高考理数(课标专用)§3.1导数与积分A组??统一命题·课标卷题组考点导数的概念及其几何意义1.(2018课标Ⅰ,5,5分)设函数f
(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为?()A.y=-2x?B
.y=-x?C.y=2x?D.y=x答案?D本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇
函数,∴a-1=0,解得a=1,∴f(x)=x3+x,∴f''(x)=3x2+1,∴f''(0)=1,故曲线y=f(x)在点(0,
0)处的切线方程为y=x,故选D.五年高考解后反思求曲线的切线方程需注意的几个问题:(1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是
,那么需要设出切点.(2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点代入两者的解析式建立方程组.(3)切点处的
导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.2.(2014课标Ⅱ,8,5分,0.660)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(
0,0)处的切线方程为y=2x,则a=?()A.0????B.1????C.2????D.3答案?D?y''=a-?,当x
=0时,y''=a-1=2,∴a=3,故选D.思路分析根据导数的几何意义得y''|x=0=2,由此可求得a.方法总结已知曲线在某点
处的切线,求曲线方程中的参数时,常利用“切线的斜率等于曲线所对应的函数在该点处的导数值”列方程求解.解析本题主要考查导数的几何意
义.因为y''=?,所以y''|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.3.(2018课标Ⅱ,1
3,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为?.答案?y=2x4.(2018课标Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+
1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=?.答案-3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)ex,则f
''(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f''(0)=a+1=-2,解得a=-3.5.(2016课
标Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程
是?.解析令x>0,则-x<0,f(-x)=lnx-3x,又f(-x)=f(x),∴f(x)=lnx-3x(x>0),则f
''(x)=?-3(x>0),∴f''(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.答案
?y=-2x-1思路分析根据函数f(x)是偶函数,求出x>0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.6
.(2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=??.解析
直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=lnx
+2得y''=?,由y=ln(x+1)得y''=?,∴k=?=?,∴x1=?,x2=?-1,∴y1=-lnk+2,y2=-lnk.
即A?,B?,∵A、B在直线y=kx+b上,∴???答案1-ln2思路分析先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点
坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f''(x)=aexln
x+?ex-?ex-1+?ex-1.由题意可得f(1)=2,f''(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=
exlnx+?ex-1,从而f(x)>1等价于xlnx>xe-x-?.设函数g(x)=xlnx,则g''(x)=1+lnx.
所以当x∈?时,g''(x)<0;当x∈?时,g''(x)>0.故g(x)在?上单调递减,在?上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上
的最小值为g?=-?.7.(2014课标Ⅰ,21,12分,0.244)设函数f(x)=aexlnx+?,曲线y=f(x)在点(1
,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.思路分析(1)利用导数的几何意义及切
线过切点求a,b的值;(2)利用(1)得f(x)的解析式,将f(x)>1等价转化为xlnx>xe-x-?,构造函数g(x)=xl
nx,h(x)=xe-x-?,再利用导数分别求出g(x)min,h(x)max,进而得g(x)>h(x),从而证得原不等式成立.
设函数h(x)=xe-x-?,则h''(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h''(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h''(
x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-?.综上,
当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.方法总结证明不等式,可构造函数,转化为求解函数最值的问题.B组??自主命题·省(
区、市)卷题组答案?A设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,则由题意知只需函数y=f
(x)满足f''(x1)·f''(x2)=-1即可.y=f(x)=sinx的导函数为f''(x)=cosx,则f''(0)·f
''(π)=-1,故函数y=sinx具有T性质;y=f(x)=lnx的导函数为f''(x)=?,则f''(x1)·f''(x2
)=?>0,故函数y=lnx不具有T性质;y=f(x)=ex的导函数为f''(x)=ex,则f''(x1)·f''(x2)=?>
0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f''(x)=3x2,则f''(x1)·f''(x2)=9?≥0,故函
数y=x3不具有T性质.故选A.解析令f(x)=e-x,则f''(x)=-e-x.设P(x0,y0),则f''(x0)=-?=-
2,解得x0=-ln2,所以y0=?=eln2=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).考点一导数的概念及其几何意义1.(2
016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下
列函数中具有T性质的是?()A.y=sinx?B.y=lnx?C.y=ex?D.y=x32.(2014江西,13,5分)
若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是?.答案(-ln2,2)3.(2015陕西,15,5分
)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=?(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为?.解析∵函数y=ex的导函数为y''
=ex,∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=?的导函数为y''=-?
