§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用

高考文数(课标专用)§5.2平面向量的数量积及平面向量的应用答案????A?cos∠ABC=?=?,所以∠ABC=30°,故选A.2.
(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量?=?,?=?,则∠ABC=?()A.30°?B.45°?C.60°?D.120°A组
??统一命题·课标卷题组考点一数量积的定义及长度、角度问题1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·
b=-1,则a·(2a-b)=?()A.4????B.3????C.2????D.0答案????B本题考查数量积的定义
和运算.a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故选B.解题关键掌握数量积的运算是求解关键.五年高考3.(
2015课标Ⅱ,4,5分,0.662)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=?()A.-1????B.
0????C.1????D.2答案????C因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0
),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.4.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向
量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=?.解析解法一:∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(
m-1,3),∵(a+b)⊥a,∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.解法二:由已知可得(a+b)·a=a·a+b·
a=1+4-m+2=0,解得m=7.解法三:如图,设a=?,b=?,a+b=?,由于向量a+b与a垂直,可知△COB为直角三角形,
故|a|2+|a+b|2=|b|2,即1+4+(m-1)2+32=m2+1,解得m=7.?答案7答案-?解析因为a⊥b,
所以a·b=0,即x+2(x+1)=0,解得x=-?.5.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m
),且a⊥b,则m=?.答案2解析∵a⊥b,∴a·b=0,又a=(-2,3),b=(3,m),∴-6+3m=0,解得m=2.6
.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=?.答案????A解法一:∵|a+
b|=?,∴a2+2a·b+b2=10.?①又|a-b|=?,∴a2-2a·b+b2=6.?②①-②,得4a·b=4,即a·b=1
,故选A.解法二:记m=a+b,n=a-b,则|m|=?,|n|=?,且a=?(m+n),b=?(m-n),则a·b=?(m+n)
·(m-n)=?(|m|2-|n|2)=1.考点二数量积的综合应用(2014课标Ⅱ,4,5分,0.523)设向量a,b满足|a+
b|=?,|a-b|=?,则a·b=?()A.1????B.2????C.3????D.5B组??自主命题·省(区、市)
卷题组考点一数量积的定义及长度、角度问题1.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的
?()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案????A设a与b的夹角为θ.因为
a·b=|a|·|b|cosθ=|a|·|b|,所以cosθ=1,即a与b的夹角为0°,故a∥b;而当a∥b时,a与b的夹角为
0°或180°,所以a·b=|a|·|b|cosθ=±|a|·|b|,所以“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条
件,故选A.2.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为?()A
.??B.??C.??D.?3.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中?的是?()A.|a·b|≤|a
||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2?D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案????C
因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cosθ=?=?=-?,又0≤
θ≤π,所以θ=?,故选C.答案????B设向量a,b的夹角为θ,因为a·b=|a||b|cosθ,所以|a·b|=|a||b
||cosθ|≤|a||b|,A成立;由向量的运算律易知C,D成立.故选B.4.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1
的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?·?的值为?()A.-??B.??
C.??D.?答案????B建立如图所示的平面直角坐标系.则B?,C?,A?,所以?=(1,0).易知DE=?AC,∠FEC=
∠ACE=60°,则EF=?AC=?,所以点F的坐标为?,所以?=?,所以?·?=?·(1,0)=?.故选B.疑难突破利用公式a
·b=|a||b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.评
析本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积,考查运算求解能力和数形结合思想.答案????D由|?|=1知,点D是以C为圆心,1为
半径的圆上的动点,设D(x,y),则(x-3)2+y2=1.|?+?+?|=|(x-1,y+?)|表示点D到点P(1,-?)的距离
,又|?|=?=?,因此?-1≤|?|≤?+1,故选D.5.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0
),B(0,?),C(3,0),动点D满足|?|=1,则|?+?+?|的取值范围是?()A.[4,6]B.[?-1,?+1]
C.[2?,2?]????D.[?-1,?+1]评析本题综合考查平面向量及其几何意义、点与圆的位置关系,同时考查数形结合的数学
思想方法.解析∵cos=?=?=?,又∈[0,π],∴a与b夹角的大小为?.6.(2018北京,9,5分)设
向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=?.7.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,?),b=(?
