高考理数(课标专用)§4.2三角恒等变换答案?B本题考查三角恒等变换.由sinα=?,得cos2α=1-2sin2α=1-2×?
=1-?=?.故选B.A组??统一命题·课标卷题组考点三角函数式的求值与化简1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sinα=?,则
cos2α=?()A.??B.??C.-??D.-?五年高考2.(2015课标Ⅰ,2,5分,0.86)sin20°cos
10°-cos160°·sin10°=()A.-??B.??C.-??D.?思路分析利用诱导公式化sin2α=co
s?,再利用二倍角的余弦公式即可得答案.一题多解?cos?=?(cosα+sinα)=??cosα+sinα=??1+si
n2α=?,∴sin2α=-?.故选D.答案?D∵cos?=?,∴sin2α=cos?=cos2?=2cos2?-1=2
×?-1=-?.故选D.导师点睛求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示:(1)已知角有两个时,待求三
角函数值的角一般表示为已知角的和或差;(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.答案
??C由tanα=?得?=?,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又c
osα=sin?,所以sin(α-β)=sin?,又因为α∈?,β∈?,所以-?<α-β,所以2α-β=?,故选C.思路分析在已知等式中化切为弦,整理后得到sin(α-β)=cosα,由诱导公式cosα=sin?
得sin(α-β)=sin?,利用α,β的范围确定α-β与?-α的范围,进而可得α与β的关系.4.(2014课标Ⅰ,8,5分,0.
737)设α∈?,β∈?,且tanα=?,则?()A.3α-β=??B.3α+β=??C.2α-β=??D.2α+β=?5
.(2014课标Ⅱ,14,5分,0.603)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为?.知识拓展
常见角的拆分与组合:(1)将一个角拆分成两个角的和或差,如:2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α+
β)-β=(α-β)+β,α=?-?=?-?等;(2)利用互余或互补关系拼角,如:?+?=π,?+?=?等;(3)将非特殊角转化为
特殊角的和或差,如:75°=45°+30°;105°=60°+45°,15°=45°-30°等.答案1解析?f(x)=sin[(
x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.思路分析利用
拼凑法把x+2φ转化为(x+φ)+φ.从而利用两角和的正弦公式将sin[(x+φ)+φ]展开,进而对f(x)的解析式进行整理化简,
最后将函数f(x)的解析式化成只含一个三角函数名称的形式,由此即可求出f(x)的最大值.答案?C??=?=?=?=?,∵tanα
=2tan?,∴?=?=3.故选C.B组??自主命题·省(区、市)卷题组考点三角函数式的求值与化简1.(2015重庆,9,5分
)若tanα=2tan?,则?=?()A.1????B.2????C.3????D.4解析由二倍角公式易得cos2
?-sin2?=cos?=?.2.(2016四川,11,5分)cos2?-sin2?=?.答案??答案??;1解析∵2cos2
x+sin2x=1+cos2x+sin2x=?sin?+1,∴A=?,b=1.3.(2016浙江,10,6分)已知2cos2
x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=?,b=?.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及
二倍角公式是解题关键.答案??解析本题考查两角和的正切公式.因为tan?=?,所以tanα=tan?=?=?=?.4.(20
17江苏,5,5分)若tan?=?,则tanα=?.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运
算求解能力.(1)因为tanα=?,tanα=?,所以sinα=?cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α
=?,所以cos2α=2cos2α-1=-?.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-?,所以
sin(α+β)=?=?,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=?,所以tan2α=?=-?.因此tan(α-β)=tan
[2α-(α+β)]=?=-?.5.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=?,cos(α+β)=-?.(1)
求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.6.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cosB=?,C=?
.(1)求AB的长;(2)求cos?的值.解析(1)因为cosB=?,0?,所以AB=?=?=5?.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-co
s?=-cosBcos?+sinB·sin?,又cosB=?,sinB=?,故cosA=-?×?+?×?=-?.因为0
正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考查运算求解能力.解析(1)当a=?,θ=?时,f(x)=sin?