,∴曲线y=?(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-?,由题意知k1k2=-1,即1·?=-1,解得?=1,又x0>0,∴x0=1
.又∵点P在曲线y=?(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).答案(1,1)4.(2016北京,18,13分)设函数
f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求
f(x)的单调区间.解析(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f''(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,知?即?解得a=
2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f''(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f''(x
)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g''(x)=-1+ex-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g''(x)<0,
g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g''(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是
g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f''(x)>0,x∈(-∞,+∞).故
f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).2.(2014江西,8,5分)若f(x)=x2+2?()A.-1????B.-??C
.??D.1考点二定积分的运算及应用1.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为?
()A.2??B.4??C.2????D.4答案?D由?得x=0或x=2或x=-2(舍).∴S=?(4x-x3)dx=??
?=4.答案?B?令?评析本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.mmm答案?C?由①得f(x)g(
x)=sin?xcos?x=?sinx,是奇函数,所以?f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的正交函数;由②得f
(x)g(x)=x2-1,所以?f(x)g(x)dx=?(x2-1)dx=???=-?,所以②不是区间[-1,1]上的正交函数;由
③得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以?f(x)g(x)dx=0,所以③为区间[-1,1]上的正交函数.故选C.3.(2014
湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足?f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.
给出三组函数:①f(x)=sin?x,g(x)=cos?x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是?()A.0????B.1????C.2????D.3答案?A由?f(x)d
x=?sin(x-φ)dx=-cos(x-φ)??=-cos?+cosφ=0,得?cosφ=?sinφ,从而有tanφ=?
,则φ=nπ+?,n∈Z,从而有f(x)=sin?=(-1)nsin?,n∈Z.令x-?=kπ+?,k∈Z,得x=kπ+?,k∈Z
,即f(x)的图象的对称轴是x=kπ+?,k∈Z,故选A.4.(2014湖南,9,5分)已知函数f(x)=sin(x-φ),且?f
(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是?()A.x=??B.x=??C.x=??D.x=?解析曲线y=x2与直
线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由?解得x=0或x=1,所以S=??(x-x2)dx=???=?-?=?.?解析??d
x=???=(2-2)-0=0.5.(2015湖南,11,5分)?dx=?.答案??答案06.(2015天津,11,5分)曲线
y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为?.C组????教师专用题组答案?C由v(t)=0得t=4.故刹车距离为s=??v(
t)dt=???dt=???=4+25ln5(m).考点一导数的概念及其几何意义1.(2013湖北,7,5分)一辆汽车在高速公
路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+?(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的
距离(单位:m)是?()A.1+25ln5????B.8+25ln?C.4+25ln5????D.4+50ln22.