,1),则a与b夹角的大小为?.答案??答案-1解析本题主要考查平面向量数量积的坐标运算.∵a=(1,0),b=(-1,m)
,∴a2=1,a·b=-1,由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,即ma2-a·b=0,即m-(-1)=0,∴m=-1.解析?
?=?+?,?·?=?·(?+?)=?+?·?=32+0=9.解析??a=(1,2),b=(4,2),则c=ma+b=(m+4,2
m+2),|a|=?,|b|=2?,∴a·c=5m+8,b·c=8m+20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角,∴?=?,∴?=?,解
得m=2.9.(2015湖北,11,5分)已知向量?⊥?,|?|=3,则?·?=?.8.(2014四川,14,5分)平面向量a=(
1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=?.答案2答案9解析令e1与e2的夹
角为θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=?,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因为b·(e1-e2)=0
,所以b与e1、e2的夹角均为30°,从而|b|=?=??.解析因为a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b
=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=?,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,
解得t=-5.10.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为?.
11.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=?.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|
=??.答案?????答案-5评析本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算
求解能力以及方程思想的应用.答案????A本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离.设?=a,?=b,
?=e,以O为原点,?的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A点在第一象限,∵a与e的夹角为?,∴点A在从原
点出发,倾斜角为?,且在第一象限内的射线上.设B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+
y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而?=a-b,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2
,0)到射线y=?x(x≥0)的距离减去圆的半径,∴|a-b|min=?-1.选A.考点二数量积的综合应用1.(2018浙江,9
,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为?,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值
是?()A.?-1????B.?+1????C.2????D.2-?一题多解将b2-4e·b+3=0转化为b2-4e
·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).设?=e,?=a,?=b,?=3e,?=2e,则?⊥
?,∴点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图.?∵|a-b|=|?|,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即
为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径.∵|?|=2,∠AOM=?,∴|a-b|min=2sin?-1=?-1.2.(2018天津,
8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,?=2?,?=2?,则?·?的值为?()?A.-15
????B.-9????C.-6????D.0答案????C本题考查向量的运算.解法一:连接OA.∵?=?-?=3?-3?
=3(?-?)-3(?-?)=3(?-?),∴?·?=3(?-?)·?=3(?·?-|?|2)=3×(2×1×cos120°-1
2)=3×(-2)=-6.故选C.解法二:在△ABC中,不妨设∠A=90°,取特殊情况ON⊥AC,以A为坐标原点,AB,AC所在直
线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为∠MON=120°,ON=2,OM=1,所以O?,C?,M?,B?.故?·?=
?·?=-?-?=-6.故选C.?答案????C如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).?3.(20
17浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=?·?
,I2=?·?,I3=?·?,则?()?A.I1又OA1),?=-λ2?(λ2>1),从而I3=?·?=λ1λ2?·?=λ1λ2I
1,又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3n-m=?>0,∴n>m.从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I
2>0.4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|?|=
2,则?·?的最小值为?.解析本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B
(2,0),∴?=(1,m),?=(-2,n).∴?·?=-2+mn,又知|?|=2,∴|m-n|=2.①当m=n+2时,?·?=
mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3.∴当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,?·?取得最小值-3
.②当m=n-2时,?·?=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3.∴当n=1,即E(0,-1),F(0,1
)时,?·?取得最小值-3.综上可知,?·?的最小值为-3.答案-35.(2015安徽,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角
形,已知向量a,b满足?=2a,?=2a+b,则下列结论中正确的是?.(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量;②b为单位向量
;③a⊥b;④b∥?;⑤(4a+b)⊥?.解析∵?=2a,|?|=2,∴2|a|=2,∴|a|=1,故①正确.由?=?
-?=2a+b-2a=b,知④正确,又|b|=|?|=2,故②不正确.由a·b=??·?=?×2×2×?=-1,知③不正确.由(4
a+b)·?=(2?+?)·?=2?·?+?=2×2×2×?+4=0,知⑤正确.综上,结论正确的是①④⑤.答案①④⑤6.(201
4天津,13,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若?
