高考文数(课标专用)§2.6函数与方程答案????C由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1
)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=?.令h(t)=?
,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以a=?=?,故
选C.A组??统一命题·课标卷题组1.(2017课标全国Ⅲ,12,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有
唯一零点,则a=?()A.-??B.??C.??D.1五年高考2.(2014课标Ⅰ,12,5分,0.248)已知函数f(x)=
ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是?()A.(2,+∞)????B.(1,+∞)
????C.(-∞,-2)????D.(-∞,-1)答案????C解法一:①若a≥0,则由于f(0)=1,且当x<-1时,
f(x)≤-3x2+1<0,从而f(x)在(-∞,0)上存在零点,不合题意.②若a<0,由于f''(x)=3ax?,所以当x∈?∪
(0,+∞)时,f''(x)<0;当x∈?时,f''(x)>0.从而f(x)在?,(0,+∞)上单调递减,在?上单调递增.又f
(0)=1,当x>1时,f(x)<-3x2+1<0,所以f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0等价于f?>0,即a·?-3·?+
1>0.解得a>2(舍去)或a<-2.综上,a的取值范围是(-∞,-2).解法二:由于x=0不是函数f(x)的零点,因此f(x)的
零点与y=?-a的零点相同.设g(x)=?,则g''(x)=-?.当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,g''(x)<0;当x∈(-1
,0)∪(0,1)时,g''(x)>0.所以g(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,0),(0,1)上单调递增.
又g(-1)=-2,g(1)=2,从而可得函数g(x)的大致图象,如图所示.?由于f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0等价于直线
y=a与y=g(x)图象存在唯一的交点,且此交点的横坐标为正.由图象可得a的取值范围是(-∞,-2).解法三:采用排除法.取a=3
,则f(x)=3x3-3x2+1.由于f(0)=1,f(-1)<0,从而f(x)在(-∞,0)上存在零点,故排除A、B.取a=-
?,则f(x)=-?x3-3x2+1.由于f(0)=1,f?<0,从而f(x)在(-∞,0)上存在零点,故排除D.综上知,应选C
.解法四:由于f(x)=0可化为ax3=3x2-1,所以f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0等价于函数g(x)=ax3的图象与h
(x)=3x2-1的图象存在唯一公共点,且该点的横坐标大于零.a=0时,g(x)=0,其图象与h(x)的图象存在两个公共点;a>0
时,由图可知不合题意;a<0时,由图可知,可先求y=ax3与y=3x2-1有公共切线时a的取值.?由g''(x)=h''(x),g(x
)=h(x)可得a=-2,由图可知,当a∈(-∞,-2)时,满足题设要求.答案????C∵f(1)=6-log21=6>0,f
(2)=3-log22=2>0,f(3)=2-log23>0,f(4)=?-log24=?-2<0,∴包含f(x)零点的区间是
(2,4),故选C.B组??自主命题·省(区、市)卷题组1.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)=?-log2x.在下列区间
中,包含f(x)零点的区间是?()A.(0,1)????B.(1,2)C.(2,4)????D.(4,+∞)答案????D
当x≥0时,f(x)=x2-3x,令g(x)=x2-3x-x+3=0,得x1=3,x2=1.当x<0时,-x>0,∴f(-x)
=(-x)2-3(-x),∴-f(x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x.令g(x)=-x2-3x-x+3=0,得x3=-2-
?,x4=-2+?>0(舍),∴函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合是{-2-?,1,3},故选D.2.(2014湖北,9,
5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为?(
)A.{1,3}????B.{-3,-1,1,3}C.{2-?,1,3}????D.{-2-?,1,3}评析本题考查
奇函数的性质、一元二次方程的根等知识,忽略x的范围会导致出错.3.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=?当λ=2
时,不等式f(x)<0的解集是?.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是?.解析本小题考查分段函数,解不等式组,函数的零点
,分类讨论思想和数形结合思想.当λ=2时,不等式f(x)<0等价于?或?即2≤x<4或1,4).易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,函数y=x2-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3.在同一坐标系
中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ>4.②两
个零点为1,4,由图可知,此时1<λ≤3.综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).思路分析(1)f(x)<0??或?此时要
特别注意分段函数在每一段上的解析式是不同的,要把各段上的不等式的解集取并集.(2)函数零点个数的判定一般要作出函数图象,此时要特别
注意两段的分界点是否能取到.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)4.(2015湖北,13,5分)函数f(x)=2sinxs
in?-x2的零点个数为?.解析??f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数
y1=sin2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin2x与y2=x2的图象如图所示:?由图可知两函数图象
有2个交点,则f(x)的零点个数为2.答案25.(2015湖南,14,5分)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b
的取值范围是?.解析函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标
系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).?答案(0,2)答案-?解析若直线y=2a与函
数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所
以a=-?.6.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则
a的值为?.7.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=?.若函数y