+?cos?=?(sinx+cosx)-?sinx=?cosx-?sinx=sin?,由x∈[0,π],知?-x∈?.故
f(x)在[0,π]上的最大值为?,最小值为-1.(2)由?得?由θ∈?知cosθ≠0,解得?7.(2014江西,16,12分)
已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈?.(1)当a=?,θ=?时,求f(x)在区间[0,π]
上的最大值与最小值;(2)若f?=0,f(π)=1,求a,θ的值.C组????教师专用题组解析∵tanα=-2,tan(α+
β)=?,∴tanβ=tan[(α+β)-α]=?=?=3.解析?sin15°+sin75°=sin15°+cos15°
=?sin(15°+45°)=?sin60°=?.2.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=?,则t
anβ的值为?.答案??考点三角函数式的求值与化简1.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是?.答
案3答案??解析显然交点为?,故有sin?=?,∴?π+φ=2kπ+?,k∈Z或?π+φ=2kπ+?π,k∈Z,∴φ=2kπ
-?或φ=2kπ+?,k∈Z,又0≤φ<π,故φ=?.3.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)
(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为?的交点,则φ的值是?.答案-?解析?tanθ=tan?=?=-?,∴sinθ=-
?cosθ,将其代入sin2θ+cos2θ=1得?cos2θ=1,∴cos2θ=?,又易知cosθ<0,∴cosθ=-??,
∴sinθ=?,故sinθ+cosθ=-?.思路分析?θ=?-?,利用两角差的正切公式求得tanθ的值,由tanθ=?,
sin2θ+cos2θ=1及θ所属的象限求得sinθ与cosθ的值,从而求出sinθ+cosθ.技巧点拨求值、化简是解三
角函数问题的基础,在求值与化简时,常利用sin2α+cos2α=1实现角α的正弦、余弦的互化,利用?=tanα实现角α的弦切互化
.4.(2013课标Ⅱ,15,5分,0.271)设θ为第二象限角,若tan?=?,则sinθ+cosθ=?.5.(2013课标
Ⅰ,15,5分,0.246)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=?.解析由辅助角公式得
:f(x)=??=?sin(x-φ),其中sinφ=?,cosφ=?,由x=θ时,f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1
,∴θ-φ=2kπ+?,k∈Z,即θ=φ+?+2kπ,∴cosθ=cos?=-sinφ=-?.思路分析由辅助角公式得f(x)
=?sin(x-φ).当x=θ时,f(x)取最大值,故有θ-φ=2kπ+?,k∈Z,从而求得θ值,利用诱导公式知cosθ=-s
inφ,进而可得cosθ的值.答案-?解题关键本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.解析(1)f
?=Asin?=?,∴A·?=?,A=?.(2)f(θ)+f(-θ)=?sin?+?sin?=?,∴??=?,∴?cosθ=?,
cosθ=?,又θ∈?,∴sinθ=?=?,∴f?=?sin(π-θ)=?sinθ=?.6.(2014广东,16,12分)
已知函数f(x)=Asin?,x∈R,且f?=?.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=?,θ∈?,求f?.答案?A∵s
inα=?,α∈?,∴cosα=?,sin2α=2sinαcosα=2×?×?=?=?,cos2α=1-2sin2α=
1-2×?=1-?=?,∴cos?=?×?-?×?=?.故选A.A组2016—2018年高考模拟·基础题组考点三角函数式的求
值与化简1.(2018山西长治二模,6)已知sinα=?,α∈?,则cos?的值为?()A.??B.??C.??D.?三年
模拟答案?B因为0°<α<90°,所以75°<75°+2α<255°.又因为sin(75°+2α)=-?<0,所以180°<75
°+2α<255°,角75°+2α为第三象限角,所以cos(75°+2α)=-?.所以sin(15°+α)·sin(75°-α)=
sin(15°+α)·cos(15°+α)=?sin(30°+2α)=?sin[(75°+2α)-45°]=?[sin(75°+2
α)cos45°-cos(75°+2α)sin45°]=?×?=?,故选B.2.(2018河南濮阳一模,5)设0°<α<90°
,若sin(75°+2α)=-?,则sin(15°+α)·sin(75°-α)=?()A.??B.??C.-??D.-?答案
?B解法一:∵sin?=?×(sinθ+cosθ)=?,∴sinθ+cosθ=?①,∴2sinθcosθ=-?.∵θ
是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-?=-?②,由①②得sinθ=-?,cosθ=?,
∴tanθ=-?,∴tan?=?=-?.解法二:∵?+?=?,∴sin?=cos?=?,又2kπ-?<θ<2kπ,k∈Z,∴2k
π-?<θ+?<2kπ+?,k∈Z,3.(2018河北百校联盟4月联考,6)已知θ是第四象限角,且sin?=?,则tan?=?(
)A.??B.-??C.-??D.?∴cos?=?,∴sin?=?,∴tan?=?=?,∴tan?=-tan?=-?.答案??