·?=1,则λ的值为?.解析如图,?=?+?=?+??,?=?+?=?+??=?+??,?所以?·?=?·?=??·?+??2+
??2=?×2×2×cos120°+?+?=1,解得λ=2.答案27.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上
,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则?·?的最大值为?.解析解法一:?·?表示?在?方向上的投影与|?|的乘积,当P在B点时
,?·?有最大值,此时?·?=2×3=6.?解法二:设P(x,y),则?·?=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由题意知-1≤
x≤1,∴x=1时,?·?取最大值6,∴?·?的最大值为6.答案6答案???解析由?=2?得?=??+??,所以?·?=?·
(λ?-?)=?λ?·?-??+?λ?-??·?,又?·?=3×2×cos60°=3,?=9,?=4,所以?·?=λ-3+?λ-
2=?λ-5=-4,解得λ=?.?思路分析根据?=2?得?=??+??,利用?·?=-4以及向量的数量积建立关于λ的方程,从而
求得λ的值.8.(2017天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若?=2?,?=λ?-?(λ∈R),且
?·?=-4,则λ的值为?.一题多解以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,∠A=60
°,所以B(3,0),C(1,?),又?=2?,所以D?,所以?=?,而?=λ?-?=λ(1,?)-(3,0)=(λ-3,?λ),
因此?·?=?(λ-3)+?×?λ=?λ-5=-4,解得λ=?.?9.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的
中点,E,F是AD上的两个三等分点,?·?=4,?·?=-1,则?·?的值是?.?答案????解析解法一:?·?=?·?=
(?+?)·(?-?)=?-?,①同理,?·?=?-?,②?·?=?-?,③因为E,F是AD上的两个三等分点,所以?=9?,?=4
?,由①-③可得8?=5,即?=?.由②③可得?·?=?·?+3?=-1+?=?.解法二:由已知可得?=?+?=??+??=??-
??=?(?-?)-?(?+?)=??-??,?=?+?=??+??=??-??=?(?-?)-?(?+?)=??-??,?=?+
?=??+??=?(?-?)-?(?+?)=?=?.=??-??,?=?+?=??+??=?(?-?)-?(?+?)=??-??,
因为?·?=4,所以?·?=4,则?·?=?·?=??·?-??-??+??·?=??·?-?(?+?)=?×4-?(?+?)=-
1,所以?+?=?,从而?·?=?·?=-??-??+??·?=-?(?+?)+??·?=-?×?+?×410.(2017江苏,1
2,5分)如图,在同一个平面内,向量?,?,?的模分别为1,1,?,?与?的夹角为α,且tanα=7,?与?的夹角为45°.若?
=m?+n?(m,n∈R),则m+n=?.?答案3解析解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα=?,sinα
=?,∵?与?的夹角为α,∴?=?,∵?=m?+n?,|?|=|?|=1,|?|=?,∴?=?,①又∵?与?的夹角为45°,∴?=
?=?,②又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°=?×?-?×?=-?,∴?·
?=|?|·|?|·cos∠AOB=-?,将其代入①②得m-?n=?,-?m+n=1,两式相加得?m+?n=?,所以m+n=3.解
法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,则?=m?,?=n?,由正弦定理得?=?=?,∵|?|
=?,由解法一知,sinα=?,cosα=?,∴|?|=?=?=?,|?|=?=?=?,又?=m?+n?=?+?,|?|=|?
|=1,∴m=?,n=?,∴m+n=3.答案????B∵a=(1,?),b=(3,m),∴|a|=2,|b|=?,a·b=3+?
m,又a,b的夹角为?,∴?=cos?,即?=?,∴?+m=?,解得m=?.C组??教师专用题组考点一数量积的定义及长度、角度问
题1.(2014山东,7,5分)已知向量a=(1,?),b=(3,m).若向量a,b的夹角为?,则实数m=?()A.2??B.
??C.0????D.-?2.(2014大纲全国,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=?(
)A.-1????B.0????C.1????D.23.(2011课标全国,3)设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=
-?,则|a+2b|=?()A.??B.??C.??D.?答案????B|a+2b|=?=?=?=?.答案????B(2
a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.答案????D设∠APB=2θ,|?|=x,则?
