高考文数(课标专用)§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理答案????A本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.∵E是
AD的中点,∴?=-??,∴?=?+?=-??+?,又知D为BC的中点,∴?=?(?+?),因此?=-?(?+?)+?=??-??
,故选A.A组??统一命题·课标卷题组1.(2018课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则?
=?()A.??-???B.??-??C.??+???D.??+??五年高考规律总结平面向量线性运算问题的常见类型及解题
策略:(1)考查向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则.(2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行
四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)与三角形联系,求参数的值.求出向量的和或差与已知条件中的式子比
较,然后求参数.(4)与平行四边形联系,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或
三角形中求解.2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则?()A.a⊥bB.|a|=
|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案????A本题考查向量的有关概念.由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻
边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故选A.一题多解将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-
2a·b+|b|2,即a·b=0,故a⊥b.故选A.答案????A解法一:根据题意得?=(3,1),∴?=?-?=(-4,-3)
-(3,1)=(-7,-4).故选A.解法二:设C(x,y),则?=(x,y)-(0,1)=(x,y-1)=(-4,-3),解得x
=-4,y=-2,故?=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).3.(2015课标Ⅰ,2,5分,0.734)已知点A(0,1)
,B(3,2),向量?=(-4,-3),则向量?=?()A.(-7,-4)????B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,
4)答案????A设?=a,?=b,则?=-?b+a,?=-?a+b,从而?+?=?+?=?(a+b)=?,故选A.知识拓展①
在△ABC中,D为BC边的中点,则?=?(?+?).②设O为△ABC的重心,则?+?+?=0.4.(2014课标Ⅰ,6,5分,0.
498)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则?+?=?(????)A.??B.???C.??D.??解析
因为a∥b,所以?=?,解得m=-6.5.(2018课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,
λ).若c∥(2a+b),则λ=?.解析由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解
得λ=?.答案???6.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=?.答案-
6易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.答案????D??+?+?+?=(?+?)+(?+?)=2?+2?=4?.故选D.
B组??自主命题·省(区、市)卷题组考点一向量的线性运算及几何意义(2014福建,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交
点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则?+?+?+?等于?()A.??B.2??C.3??D.4?考点二平面向量
基本定理及向量的坐标运算1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=?()A.2?
???B.3????C.4????D.6答案????B∵a与b共线,∴2×6=4x,∴x=3,故选B.答案????A?c=a
+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=-?.故选A.3.(2015广东,9,5分)在平
面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,?=(1,-2),?=(2,1),则?·?=?()A.5????B.4
????C.3????D.2答案????A∵四边形ABCD是平行四边形,∴?=?+?=(3,-1),∴?·?=2×3+1×(
-1)=5.选A.2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于?(
)A.-??B.-??C.??D.?4.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P
的坐标为(2,0),则|?+?+?|的最大值为?()A.6????B.7????C.8????D.9答案????B因为
点A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,所以AC为圆x2+y2=1的直径,?设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-
x1,-y1).又P(2,0),所以?=(x1-2,y1),?=(x2-2,y2),?=(-x1-2,-y1),所以?+?+?=(
x1-2+x2-2-x1-2,y1+y2-y1)=(x2-6,y2),所以|?+?+?|=?=?=?,又-1≤x2≤1,所以|?+
?+?|的最大值为?=7.故选B.5.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=?.答
案-3解析本题考查向量平行的条件.∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.C组??教
师专用题组1.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=?()A.(-2,1)????B.
(2,-1)????C.(2,0)????D.(4,3)答案????B??b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故选B
.2.(2014北京,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=?()A.(5,7)????B.(5,
9)C.(3,7)????D.(3,9)答案????A由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1
)=(5,7).故选A.解析(1)∵m=n=?,?=(1,2),?=(2,1),∴?=?(1,2)+?(2,1)=(2,2),∴
|?|=?=2?.(2)∵?=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),∴?两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由
图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.评析本题考查向量的坐标运算、向量的模及简单的线性
规划等基础知识,考查灵活运用知识处理问题及运算求解的能力.(2)中,将求m-n的最大值转化为简单的线性规划问题是解题的关键.3.(
2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成
的区域(含边界)上,且?=m?+n?(m,n∈R).(1)若m=n=?,求|?|;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.考
点一向量的线性运算及几何意义1.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若?=λ?+μ?,其中λ,μ∈R,则?
=?()A.-2?B.-??C.-??D.?答案????A??=?+?=?+?=?-?+??=?-??,∴λ=1,μ=-?