=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是?.解析当x∈[0,3)时,f(x)=?=?,
由f(x)是周期为3的函数,作出f(x)在[-3,4]上的图象,如图.由题意知方程a=f(x)在[-3,4]上有10个不同的根.由
图可知a∈?.答案????8.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)
=?其中集合D=?,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是?.解析由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况,在此
范围内,x∈Q且x?Z时,设x=?,p,q∈N,p≥2且p,q互质,若lgx∈Q,则由lgx∈[0,1),可设lgx=?,
m,n∈N,m≥2且m,n互质,因此1?=?,则10n=?,此时等号左边为整数,等号右边为非整数,矛盾.因此lgx?Q,因此l
gx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期内x?D对应的部分的交点.画出函数草图,图中交点除(1,0
)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lgx)''=?=?<1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.?答案
89.(2016浙江,12,6分)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x
∈R,则实数a=?,b=?.答案-2;1解析???f(x)-f(a)=x3+3x2+1-(a3+3a2+1)=x3-a3+3(x
2-a2)=(x-a)(x2+ax+a2)+3(x-a)(x+a)=(x-a)[x2+(a+3)x+a2+3a]=(x-b)(x-
a)2,即x2+(a+3)x+a2+3a=0的两个根分别为a,b,由a2+(a+3)a+a2+3a=0,得a=0(舍去)或a=-2
.当a=-2时,方程为x2+x-2=0,则b=1.答案????C显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4
x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点一定落在区间?内,又f?=?-2<0,f?=?-1>0.故选C.?C组??
教师专用题组1.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为?()A.??B.?C
.???D.?2.(2014重庆,10,5分)已知函数f(x)=?且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同
的零点,则实数m的取值范围是?()A.?∪??B.?∪?C.?∪??D.?∪?答案????A令g(x)=0,则f(x)=m
(x+1),故函数g(x)在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点等价于函数y=f(x)的图象与直线y=m(x+1)有且仅有两个不同
的交点.函数f(x)的图象如图中实线所示.易求kAB=?,kAC=-2,过A(-1,0)作曲线的切线,不妨设切线方程为y=k(x+
1),?由?得kx2+(2k+3)x+2+k=0,则Δ=(2k+3)2-4k(2+k)=0,解之得k=-?.故实数m的取值范围为?
∪?.评析本题考查函数的零点、方程的根及函数图象的交点之间的关系,考查转化与化归思想和数形结合思想的应用.本题的易错点是忽视过点
A的直线与f(x)的图象有两个公共点.3.(2014福建,15,4分)函数f(x)=?的零点个数是?.解析当x≤0时,由x2-2
=0得x=-?;当x>0时,f(x)=2x-6+lnx在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln
3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.综上可知f(x)的零点个数为2.答案24.(2014天津,14,5分)已
知函数f(x)=?若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为?.解析函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点等
价于函数y=f(x)和y=a|x|的图象恰有4个公共点.在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)和y=a|x|的图象可知,若满足
条件,则a>0.?答案(1,2)当a≥2时,在y轴右侧,两函数图象只有一个公共点,此时在y轴左侧,射线y=-ax(x≤0)与抛物
线y=-x2-5x-4(-4或a=9.a=1与a≥2矛盾,a=9时,切点的横坐标为2,不符合.故0件,则-a<-1,即a>1.故1∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-?>0,∴f(1)·f(2)<0,∴根据零点存在性定理知f(x)=lnx-?的零点所
在的区间为(1,2).故选B.A组2016—2018年高考模拟·基础题组考点????函数的零点与方程的根1.(2018豫西南部
分示范性高中联考,7)函数f(x)=lnx-?的零点所在的区间为?()A.(0,1)????B.(1,2)????C.(
2,3)????D.(3,4)三年模拟答案????B因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x
),所以f(x)的周期为2.又f(x)为偶函数,∴f(1-x)=f(x-1)=f(x+1),故f(x)的图象关于直线x=1对称.函
数g(x)=?的图象关于直线x=1对称,在同一坐标系内作出f(x)与g(x)在(-1,3)上的图象,如图,由图可知四个交点的横坐标
关于x=1对称,其和为2×2=4,选B.?2.(2018河北保定第一次模拟,12)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-
f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=?(-1横坐标之和为?()A.2????B.4????C.6????D.8答案????B设需计算n次,则n满足?<0.05,即
2n>20.故计算5次就可满足要求,所以将区间(1,2)等分的次数为5,第一次为(1,1.5),第二次为(1.25,1.5),所以
将区间(1.25,1.5)等分的次数为3.故选B.3.(2017湖北部分重点中学第二次联考,4)为了求函数f(x)=2x+3x-7
的一个零点(精确度为0.05),某同学已经利用计算器得f(1.5)=0.32843,f(1.25)=-0.8716,则还需用
二分法等分区间的次数为?()A.2????B.3????C.4????D.54.(2017湖北武汉武昌调研,6)已知函数
f(x)=2ax-a+3,若?x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是?()A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
????B.(-∞,-3)C.(-3,1)D.(1,+∞)5.(2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校一模,4)已知[x]表示
不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=lnx-?的零点,则g(x0)等于?()A.1??