·?=|?|·|?|·cos2θ=|?|2cos2θ=(|?|2-1)·(1-2sin2θ)=(x2-1)·?=x2-2-1+
?≥-3+2?,当且仅当x2=?即x=?时取等号,故选D.评析本题以向量的数量积为背景考查了圆的切线问题,属偏难题.用勾股定理处
理圆的切线长是解答此类问题的关键.4.(2010课标全国,11,5分)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切
点,则?·?的最小值为?()A.-4+??B.-3+?C.-4+2??D.-3+2?答案2?解析|?|=|?-?|=
?,∵|?|=|?|=?=?,?·?=0,∴|?|=?=2?,故答案为2?.6.(2012课标全国,15,5分)已知向量a,b夹角
为45°,且|a|=1,|2a-b|=?,则|b|=?.答案3?解析把|2a-b|=?两边平方得4|a|2-4|a||b|·
cos45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2?|b|-6=0.∴|b|=3?或|b|=-?(舍去).评析本题考查
了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量转化为向量的数量积是求解的关键.5.(2014湖北,12,5分)若向量?=(
1,-3),|?|=|?|,?·?=0,则|?|=?.答案????解析解法一:由题意可知CD=1,AD=BC=1,又因为?=?
?,?=2?,所以?=??,在△ADF中,?=?+?=?+??,在梯形ABCD中,?=?+?+?=-?+?+??=-??+?,在△
ABE中,?=?+?=?+??=?+?·?=??+??,所以?·?=?·?=??+??·?+??=?×22+?×2×1×?+?×1
2=?.7.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在
线段BC和DC上,且?=??,?=??,则?·?的值为?.?,C?,所以?=?,?=(1,0),又因为?=??,?=??,所以E?
,F?,因此?·?=?·?=?×?+?×?=?+?=?.评析本题考查数量积的运算,向量共线的表示等基础知识,考查学生的运算求解能
力和数形结合思想的应用.解法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的坐标系,?由于AB=2,BC=1,∠ABC=60°,所
以CD=1,等腰梯形ABCD的高为?,所以A(0,0),B(2,0),D解析由向量数量积的定义知e1·e2=|e1||e2|co
sα=1×1×?=?,而|a|=|3e1-2e2|=?=?=?=?,所以|a|=3.解析由a=(-2,-6),得|a|=?=2
?,∴a·b=|a||b|cos=2?×?×cos60°=10.9.(2014江西,12,5分)已知单位向量e1,e2
的夹角为α,且cosα=?,若向量a=3e1-2e2,则|a|=?.8.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°
,且a=(-2,-6),|b|=?,则a·b=?.答案10答案3答案????B??a·a=|a|2,b·b=|b|2=4|a|
2,设a与b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|·cosθ=2|a|2·cosθ.若xi·yi(i=1,2,3,4)中2个a均
与a相乘,则x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4=a2+a2+b2+b2=10|a|2;若xi·yi(i=1,2,3,4
)中仅有一个a与a相乘,则x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4=a2+b2+2a·b=5|a|2+4|a|2cosθ;
若xi·yi(i=1,2,3,4)中的a均不与a相乘,则x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4=4a·b=8|a|2·co
sθ.由5|a|2>4|a|2cosθ得5·|a|2+4|a|2cosθ>8|a|2cosθ,即x1·y1+x2·y2+x
3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为8|a|2cosθ,依题意得8·|a|2cosθ=4|a|2,从而cosθ=?,
又0≤θ≤π,故θ=?,选B.评析本题考查平面向量的数量积,同时考查分析问题、解决问题的能力.解题时能分析出所有情况是解题的关键
.考点二数量积的综合应用1.(2014安徽,10,5分)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y
1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2
,则a与b的夹角为?()A.??B.??C.??D.02.(2013课标Ⅰ,13,5分,0.349)已知两个单位向量a,b的夹
角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=??.解析解法一:b·c=b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-
t)b2=t|a||b|cos60°+(1-t)|b|2=?+1-t=1-?.由b·c=0,得1-?=0,所以t=2.解法二:由
题意作?=a,?=b,且=60°,|?|=|?|=1.设?=c,由c=ta+(1-t)b及b·c=0,得C在BA的延长线
上,且∠BOC=90°,所以A为BC的中点,即a=?b+?c,即c=2a+(1-2)b,所以t=2.答案23.(2013课标Ⅱ,
14,5分,0.197)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则?·?=?.解析解法一:?·?=?·(?-?)=?-??