,∴?=-2.故选A.?A组2016—2018年高考模拟·基础题组三年模拟2.(2018江西南昌二模,7)已知P为△ABC所
在平面内一点,?+?+?=0,|?|=|?|=|?|=2,则△ABC的面积等于?()A.??B.2??C.3??D.4?答
案????B如图,设BC的中点为D,AC的中点为M,?则有?+?=2?,因为?+?+?=0,所以有?=-2?,又由D为BC的中点
,M为AC的中点,得?=-2?,则有?=?,则P、D、M三点共线且D为PM的中点,又由|?|=|?|=2,得|?|=|?|=2,|
?|=|?|=2,又M为AC的中点,所以|?|=|?|=2,所以|?|=4,|?|=|?|=|?|,所以△AMB为等边三角形,则∠
BAC=60°,则S△ABC=?×2×4×?=2?.故选B.又D为BC的中点,所以四边形CPBM为平行四边形.答案????C由C
(1,-1)、D(2,x),得?=(1,x+1),∵向量a=(x,2)与?的方向相反,∴?=?,解得x=1(舍去)或x=-2.则|
a|=?=2?.故选C.3.(2018福建漳州二模,5)已知点C(1,-1)、D(2,x),若向量a=(x,2)与?的方向相反,则
|a|=?()A.1????B.2????C.2??D.?答案????A因为?=3?,?=a,?=b,所以?=?+?=
?+??=?+?(?-?)=??-??=?b-?a,故选A.4.(2017广东东莞二模,4)如图所示,已知?=3?,?=a,?=b
,?=c,则下列等式中成立的是?()?A.c=?b-?aB.c=2b-aC.c=2a-bD.c=?a-?b答案????A
因为A,B,C在一条直线上,所以a3+a2013=1,则S2015=?=?=?,故选A.5.(2017江西六校联考,6)已知
数列{an}为等差数列,满足?=a3?+a2013?,其中A,B,C在一条直线上,O为直线AB外一点,记数列{an}的前n项和为
Sn,则S2015的值为?()A.??B.2015C.2016D.20136.(2017河南三市联考,14)在锐角△
ABC中,?=3?,?=x?+y?(x,y∈R),则?=?.解析由题设可得?+?=3(?-?),即4?=3?+?,亦即?=??+
??,则x=?,y=?.故?=3.答案3考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2018天津和平一模,5)如图,在直角梯形
ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若?=λ?+μ?(λ,μ∈R),则λ+μ的值为?()?
A.??B.??C.2????D.?答案????B建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).?不妨设AB=1,则CD=A
D=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴?=(-2,2),?=(-2,1),?=(1,2),∵?=λ
?+μ?,∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),∴?解得λ=?,μ=?,则λ+μ=?.故选B.答案????B设BC的中点
为D,则?=??=??+??=??+??,∵M,G,N三点共线,∴?+?=1.又x>0,y>0,∴3x+y=(3x+y)?=?+?
+?≥?+2?=?+?.当且仅当?=?,即x=?+?时取等号,∴3x+y的最小值是?+?.故选B.2.(2018安徽淮南一模,8
)已知G是△ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且?=x?,?=y?(x,y>0),则3x+y的最小值是?(
)A.??B.?+?C.??D.?3.(2017江西九江二模,4)设向量a=(1,2),b=(m,m+1),若a∥b,则实数m
的值为?()A.1????B.-1????C.-??D.-3答案????A因为a=(1,2),b=(m,m+1),a∥b
,故2m=m+1?m=1,应选A.答案????A由题意知D在直线AB上.令CA=CB=1,建立平面直角坐标系,如图,则B点坐标为
(1,0),A点坐标为(0,1).设D点的坐标为(x,y),因为∠DCB=30°,则直线CD的方程为y=?x,易知直线AB的方程为
x+y=1,由?得y=?,即t=?.故选A.?4.(2016安徽蚌埠二模,6)已知AC⊥BC,AC=BC,D满足?=t?+(1-
t)?,若∠ACD=60°,则t的值为?()A.??B.?-??C.?-1????D.?5.(2017河北“五个一联盟”第
一次模拟,15)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P是线段BC上一动点,Q是线段DC上一动点,?=
λ?,?=(1-λ)?,则?·?的取值范围是?.?答案[0,2]解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建
立平面直角坐标系,?A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),?=?+?=?+(1-λ)?=(2-λ,λ),?=?+
?=?+λ?=(λ,1),所以?·?=(2-λ,λ)·(λ,1)=λ(2-λ)+λ=-λ2+3λ=-?+?,∵λ∈[0,1],∴?
