高考理数(课标专用)§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示答案??A本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.
∵E是AD的中点,∴?=-??,∴?=?+?=-??+?,又∵D为BC的中点,∴?=?(?+?),因此?=-?(?+?)+?=??
-??,故选A.A组??统一命题·课标卷题组考点一平面向量的概念及线性运算1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为B
C边上的中线,E为AD的中点,则?=?()A.??-???B.??-??C.??+???D.??+??五年高考题型归纳平面
向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义.(2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形
法则,求差用三角形法则;求首尾相连的向量的和用三角形法则.(3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较
,求得参数.(4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角
形中求解.2.(2015课标Ⅰ,7,5分,0.725)设D为△ABC所在平面内一点,?=3?,则?()A.?=-??+???B
.?=??-??C.?=??+???D.?=??-??方法指导利用向量加法和减法的三角形法则将?进行转化,最终将?用?与?表示
出来.3.(2014课标Ⅰ,15,5分,0.688)已知A,B,C为圆O上的三点,若?=?(?+?),则?与?的夹角为?.答案?A
??=?+?=?+?+?=?+??=?+?(?-?)=-??+??.故选A.解析由?=?(?+?)可知O为BC的中点,即BC为圆
O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以?与?的夹角为90°.思路分析?根据?=?(?+?)知O为BC的
中点,进而得BC为圆O的直径,然后利用直径所对圆周角为直角即可得到结果.解后反思在解决与共起点的向量加法有关的问题时,注意平行四
边形法则的运用,熟记“?+?=2??D为BC的中点”是解决此类问题的关键.答案90°解析本题考查向量的坐标运算.由已知得2a+
b=(4,2).又c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ=?.答案???考点二平面向量基本定理及坐标运算1
.(2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=?()A.-8????B.-
6????C.6????D.8答案??D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m
=8.故选D.思路分析求出a+b的坐标,然后利用两向量垂直的充要条件列出关于m的方程,进而解得m值.易错警示要正确区分两向量垂
直与平行的坐标表示,常因错误选用而导致失分.2.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,
λ).若c∥(2a+b),则λ=?.3.(2015课标Ⅱ,13,5分,0.724)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,
则实数λ=?.解析∵向量λa+b与向量a+2b平行,∴存在实数k使得λa+b=k(a+2b),即(λ-k)a+(1-2k)b=0
,∵a,b不平行,∴?∴k=?,λ=?.故答案为?.答案???思路分析由向量λa+b与a+2b平行知存在实数k使得λa+b=k
(a+2b),整理得(λ-k)a+(1-2k)b=0,再利用平面向量基本定理列方程组,由此可得出λ值.B组??自主命题·省(区、市
)卷题组解析由=2?知M为AC上靠近C的三等分点,由?=?知N为BC的中点,作出草图如下:则有?=?(?+?),所以?=?-?
=?(?+?)-?·?=??-??,又因为?=x?+y?,所以x=?,y=-?.考点一平面向量的概念及线性运算(2015北京,1
3,5分)在△ABC中,点M,N满足?=2?,?=?.若?=x?+y?,则x=??,y=?.答案;-答案??B设a=k1e1
+k2e2,A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴?无解.B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴?解之得
?故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D选项同A选项,无解.考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2014福建,8,5分
)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是?()A.e1=(0,0),e2=(1,2)????B.e1=(-1,
2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)????D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案?B解法
一:由圆周角定理及AB⊥BC,知AC为圆的直径.故?+?=2?=(-4,0)(O为坐标原点).设B(cosα,sinα),∴?
=(cosα-2,sinα),∴?+?+?=(cosα-6,sinα),|?+?+?|=?=?≤?=7,当且仅当cosα
=-1时取等号,此时B(-1,0),故|?+?+?|的最大值为7.故选B.解法二:同解法一得?+?=2?(O为坐标原点),又?=?