??C由sin?+cosα=-?,得?sinα+?cosα+cosα=-?,即?sinα+?cosα=-?,亦即?s
in?=-?,∴sin?=-?.∴cos?=sin?=sin?=-?,故选C.5.(2017河北衡水中学三调考试,3)若α∈?,且
3cos2α=sin?,则sin2α的值为?()A.-??B.??C.-??D.?答案????C由3cos2α=si
n?可得3(cos2α-sin2α)=?(cosα-sinα),又由α∈?可知cosα-sinα≠0,于是3(cosα+
sinα)=?,所以1+2sinα·cosα=?,故sin2α=-?.故选C.4.(2018广东七校3月联考,6)已知si
n?+cosα=-?,则cos?=?()A.-??B.??C.-??D.?答案?A由于角α为锐角,且sin?=?,则co
s?=?,则cos?=cos?=cos?cos?+sin?sin?=?×?+?×?=?,故选A.7.(2018河南洛阳二模,13)
已知sinα+cosα=?,则cos4α=?.答案???解析由sinα+cosα=?,得sin2α+cos2α+2s
inα·cosα=1+sin2α=?,所以sin2α=?,从而cos4α=1-2sin22α=1-2×?=?.6.(20
17山西太原五中4月模拟,6)已知角α为锐角,若sin?=?,则cos?=?()A.??B.??C.??D.?答案????
解析????=?=?=?=?.9.(2016山东济宁一模,14)已知α,β∈?,tan(α+β)=9tanβ,则tanα的最大
值为?.答案????解析∵α,β∈?,∴tanα>0,tanβ>0,∴tanα=tan(α+β-β)=?=?=?≤?=?
?当且仅当?=9tanβ时等号成立?,∴(tanα)max=?.8.(2017豫北名校4月联考,14)计算:?=?.(用数字作
答)B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:30分钟分值:50分)答案?A由题意可得f''(x)=cosx+s
inx,∴f''(α)=cosα+sinα.由f''(α)=3f(α),得cosα+sinα=3sinα-3cosα
,∴2sinα=4cosα,即tanα=2.∴tan2α=?=?=-?,故选A.一、选择题(每题5分,共30分)1.(20
18广东揭阳二模,5)已知f(x)=sinx-cosx,实数α满足f''(α)=3f(α),则tan2α=?()A.-?
?B.-??C.??D.?思路分析由f(x)=sinx-cosx得f''(x),利用f''(α)=3f(α)求得tanα
的值,从而求得tan2α的值.易错警示在求解f''(x)时,易把(cosx)''错求为sinx,从而导致错解.答案?B已知
等式可化为atanα+b=atanβ-btanα·tanβ,即b(1+tanα·tanβ)=a·(tanβ-tan
α),∴?=?=tan(β-α),又∵α+?与β的终边相同,即β=2kπ+α+?(k∈Z),∴tan(β-α)=tan?=tan?
=?,即?=?,故选B.2.(2018河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知atanα+b=(a-btanα)tanβ,且
α+?与β的终边相同,则?的值为()A.??B.??C.??D.?方法技巧应用公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是
沟通题设条件与结构中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”“
升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有“常值代换”“逆用、变用公
式”“通分、约分”“分解与组合”“配方与平方”等.答案????D解法一:?cos15°-4sin215°cos15°=?co
s15°-2sin15°·2sin15°cos15°=?cos15°-2sin15°·sin30°=?cos15°
-sin15°=2cos(15°+30°)=2cos45°=?.故选D.解法二:因为cos15°=?,sin15°=?,所
以?cos15°-4sin215°·cos15°=?×?-4×?×?=?×?=?.故选D.3.(2018福建福州3月模拟,4)
?cos15°-4sin215°cos15°=?()A.??B.??C.1????D.?方法总结三角函数求值问题中所
给的角往往都是非特殊角,解决这类问题的主要思路有:①化为特殊角的三角函数值求解;②化为正负相消的项,消项求值;③化分子、分母,使之
出现公约数,约分求值.答案?B?f(x)=5cosx+12sinx=13?=13sin(x+α),其中sinα=?,cos
α=?,由题意知θ+α=2kπ-?(k∈Z),得θ=2kπ-?-α(k∈Z),那么cosθ=cos?=cos?=-sinα=-
?,故选B.4.(2017豫北名校联考,8)若函数f(x)=5cosx+12sinx在x=θ时取得最小值,则cosθ=?(
)A.??B.-??C.??D.-?解题关键利用辅助角公式进行化简,找出θ与α的关系是解决本题的关键.答案?C?tanα+
tan?=2tanαtan?-2??=-2?tan?=-2,∵α为第二象限角,∴sin?=?,cos?=-?,则sin?=-si
n?=-sin?=cos?sin?-sin?cos?=-?.思路分析由已知条件得tan?=-2,利用同角三角函数的基本关系及α的
范围求出sin?与cos?的值,进而利用三角恒等变换求sin?的结果.5.(2017河南百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,
且tanα+tan?=2tanαtan?-2,则sin?等于?()A.-??B.??C.-??D.?答案?D∵△ABC
是锐角三角形,∴A+B>?,A、BB>?-A>0,则sinB>sin?=cosA,cosB,∴sinB-cosA>0,cosB-sinA<0,∴角α+?为第四象限角,∴sin?=-?,∴cosα=cos??-?