(2012课标,12,5分)设点P在曲线y=?ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为?()A.1-ln2
????B.?(1-ln2)C.1+ln2????D.?(1+ln2)解析令ex=t,则f(t)=lnt+t,所以f
(x)=lnx+x(x>0),所以f''(x)=?+1,所以f''(1)=1+1=2.答案?B由y=?ex得ex=2y,所以x
=ln2y,所以y=?ex的反函数为y=ln2x,所以y=?ex与y=ln2x的图象关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的
距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令(ln2x)''=?=1,解得x1=1,令?''=1,解得x2=ln2,所
以两点为(1,ln2)和(ln2,1),故d=?(1-ln2),故选B.3.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0
,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f''(1)=?.答案2解析(1)设f(x)=?,则f''(x)=?.所以f''(1
)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(
?x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g''(x)=1-f''(x)=?.当0g''(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,lnx>0,所以g''(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)
>g(1)=0(?x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.4.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=?在
点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.答案????C??(2x+ex)d
x=(x2+ex)??=1+e1-1=e,故选C.2.(2013江西,6,5分)若S1=?()A.S1S1ex??=e2-e.∵ln2<1e>?,故S22014陕西,3,5分)定积分?(2x+ex)dx的值为?()A.e+2????B.e+1????C.eD.e-1答案
??C如图阴影部分面积即为所求,求得曲线y=?与直线y=x-2的交点为A(4,2),?∴S阴=?=?.3.(2011课标,9,5
分)由曲线y=?,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为?()A.??B.4????C.??D.6错因分析由被积函数求原
函数时出错是致错的主要原因.评析?本题考查定积分运算及定积分的几何意义,属容易题.4.(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为
等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为?.?解析建立直
角坐标系,如图.答案1.2过B作BE⊥x轴于点E,∵∠BAE=45°,BE=2,∴AE=2,又OE=5,∴A(3,0),B(5,
2).设抛物线的方程为x2=2py(p>0),将点B的坐标代入,得p=?,故抛物线的方程为y=?x2.从而曲边三角形OEB的面积为
??x2dx=???=?.又S△ABE=?×2×2=2,故曲边三角形OAB的面积为?,从而图中阴影部分的面积为?.又易知等腰梯形A
BCD的面积为?×2=16,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为?=1.2.5.(2013湖南,12,5分)若?x2dx=9,则
常数T的值为?.解析????x2dx=???=?=9,解得T=3.答案3答案???解析??+?x+?x2+…+?xn=(1+x
)n,两边同时积分得:?+??xdx+??x2dx+…+??xndx=?(1+x)ndx,从而得到如下等式:?×?+??×?+??
×?+…+??×?=??.6.(2013福建,15,5分)当x∈R,|x|<1时,有如下表达式:1+x+x2+…+xn+…=?.两
边同时积分得:?答案?D由题意可得,f(a)=a+?+b,f''(x)=1-?,所以f''(a)=1-?,故切线方程是y-
a-?-b=?(x-a),将(0,0)代入得-a-?-b=?(-a),故b=-?,故ab=-2,故选D.2.(2018广东深圳二模
,7)设函数f(x)=x+?+b,若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线经过坐标原点,则ab=?()A.1????
B.0????C.-1????D.-2答案?B由已知得f''(x)=2f''(1)-?,令x=1得f''(1)=2f''(
1)-1,解得f''(1)=1,则f(1)=2f''(1)=2.A组2016—2018年高考模拟·基础题组考点一导数的概念及
其几何意义1.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f''(x),且满足f(x)=2xf''(1)+ln?,
则f(1)=?()A.-eB.2????C.-2????D.e三年模拟3.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的
导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为?(????)A.f(x)=3cosx?B.f(x)=x3+x2C.f(x)
=1+sin2x?D.f(x)=ex+x答案?C?A选项中,f''(x)=-3sinx,其图象不关于y轴对称,排除A选项;B
选项中,f''(x)=3x2+2x,其图象的对称轴为x=-?,排除B选项;C选项中,f''(x)=2cos2x,其图象关于y
轴对称;D选项中,f''(x)=ex+1,其图象不关于y轴对称.4.(2016安徽安庆二模,7)给出定义:设f''(x)是函数y
=f(x)的导函数,f″(x)是函数f''(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函
数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sinx-cosx的拐点是M(x0,f(x0)),则点M?()A.在
直线y=-3x上????B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上????D.在直线y=4x上答案?B?f''(x)=3+4c
osx+sinx,f″(x)=-4sinx+cosx,结合题意知4sinx0-cosx0=0,所以f(x0)=3x
0,故M(x0,f(x0))在直线y=3x上.故选B.解析(1)由题意可得f(1)=1,且f''(x)=2x-?,f''(1
)=2-1=1,则所求切线方程为y-1=1×(x-1),即y=x.(2)假设存在两点满足题意,且设切点坐标为(x1,y1),(x2
,y2),则x1,x2∈?,不妨设x1间?上单调递增,函数的值域为[-1,1],故-1≤2x1-?<2x2-?≤1,据此有?解得x1=?,x2=1?,故存在两点?,(1
,1)满足题意.5.(2018安徽淮南一模,21)已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的
切线方程;(2)在函数f(x)=x2-lnx的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间?上?若
存在,求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由.答案????B两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故对x积分时,积分上限
是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积S=?(x-x2)dx(同理可知对y积分
时,S=?(?-y)dy).2.(2018湖北孝感模拟,5)已知??dx=?,则m的值为()A.??B.??C.-??D.-1
答案????B?由微积分基本定理得??dx=(lnx-mx)?=m+1-me,结合题意得m+1-me=?,解得m=?.故选B.考
点二定积分的运算及应用1.(2018安徽淮南一模,4)求曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积S,正确的是?()A.S=
?(x2-x)dx?B.S=?(x-x2)dxC.S=?(y2-y)dy?D.S=?(y-?)dy答案?D根据题意,汽车以v=(
3t+2)m/s做变速运动时,汽车在第1s至第2s之间的1s内经过的路程s=?(3t+2)dt=???=?m,故选D.4.