+?,∴|?+?+?|=|3?+?|≤3|?|+|?|=3×2+1=7,当且仅当?与?同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故
|?+?+?|max=7.故选B.2.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐
标为(2,0),则|?+?+?|的最大值为?()A.6????B.7????C.8????D.9解析由a=(2,1),
b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得?解得?从而m-n=-3.解析
∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.∵|a|=1,|b|=?,∴|λ|=?.3.(2014北京,10,5分)已知
向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=?.答案???4.(2015江苏,6,5分)已知向
量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为?.答案-3解析(1)解法一:∵?
+?+?=0,又?+?+?=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴?解得x=2,y
=2,即?=(2,2),故|?|=2?.解法二:∵?+?+?=0,则(?-?)+(?-?)+(?-?)=0,∴?=?(?+?+?)
=(2,2),∴|?|=2?.5.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2
),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若?+?+?=0,求|?|;(2)设?=m?+n?(m,n∈R),用
x,y表示m-n,并求m-n的最大值.(2)∵?=m?+n?,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴?两式相减得,m-n=y-x
,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.评析本题考查了向量线性坐标运算
,简单的线性规划等知识;考查运算求解,数形结合、转化与化归的思想.C组????教师专用题组考点平面向量基本定理及坐标运算(201
7江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量?,?,?的模分别为1,1,?,?与?的夹角为α,且tanα=7,?与?的夹角为4
5°.若?=m?+n?(m,n∈R),则m+n=?.?答案3解析本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识
.解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα=?,sinα=?,∵?与?的夹角为α,∴?=?,∵?=m?+n?,|?
|=|?|=1,|?|=?,∴?=?,①又∵?与?的夹角为45°,∴?=?=?,②又cos∠AOB=cos(45°+α)=cos
αcos45°-sinαsin45°=?×?-?×?=-?,∴?·?=|?|·|?|·cos∠AOB=-?,将其代入①②得m
-?n=?,-?m+n=1,两式相加得?m+?n=?,所以m+n=3.解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的
延长线于点M,N,则?=m?,?=n?,由正弦定理得?=?=?,∵|?|=?,由解法一知,sinα=?,cosα=?,∴|?|
=?=?=?,|?|=?=?=?,又?=m?+n?=?+?,|?|=|?|=1,∴m=?,n=?,∴m+n=3.答案????D因
为D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点,所以?+2?+3?=?(?+?)+2×?(?+?)+3×?×(?+?)=??
+?+?+??+??+??=??+??+?=??+?=??,故选D.A组2016—2018年高考模拟·基础题组考点一平面向量
的概念及线性运算1.(2018湖北孝感二模,8)设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点,则?+2?+3?=?()
A.???B.???C.???D.??三年模拟2.(2018河北、河南、山西三省联考,10)答案???B设点E为BC的中点,连
接AE,可知O在AE上,由?=?+?=??+??=?(?+?)+?(?-?)=??-??,故x=?,y=-?,x+y=?.故选B.
如图,在等边△ABC中,O为△ABC的重心,点D为BC边上靠近B点的四等分点,若?=x?+y?,则x+y=()A.??B.?
C.??D.?3.(2018福建高三4月质检,3)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何
图形,且与黄金分割有着密切的联系:在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且?=?.下列关系中正确的
是()A.?-?=???B.?+?=??C.?-?=???D.?+?=??答案????A由题意得,?-?=?-?=?=?=
??,所以A正确;?+?=?+?=?=??,所以B错误;?-?=?-?=?=??,所以C错误;?+?=?+?,??=?=?-?,若
?+?=??,则?=0,不合题意,所以D错误.故选A.答案????A??=??+??=??+??=??+?(?+?)=??-??,
所以λ=?,μ=-?,故λ2+μ2=?,故选A.4.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,
E为AO的中点,若?=λ?+μ?(λ,μ为实数),则λ2+μ2=?()?A.??B.??C.1????D.?5.(2016
河南中原名校3月联考,8)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,?=3?,F为AE的中点,则?=?(
)A.??-???B.??-??C.-??+???D.-??+??答案????C?解法一:如图,取AB的中点G,连接DG,C
G,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以?=?=?-?=?-??,∴?=?+?=?+??=?+??=??+??,于是?=?-?=
??-?=??-?=-??+??,故选C.解法二:?=?+?=?+??=-?+??=-?+??=-?+??+??+?(?+?+?)