·?∈[0,2].6.(2017豫晋冀三省12月联考,16)如图,已知在直角梯形ABCO中,∠ABC=∠BCO=90°,AB=1,
BC=?,OC=2.设?=m?,?=n?,其中m,n∈(0,1),mn=?,G为线段MN的中点,则|?|的最小值为?.?解析因
为AB=1,BC=?,OC=2,所以易求得∠AOC=60°,OA=2,由题意可得?=?(?+?)=?(m?+n?),则|?|2=?
=?(m2?+n2?+2mn?·?)=?(4m2+4n2+4mn)=m2+n2+mn≥3mn=?,当且仅当m=n=?时等号成立,故
|?|的最小值是?.答案??B组??2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:15分钟分值:30分)选择题(每小题5分,
共30分)1.(2018皖南八校二模,9)边长为8的等边△ABC所在平面内一点O,满足?-2?-3?=0,若|?|=?,则|?|的
最大值为?()A.6??B.2??C.3??D.4?答案????C∵?-2?-3?=0,∴?-?=2?+2?,设D为BC的
中点,则2?+2?=4?,∴?=4?,∴OD∥AC,∴∠ODC=∠ACB=60°,∵△ABC是边长为8的等边三角形,∴OD=2,A
D=4?,∠ADC=90°,∴∠ADO=150°,∴在△ADO中,由余弦定理得OA=?=2?.∵|?|=?,∴P点的轨迹是以O为原
点,r=?为半径的圆.∴|?|的最大值为OA+r=3?.故选C.?解题关键根据向量运算法则确定O点的位置,求出OA是解题的关键
.答案????C以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,∵?=λ?+μ?,且λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],∴点P位于△
ABC内部(包含边界).∴所有点P构成的图形的面积为?×?×2=?.故选C.?2.(2018湖南长沙模拟,7)在平面直角坐标系x
Oy中,已知点A(?,0),B(1,2).动点P满足?=λ?+μ?,其中λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],则所有点P构成的图
形的面积为?()A.1B.2C.??D.2?解题关键本题考查平面向量的线性运算,关键是根据λ,μ的范围作出平面图形.答案
????B以A为原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图.?则P在圆x2+y2=1?上,且D(2,0),B?,又∵A(0,
0),∴?=(2,0),?=?,设P(cosα,sinα)?,∵?=x?+y?,?3.(2018湖北武汉模拟,9)在平行四边形
ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P是平行四边形ABCD内一点,且AP=1,若?=x?+y?,则3x+2y的最大
值为?()A.1????B.2????C.3????D.4∴?即?∴3x+2y=?+?=cosα-?sinα=2co
s?.∵-?<α<0,∴当α=-?时,3x+2y取得最大值2.故选B.4.(2018河北武邑中学期中,8)已知在Rt△ABC中,∠
BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设?=λ?+μ?(λ,μ∈R),则?=?()A.?
?B.??C.3????D.2?答案????A如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则
B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为(m,?m)(m≠0).?=(m,?m)=
λ?+μ?=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ)?λ=m,μ=?m,则?=?.故选A.?技巧归纳解决直角三角形、等边三角形
、矩形等特殊图形中的向量问题时,建立合适的平面直角坐标系可以快速打开思路.答案????C∵?=(1,-2),?=(a,-1),?
=(-b,0),∴?=?-?=(a-1,1),?=?-?=(-b-1,2),∵A,B,C三点共线,∴?=λ?,即(a-1,1)=λ(-b-1,2),∴?可得2a+b=1,∵a>0,b>0,∴?+?=?(2a+b)=2+2+?+?≥4+2?=8,当且仅当?=?,即a=?,b=?时取等号,故?+?的最小值为8,故选C.5.(2017福建福州3月质检,6)设向量?=(1,-2),?=(a,-1),?=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则?+?的最小值为?()A.4????B.6????C.8????D.9规律总结三点共线常用的处理办法有:(1)转化为向量共线,再利用向量共线的坐标表示求解;(2)利用直线的斜率相等求解.答案????C∵a∥b,∴(3y-5)×1+2x=0,即2x+3y=5.∵x>0,y>0,∴5=2x+3y≥2?,∴xy≤?,当且仅当3y=2x时取等号.6.(2017江西南昌十校二模,5)已知向量a=(1,-2),b=(x,3y-5),且a∥b,若x,y均为正数,则xy的最大值是?()A.2??B.??C.??D.? |
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