(2017河南百校联盟4月模拟,7)已知?+?=2?,若φ∈?,则?=?()A.??B.-??C.??D.-?答案?C由?
+?=2??sinφ+cosφ=2?sinφ·cosφ??sin?=?sin2φ,因为φ∈?,所以φ=?,所以tanφ
=1,故?=?=???=?.3.(2018河南郑州一模,6)汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1s至第2s之间的1
s内经过的路程是?()A.5mB.?mC.6mD.?m5.(2016山东威海一模,11)曲线y=sin
x(0≤x≤π)与x轴围成的封闭区域的面积为?.解析由题意知封闭区域的面积S=?sinxdx=-cosx?=-cosπ-(
-cos0)=1-(-1)=2.6.(2017江西南城一中、高安中学等9校联考,14)?(2x+?)dx=?.答案1+?解析
?????dx表示以原点为圆心,以1为半径的圆的面积的?,∴??dx=?.又∵?2xdx=x2?=1,∴?(2x+?)dx=?2x
dx+??dx=1+?.答案2B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:25分钟分值:35分)一、选择题(每题5分
,共20分)1.(2018湖南株洲二模,9)设函数y=xsinx+cosx的图象在点(t,f(t))处的切线斜率为g(t),
则函数y=g(t)图象的一部分可以是?()?答案?A由y=xsinx+cosx可得y''=sinx+xcosx-si
nx=xcosx.则g(t)=tcost,g(t)是奇函数,排除选项B,D;当x∈?时,y>0,排除选项C.故选A.思路分析
求出函数的导函数,得到切线斜率的解析式,然后判断图象.易错警示求导时注意不要计算错误.答案?A存在实数x使不等式(ex-a)
2+x2-2ax+a2≤?成立,即[(ex-a)2+x2-2ax+a2]min≤?,易知(ex-a)2+x2-2ax+a2即为(e
x-a)2+(x-a)2,表示点(x,ex)与(a,a)的距离的平方.由(a,a)在直线l:y=x上,设与直线l平行且与曲线y=e
x相切的直线的切点为(m,n),可得切线的斜率为em=1,解得m=0,∴n=1,切点为(0,1),由切点到直线l的距离为直线l上的
点与曲线y=ex上的点之间的距离的最小值,可得(0-a)2+(1-a)2≤?,解得a=?,则a的取值集合为?.故选A.2.(201
8安徽淮北一模,12)若存在实数x使得关于x的不等式(ex-a)2+x2-2ax+a2≤?成立,则实数a的取值范围是?()A.