=-??+??.考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2018河北衡水中学2月调研,5)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB
,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若?=2?,?=3?,?=λ?-μ?(λ,μ∈R),则?μ-λ=?()A.-?
?B.1????C.??D.-32.(2017河北衡水中学三调考试,6)在△ABC中,?=??,若P是直线BN上的一点,且满足?
=m?+??,则实数m的值为?()A.-4????B.-1????C.1????D.4答案??B根据题意设?=n?(n
∈R),则?=?+?=?+n?=?+n(?-?)=?+n?=(1-n)?+??,又?=m?+??,∴?解得?故选B.答案?A??=
λ?-μ?=λ?-μ(?+?)=(λ-μ)?-μ?=2(λ-μ)?-3μ?,因为E、M、F三点共线,所以2(λ-μ)+(-3μ)=
1,即2λ-5μ=1,∴?μ-λ=-?,故选A.答案?B∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0,即2x+3y=3,又x,y>0,∴
?+?=?×?(2x+3y)=??≥??=8,当且仅当2x=3y=?时,等号成立.∴?+?的最小值是8.故选B.3.(2016广东
茂名二模,9)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且a∥b,若x,y均为正数,则?+?的最小值是?()A.24???
?B.8????C.??D.?答案?解析如图,∵?=?+?=?+??=?+??,①?=?+?=?+??,②由①②得?=??
-??,?=??-??,∴?=?+?=?+?=??-??+??-??=??+??,∵?=λ?+μ?,∴λ=?,μ=?,λ+μ=?.
4.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若?=λ?+μ?,则实数λ+μ=?.B
组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:20分钟分值:40分)一、选择题(每题5分,共20分)1.(2018河北五个
一名校联考,5)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足?=2?,则?·(?+?)等于?()A.-??B.-
??C.??D.?导师点睛由M是BC的中点,?=2?可知点P是△ABC的重心.一题多解由题意知,AM为△ABC边BC上的中线
,∴?+?=2?,又由?=2?,知|?|=?|?|=?,|?|=?|?|=?,∴?·(?+?)=?·2?=2|?||?|·cos
π=-2×?×?=-?,故选A.答案?A?如图,∵M是BC的中点,且?=2?,∴?=?+?,∴?·(?+?)=-?,∵AM=1且
?=2?,∴|?|=?,∴?·(?+?)=-?,故选A.2.(2018河南郑州一模,9)如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A
的三等分点,点P在线段BN上且?=??+??,则实数m的值为?()A.1????B.??C.??D.?思路分析由B、P、
N三点共线可设?=λ?,得出用?、?表示?的两种表达式,进而由平面向量基本定理构造出关于λ、m的方程组,从而求m的值.答案????
D??=??+??=??+?(?-?)=m?+??,设?=λ?(0≤λ≤1),则?=?+λ?=?+λ(?-?)=(1-λ)?+λ?
,因为?=??,所以?=(1-λ)?+?λ?,则?解得?故选D.解题关键选择合适的基底,利用平面向量基本定理构造方程组是求解本题
的关键.3.(2016湖南四地一模,7)如图,在△ABC中,设?=a,?=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若?
=ma+nb,则m,n对应的值为?()A.?,??B.?,?C.?,??D.?,?思路分析利用P为CR的中点可得?=?b+
??,利用R为BQ的中点可得?=?a+??,利用Q为AP的中点可得?=??,进而可得关于?、a、b的等式,经整理可得?的表达式,由
此即可得m与n的值.答案????A连接AR,由P为CR的中点可得?=?b+??,由R为BQ的中点可得?=?a+??,由Q为AP的
中点可得?=??,所以?=?b+??,整理可得?=?a+?b,所以m=?,n=?,故选A.一题多解根据已知条件得,?=?-?=?
?-?=?(ma+nb)-a=?a+?b,?=?-?=??-?+?=??-b+a=?a+?b,∴?=?a+?b,?=-?a+?b.