??B.2????C.3????D.4答案????B?f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3-?>0,故x0∈(2,
3),∴g(x0)=[x0]=2.故选B.答案????A当a=0时,显然不成立,当a≠0时,由题意知f(-1)·f(1)<0,即
(-3a+3)(a+3)<0,解得a<-3或a>1.故选A.6.(2018河北邯郸第一次模拟,16)若曲线y=log2(2x-m)
(x>2)上至少存在一点与直线y=x+1上的一点关于原点对称,则m的取值范围为?.答案(2,4]解析直线y=x+1关于原点对称
的直线为y=x-1,∴方程log2(2x-m)=x-1,即m=2x-1在(2,+∞)上有解,∴m>2,∵2x-m>0恒成立,∴m≤
(2x)min,∴m≤22=4,∴m∈(2,4].B组??2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:35分钟分值:55分)
一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018湖南永州第三次模拟,10)已知函数f(x)=a+log2(x2+a)(a>0)的最
小值为8,则?()A.a∈(5,6)????B.a∈(7,8)C.a∈(8,9)????D.a∈(9,10)答案????A
由题意得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a+log2a=8,将问题转化
为a+log2a=8有解,求a的范围.令g(a)=a+log2a-8,a>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(5)=5+
log25-8<0,g(6)=6+log26-8>0,所以根据零点存在性定理知a∈(5,6).故选A.解题点拨根据复合函数的单调
性,得到f(x)min=f(0);将问题转化为a+log2a=8有解,求a的范围.令g(a)=a+log2a-8,a>0,则g(a
)在(0,+∞)上单调递增,根据零点存在性定理,得到答案.答案????B由f(x+1)=f(x-1)得f(x)的周期为2,在同一
平面直角坐标系中作出函数y=f(x),y=g(x)的图象,由图可知有两个交点,即函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)内的
零点有2个,所以选B.?2.(2018安徽安庆二模,12)定义在R上的函数f(x),满足f(x)=?且f(x+1)=f(x-1)
,若g(x)=3-log2x,则函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)内的零点有?()A.3个????B.2个??
??C.1个????D.0个方法总结对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可转化为求两个函数图象的交点个数问题.答案????
D??f(x)=x-a-x(a>1)的零点x1是方程x=a-x,即?=ax的解,g(x)=xlogax-1(a>1)的零点x2是方
程xlogax-1=0,即?=logax的解,即x1,x2是y=ax(a>1),y=logax(a>1)与y=?图象交点A,B的横
坐标(作出图象,图略),可得01,∵y=ax(a>1)的图象与y=logax(a>1)的图象关于直线y=x对称,
y=?的图象也关于直线y=x对称,∴A,B两点关于直线y=x对称,设A?,B?,∴点A关于直线y=x的对称点A''?与点B重合,则?
=x1,则x1+4x2=?+4x2,令y=?+4x,x>1,则y''=4-?,易知y''>0,所以y=?+4x在(1,+∞)上单调递增
,所以?+4x2>5,即x1+4x2的取值范围是(5,+∞).故选D.3.(2018山东济南第一次模拟,12)设x1,x2分别是函
数f(x)=x-a-x和g(x)=xlogax-1的零点(其中a>1),则x1+4x2的取值范围是?()A.[4,+∞)??