??B.??C.??D.?解题关键将(ex-a)2+x2-2ax+a2转化为(ex-a)2+(x-a)2,得其表示点(x,ex
)与(a,a)的距离的平方是求解本题的关键.3.(2018安徽江南十校4月联考,10)若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=?(a>
0)存在公共切线,则a的取值范围为?()A.(0,1)????B.??C.??D.?答案??D曲线y=x2在点(m,m2
)的切线斜率为2m,曲线y=?(a>0)在点?的切线斜率为?en,如果两条曲线存在公共切线,那么2m=?en.又由直线的斜率公式得
到2m=?,则有m=2n-2,则由题意知4n-4=?en有解,即y=4x-4,y=?ex的图象有交点.若直线y=4x-4与曲线y=
?ex相切,设切点为(s,t),则?es=4,且t=4s-4=?es,可得切点为(2,4),此时?=?,故要使满足题意,需?≤?,
则a≥?,故a的取值范围是a≥?.故选D.解题关键将原问题转化为方程有解问题,进而转化为两函数图象有交点问题是解题的关键.方法总
结解有关公切线问题的一般步骤:①设出切点坐标(x1,y1),(x2,y2);②由f''(x1)=f''(x2)建立方程关系结合公
切线知识求解.答案????C当x>0且x≠1时,?>0,可得x>1时,2f(x)+xf''(x)>0;0xf''(x)<0.令g(x)=x2f(x),x∈(0,+∞),则g''(x)=2xf(x)+x2f''(x)=x[2f(x)+xf
''(x)].可得x>1时,g''(x)>0;0)+f''(1)=0,又f''(1)=-?,∴f(1)=-?×?=?.解题关键由?>0构造函数g(x)=x2·f(x),进而判断
出x=1是g(x)的极值点是解题的关键.4.(2017江西南昌联考,11)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,f
''(x)为其导函数,当x>0且x≠1时,?>0,若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为-?,则f(1)=?()A.0??
??B.1????C.??D.?二、填空题(每题5分,共5分)5.(2017安徽六安第一中学模拟,14)已知a>0,?展开式的
常数项为240,则?(x2+xcosx+?)dx=?.解析??展开式的常数项为?·a4=240,得a4=16,a=2,故所求式子
为?(x2+xcosx+?)dx=?x2dx+?xcosxdx+??dx.∵??dx=2??dx=2π,?x2dx=?x3??
=?,?xcosxdx=(xsinx+cosx)?=0,∴?(x2+xcosx+?)dx=?+2π.思路分析??展开式常数
项为?a4=240,得a4=16,a=2,进而代入定积分求值.解题关键本题考查的知识点较多,关键是利用二项展开式的通项公式求出a
,利用积分的几何意义求得??dx=2π;利用微积分基本原理求得?xcosxdx=(xsinx+cosx)?=0.答案??+2
π三、解答题(共10分)6.(2017福建漳州八校2月联考,21)已知函数f(x)=x2+ax-3,g(x)=?,当a=2时,f(x)与g(x)的图象在x=1处的切线相同.(1)求k的值;(2)令F(x)=f(x)-g(x),若F(x)存在零点,求实数a的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)=x2+2x-3,f''(x)=2x+2,则f''(1)=4,又因为f(x)和g(x)的图象在x=1处的切线相同,g''(x)=?,所以g''(1)=k=f''(1)=4.?(4分)(2)因为F(x)=f(x)-g(x)有零点,所以方程x2+ax-3-?=0有实根,即a=?有实根.令h(x)=?=?-x+?,则h''(x)=?-1-?=?.令φ(x)=4-8lnx-x3-3x(x>0),则φ''(x)=-?-3x2-3<0恒成立,所以φ(x)为减函数,又φ(1)=0,所以当x>1时,φ(x)<0;当x∈(0,1)时,φ(x)>0;所以当x>1时,h''(x)<0;当x∈(0,1)时,h''(x)>0.故h(x)在(1,+∞)上为减函数,在(0,1)上为增函数,即h(x)max=h(1)=2.易知当x→+∞时,h(x)→-∞,当x→0时,h(x)→-∞.根据h(x)的大致图象可知a≤2.?(10分)思路分析(1)根据导数几何意义得f''(1)=g''(1),由此即可求解.(2)利用参变量分离法将零点问题转化为相应函数的值域问题.方法总结已知函数有零点求参数取值范围的常用方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出两相应函数的图象,然后数形结合求解. |
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