?=cos?cos?+sin?·sin?=?-?,∴cos2α=2cos2α-1=-?-?,故选D.解题关键利用锐角三角形的定
义及正、余弦函数的单调性得出α+?的范围是解决本题的关键.合理进行“拆角”是正确解决本题的保证.6.(2016安徽皖江名校联考,1
0)已知在锐角△ABC中,角α+?的终边过点P(sinB-cosA,cosB-sinA),且cos?=?,则cos2α的
值为?()A.??B.-?-??C.?-??D.-?-?答案????解析由cosα=?,0<α?=?,由0<β<αβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=?×?+?×?=?.∵β∈?,∴β=?.二
、填空题(每题5分,共10分)7.(2018河南六市4月联考,4)已知cosα=?,cos(α-β)=?,若0<β<α=?.思路分析?β=α-(α-β),求出sinα与sin(α-β)的值,即可利用两角差的余弦公式求cosβ的值,从而得出β的大
小.解题关键?细化角的范围及合理利用凑角法是解决本题的关键.答案-?解析∵sinα+cosα=?,两边平方得1+sin
2α=?,∴sin2α=-?,∴(sinα-cosα)2=1-sin2α=?,∵α为第二象限角,∴sinα>0,cos
α<0,∴sinα-cosα=?,∴cos2α=-(sinα-cosα)(sinα+cosα)=-?×?=-?.8.
(2016福建宁德一模,15)已知α为第二象限角,sinα+cosα=?,则cos2α=?.思路分析由(sinα+cos
α)2=1+sin2α,(sinα-cosα)2=1-sin2α及α所属的象限可求得sinα-cosα的值,利用co
s2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=-(sinα-cosα)(sinα+cosα)可求得cos
2α的值.易错警示本题解答时易忽视α所属的象限,从而导致sinα-cosα的值求解错误.三、解答题(共10分)9.(20
18豫南九校4月联考,17)已知函数f(x)=sin?-2sin?cos?.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)
若x∈?,且F(x)=-4λf(x)-cos?的最小值是-?,求实数λ的值.解析(1)∵f(x)=sin?-2sin?cos?=?cos2x+?sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=?cos2x+?sin2x+sin2x-cos2x=?cos2x+?sin2x-cos2x=sin?,∴函数f(x)的最小正周期T=?=π.由2kπ-?≤2x-?≤2kπ+?得kπ-?≤x≤kπ+?(k∈Z),∴函数f(x)的单调递增区间为?(k∈Z).(2)F(x)=-4λf(x)-cos?=-4λsin?-?=2sin2?-4λsin?-1=2?-1-2λ2.∵x∈?,∴0≤2x-?≤?,∴0≤sin?≤1.①当λ<0时,当且仅当sin?=0时,f(x)取得最小值,最小值为-1,这与已知不相符;②当0≤λ≤1时,当且仅当sin?=λ时,f(x)取得最小值,最小值为-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-?,解得λ=-?(舍)或λ=?;③当λ>1时,当且仅当sin?=1时,f(x)取得最小值,最小值为1-4λ,由已知得1-4λ=-?,解得λ=?,这与λ>1矛盾.综上所述,λ=?.思路分析(1)由题设条件借助三角恒等变换的知识及正弦函数的图象和性质求解;(2)借助正弦函数的有界性分类探求最小值,建立方程求解.失分警示(1)对三角恒等变换公式记忆不熟,导致化简f(x)出错而失分;(2)忽略自变量x的取值范围,从而导致未对λ进行分类讨论,最终失分. |
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