∵?+?=?,?=?a+?b,∴?a+?b=?a+?b,∴?解得?故选A.答案????B设?=m?,则m>1,因为?=λ?+μ?
,所以m?=λ?+μ?,即?=??+??,又知A,B,D三点共线,所以?+?=1,即λ+μ=m,所以λ+μ>1,故选B.思路分析
由C、O、D共线可设?=m?,从而得m>1,?=??+??,利用A、B、D共线可得?+?=1,即λ+μ=m,从而由m的取值范围得λ
+μ的取值范围.4.(2016河北石家庄一模,11)A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合),
若?=λ?+μ?(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是?()A.(0,1)????B.(1,+∞)????C.(1,?]?
???D.(-1,0)二、填空题(每题5分,共20分)5.(2018清华大学自主招生3月能力测试,13)O为△ABC内一点,且?+
?+2?=0,则△OBC和△ABC的面积比?=?.解析如图所示,设AB的中点为M,连接OM,则?+?=2?,∴?+?+2?=2?
+2?=0,即?+?=0,∴点O为线段MC的中点,则S△OBC=?S△MBC=?S△ABC,所以?=?.?答案??知识拓展若
O为△ABC内一点,满足m?+n?+k?=0,则S△AOB∶S△BOC∶S△AOC∶S△ABC=k∶m∶n∶(m+n+k).解题关
键设AB中点为M,得出点O为线段MC的中点是解题的关键.6.(2018福建福州二模,16)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC
=90°,∠DCA=2∠BAC,若?=x?+y?(x,y∈R),则x-y的值为?.?答案-1思路分析根据∠ABC=90°,∠
DCA=2∠BAC,可延长DC,AB交于点E,把?转化为-?,再利用C、D、E三点共线求解.解析如图,延长DC,AB交于点E,?
因为∠DCA=2∠BAC,所以∠BAC=∠CEA.又∠ABC=90°,所以?=-?.因为?=x?+y?,所以?=-x?+y?.因为
C,D,E三点共线,所以-x+y=1,即x-y=-1.规律总结已知?=x?+y?,若A,B,C三点共线,则x+y=1;反之亦成立
.解题关键作出适当的辅助线,将问题转化为三点共线的问题进行求解.解析连接AD,AG,如图.7.(2017湘中名校3月联考,14
)已知在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,D是BC边上靠近点B的四等分点,F是AC边的中点,若点G是△ABC的重心,
则?·?=?.答案-?思路分析以{?,?}为一组基底,对?和?进行分解,进而利用向量的数量积运算进行求解.依题意,有?=?+
?=?+??=?+?(?-?)=??+??,?=??,?=?-?=?-?×?(?+?)=??+??-??-??=??-??,故?·
?=?·??=??·?-??=-?×6×6×?-?×62=-?-?=-?.名师点拨在平面向量的运算中,要根据已知条件选好基底,使得变形有方向,从而避免盲目转化.8.(2017河北百校联盟4月联考,14)已知在△ABC中,点D满足2?+?=0,过点D的直线l与直线AB,AC分别交于点M,N,?=λ?,?=μ?.若λ>0,μ>0,则λ+μ的最小值为?.解析连接AD.因为2?+?=0,所以?=??,?=?+?=?+??=?+?(?-?)=??+??.因为D、M、N三点共线,所以存在x∈R,使?=x?+(1-x)?,则?=xλ?+(1-x)μ?,所以xλ?+(1-x)·μ?=??+??,根据平面向量基本定理,得xλ=?,(1-x)μ=?,所以x=?,1-x=?,所以?+?=1,所以λ+μ=?(λ+μ)?=??≥?,当且仅当λ=?μ时等号成立,∴λ+μ的最小值为?.思路分析利用2?+?=0及向量的线性运算可得?=??+??,然后利用D、M、N三点共线再次得到?的表达式,从而利用平面向量基本定理得出λ与μ的关系,最后利用基本不等式求出λ+μ的最小值.答案????方法归纳如果a,b不共线,那么“λ1a+μ1b=λ2a+μ2b”的充要条件为“λ1=λ2且μ1=μ2”,我们常用这个结论得出不含向量的方程组. |
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