??B.(4,+∞)????C.[5,+∞)????D.(5,+∞)答案????B由题意可知f(2)=0,且f(x)在R上单
调递减,所以函数f(x)只有一个零点2,即|2-β|<1,解得1<β<3.函数g(x)=x2-aex在区间(1,3)上存在零点,由
x2-aex=0,得a=?,所以问题转化为a=?在x∈(1,3)上有解.令h(x)=?,x∈(1,3),则h''(x)=?=?,所以
h(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,3)上单调递减,且h(1)=?,h(2)=?,h(3)=?>?,所以h(x)∈?,
所以由数形结合可得a∈?.选B.4.(2018河南郑州毕业班第二次质量预测,12)已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)
=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α-β|)=x2-aex互为“1度零点函数”,则实数a的取值范围为?()A.??B.??C.??D.?解题关键要学会分析题中隐含的
条件和信息,如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键,进一步转化为函数g(x)=x2-aex在区间(1,3)上存在零点,再
进行参变量分离,最后应用导数解决.答案????C令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f
(x-λ),因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即2x2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+
λ)=0,解得λ=-?.故选C.5.(2016湖北七校2月联考,10)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2
+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是?()A.??B.??C.-??D.-?6.(2017江西赣州一模,11)已
知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是?()A.1<2????B.11,x1+x2<2????D.x1>1,x1+x2<1答案????A
函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x1>x2),
在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图),可知12??
?<4?x1+x2<2.故选A.?思路分析函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交
点,交点的横坐标就是x1,x2(x1>x2),在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象,根据图象可得出相应的关系式,从而
得出答案.答案??解析??g(x)=?显然,当a=2时,g(x)有无穷多个零点,不符合题意;当x≥a时,令g(x)=0,得x=0
,当x0且a≠2,则g(x)在[a,+∞)上无零点,在(-∞,a)上存在零
点x=0和x=-?,∴?≥a,解得0=?若函数g(x)=2f(x)-ax恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围是?.综上,a的取值范围是?.(2)若a=0,则g(x)
在[0,+∞)上存在零点x=0,在(-∞,0)上存在零点x=-?,符合题意.(3)若a<0,则g(x)在[a,+∞)上存在零点x=
0,∴g(x)在(-∞,a)上只有1个零点,∵0?(-∞,a),∴g(x)在(-∞,a)上的零点为x=-?,∴-?a<0.方法总结已知函数有零点(方程有根)求参数取值的常用方法1.直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不
等式(组)确定参数范围;2.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;3.数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角
坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.8.(2018百校联盟TOP20三月联考,16)已知函数f(x)=x|x-4|+2x,
存在x3>x2>x1≥0,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2·f(x3)的取值范围是?.解析??f(x)=x|x-
4|+2x=?作出f(x)的图象如图,?由图象可知,x1+x2=6,且2)=x1(6-x1)(-?+6x1)=(-?+6x1)2=[-(x1-3)2+9]2,∵2,9),∴x1x2f(x3)∈(64,81).答案(64,81)9.(2018广东惠州4月模拟,16)已知函数f(x)对任意的x
∈R,都有f?=f?,函数f(x+1)是奇函数,当-?≤x≤?时,f(x)=2x,则方程f(x)=-?在区间[-3,5]内的所有
根的和为?.解析∵函数f(x+1)是奇函数,∴函数f(x+1)的图象关于点(0,0)对称,把函数f(x+1)的图象向右平移1个单
位可得函数f(x)的图象,即函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(2-x)=-f(x).又∵f?=f?,∴f(1-x)=f
(x),从而f(2-x)=-f(1-x),∴f(x+1)=-f(x),即f(x+2)=-f(x+1)=f(x),∴函数f(x)的周期为2,且图象关于直线x=?对称.答案4画出函数f(x)的图象如图所示:?∴结合图象可得方程f(x)=-?在区间[-3,5]内有8个根,且所有根之和为?×2×4=4.方法总结函数零点的求解与判断可通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标.10.(2018江西上高第二中学模拟,15)已知f(x)=?则函数y=2f2(x)-3f(x)的零点个数为?.解析令y=2f2(x)-3f(x)=0,则f(x)=0或f(x)=?.函数f(x)=?的图象如图所示:?由图可得:f(x)=0有2个根,f(x)=?有3个根,故函数y=2f2(x)-3f(x)的零点个数为5.答案511.(2017陕西榆林一模,14)直线y=x与函数f(x)=?的图象恰有三个公共点,则实数m的取值范围是?.解析根据题意,知y=x与y=2(x>m)的图象有一个交点A(2,2),并且与抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分有两个交点B、C,由?解得B(-1,-1),C(-2,-2),∵抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分必须包含B、C两点,且点A(2,2)一定在y=2(x>m)的图象上,才能使y=f(x)的图象与直线y=x有3个交点,∴实数m的取值范围是-1≤m<2.?答案-1≤m<2 |
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