017)+h(-2017)]+…+[h(1)+h(-1)]+h(0)=2+2+…+2+1
=2×2018+1=4037.故选D.4.(2018河北保定一模,12)已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是
R上的奇函数,函数h(x)=?+1,则h(2018)+h(2017)+h(2016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…
+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)=?()A.0????B.2018????C.4036?
???D.40375.(2017广东汕头一模,4)命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是?()A
.a<0或a≥3????B.a≤0或a≥3C.a<0或a>3????D.00恒成
立,则a=0或?可得0≤a<3,故当命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a≥3.6.(2017广西南宁兴宁期中
,5)已知函数f(x)=log2(x2+2x+a)的定义域为R,则实数a的取值范围是?()A.(1,+∞)????B.[1,
+∞) C.(-∞,1]????D.(-∞,1)∪(1,+∞)答案????A因为函数f(x)=log2(x2+2x+a)的定义
域为R,所以x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,即a>1,故选A.答案?A∵点?在幂函数f(x)=(a-1)xb的图
象上,∴a-1=1,解得a=2,则2b=?,∴b=-1,∴f(x)=x-1,∴函数f(x)是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇
函数,且在每一个区间内是减函数.故选A.考点二幂函数1.(2018河南洛阳二模,7)已知点?在幂函数f(x)=(a-1)xb的图
象上,则函数f(x)是?()A.奇函数????B.偶函数C.定义域内的减函数????D.定义域内的增函数答案????A?B
M=MN=NA,点A(1,0),B(0,1),所以M?,N?,分别代入y=xa,y=xb,得a=lo??,b=lo??,∴a-?=
lo??-?=0.故选A.2.(2018湖北武汉模拟,10)幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组
美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有B
M=MN=NA,那么a-?=?()?A.0????B.1????C.??D.23.(2017江西九江七校联考,4)幂函数f
(x)=(m2-4m+4)·?在(0,+∞)上为增函数,则m的值为?()A.1或3????B.1????C.3????D
.2答案?B由题意知m2-4m+4=1且m2-6m+8>0?m=1,选B.4.(2017福建龙海期末,13)若幂函数y=(m2-
3m+3)?的图象不经过坐标原点,则实数m=?.答案1或2解析由题意得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,当m=1时
,y=x-2,图象不过原点,当m=2时,y=x0,图象不过原点,故m=1或2.B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间
:30分钟分值:50分)一、选择题(每题5分,共25分)1.(2018福建模拟,3)已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=
0.3-0.2,则?()A.ba=0.40.3>0
.30.3>b=0.30.4,c=0.3-0.2>1,∴b归纳幂值比较大小的常用方法有:①底数相同,运用相应函数单调性比较大小;②底数不同,运用中间值比较大小.2.(2018山东烟台模拟
,5)定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则使得f(x)>f(x2-2x+2)成立的x的取值范围是?()A.(
1,2)????B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)????D.(2,+∞)答案???A因f(x)是R上的奇函数
且在(0,+∞)上是增函数,则函数f(x)在(-∞,0)上也是增函数,则函数在R上为增函数.f(x)>f(x2-2x+2)?x>
x2-2x+2?x2-3x+2<0,解得1R上为增函数,则可以将原不等式变形为x>x2-2x+2,由此解得x的取值范围即可得答案.方法点拨利用函数单调性解函数不等式的关键
是利用函数的单调性脱去函数符号“f”,变函数不等式为一般不等式,去掉“f”时,要注意f(x)的定义域限制.答案?B由题意知,关
于a的一次函数y=a(x-2)+x2-4x+4的值大于0在a∈[-1,1]上恒成立,只需?解得?即x<1或x>3,故选B.3.(2
018河北保定模拟,8)对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围是?(
)A.{x|13}C.{x|12}方法技巧解
决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.4.(2018河南开封模拟
,12)已知不等式xy≤ax2+2y2对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是?()A.[-1,+∞)?
???B.(-∞,1]????C.(0,2]????D.[-1,2]思路分析由题意可知a≥?-2?对x∈[1,2],y∈[2
,3]恒成立,令t=?,则1≤t≤3,a≥t-2t2在[1,3]上恒成立,由此能求出结果.答案?A不等式xy≤ax2+2y2对x
∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,即a≥?-2?对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=?,则1≤t≤3,∴a≥t-2t2
在[1,3]上恒成立,设y=-2t2+t=-2?+?(t∈[1,3]),∴ymax=-1,∴a≥-1.故选A.解题关键将二元不等
式恒成立问题转化为一元不等式恒成立问题,且正确得出?的范围是解题的关键.答案?C∵?>0,∴?>0,∵x1,x2∈(2,+∞),
∴x1-1,x2-1∈(1,+∞).∴f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,∴-?≤1,解得a≥-?.故选C.解题关键?将?>0巧
妙变形为?>0,推导出f(x)在(1,+∞)上是增函数是解题关键.5.(2017安徽滁州期末,10)已知函数f(x)=x2+(2a
-1)x+1,若对区间(2,+∞)内的任意两个不等实数x1,x2都有?>0,则实数a的取值范围是?()A.??B.??C.??
D.?二、解答题(共25分)6.(2018湖南祁阳二模,17)已知幂函数f(x)=(m-1)2?在(0,+∞)上单调递增,函数g
(x)=2x-k.(1)求m的值;(2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设p:x∈A,q:x∈B,
若p是q成立的必要条件,求实数k的取值范围.解析(1)依题意得:(m-1)2=1?m=0或m=2,当m=2时,f(x)=x-2
在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴m=0.(2)由(1)得,f(x)=x2,当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4
),即A=[1,4),当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k),因p是q成立的必要条件,则B?
A,则?即?得0≤k≤1.思路分析(1)根据幂函数的定义和f(x)的性质求m.(2)得出集合的关系,进而求解.方法点拨解决幂函数在指定区间上求值域问题,常由函数单调性解得.7.(2017河南郑州期中,19)已知函数g(x)=ax2-2ax+b+1(a≠0,b<1)在区间[2,3]上有最大值4,最小值1.(1)求a,b的值;(2)设f(x)=?,不等式f(2x)-k·2x≥0对x∈[-1,1]恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)g(x)=ax2-2ax+b+1=a(x-1)2-a+b+1,若a>0,则g(x)在[2,3]上单调递增,∴g(2)=b+1=1,g(3)=3a+b+1=4,解得a=1,b=0;若a<0,则g(x)在[2,3]上单调递减,∴g(2)=b+1=4,解得b=3,∵b<1,∴b=3舍去.综上,a=1,b=0.(2)∵f(x)=?,∴f(x)=?=x+?-2,∵不等式f(2x)-k·2x≥0对x∈[-1,1]恒成立,∴2x+?-2-k·2x≥0对x∈[-1,1]恒成立,即k≤?-2?+1=?对x∈[-1,1]恒成立,∵x∈[-1,1],∴?∈?,∴?∈[0,1],∴k≤0. |
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