+0=22-?×22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),
E(1,2).?∴?=(1,2),?=(-2,2).从而?·?=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.思路分析解法
一:以?与?为基底表示出?、?,再利用向量的运算求得答案.解法二:建立平面直角坐标系,表示出A,B,C,D,E的坐标,利用向量的坐
标运算即可求得答案.答案2A组2016—2018年高考模拟·基础题组考点一数量积的定义及长度、角度问题1.(2018河南开
封一模,5)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=2”是“a⊥b”的?()A.充分不必要条件????B.必要
不充分条件C.充要条件?D.既不充分也不必要条件答案????A当m=2时,a=(1,1),b=(2,-2),∴a·b=(1,1
)·(2,-2)=2-2=0,∴a⊥b,充分性成立;当a⊥b时,a·b=(m-1,1)·(m,-2)=m(m-1)-2=0,解得m
=2或m=-1,必要性不成立,∴“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A.三年模拟答案????D∵向量m=(2k-1,k)
与向量n=(4,1)共线,∴2k-1-4k=0,解得k=-?,∴m=?,∴m·n=-2×4+?×1=-?.故选D.2.(2018河
南新乡二模,5)若向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,则m·n=?()A.0????B.4????C.-??
D.-?答案????A由题意知a·b=tan67.5°+?=tan67.5°+?=tan67.5°-tan22.5°=
tan67.5°-?=?=2×?=2×?=2,故选A.3.(2018豫南九校第六次质量考评,4)若向量a=?,向量b=(1,si
n22.5°),则a·b=?()A.2????B.-2????C.??D.-?答案????D设|b|=1,则|a+b
|=|a-b|=2.由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,故以a、b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|=?,设向量a+b与a的夹
角为θ,则cosθ=?=?=?=?,∵0≤θ≤π,∴θ=?,故选D.4.(2018河北石家庄二模,5)若两个非零向量a,b满足|
a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为?()A.??B.??C.??D.?答案????A∵非零向量a,b
的夹角为60°,且|b|=1,∴a·b=|a|×1×?=?,∵|2a-b|=1,∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4|a|
2-2|a|+1=1,∴4|a|2-2|a|=0,∴|a|=?,故选A.5.(2018湖南永州二模,4)已知非零向量a,b的夹角为
60°,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=?()A.??B.1????C.??D.2答案????B由题意,得|3a
-2b|=?=?=2?.故选B.7.(2017广东广雅中学、江西南昌二中联考,4)已知a=(-2,1),b=(k,-3),c=(1
,2),若(a-2b)⊥c,则|b|=?()A.3??B.3??C.2??D.?答案????A由题意得a-2b=(-2-2
k,7),∵(a-2b)⊥c,∴(a-2b)·c=0,即(-2-2k,7)·(1,2)=0,-2-2k+14=0,解得k=6,所以
|b|=?=3?,选A.6.(2017河北“五个一名校”联盟模拟,4)已知向量a,b满足:|a|=2,|b|=4,=?,
则|3a-2b|=?()A.52????B.2??C.??D.2?答案????B(a-b)·a=0?a2=b·a,|a+
b|=2?|a|?a2+b2+2a·b=12a2?b2=9a2,所以cos=?=?=?.故选B.8.(2017山西四校联
考,5)向量a,b满足|a+b|=2?|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为?(????)A.0????B.?
?C.??D.?答案???解析以B为坐标原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A
(1,0),C(0,2),所以?=(-1,2).因为D为BC的中点,所以D(0,1),因为?=2?,所以E?,所以?=?,?所以?
·?=?·(-1,2)=-?+?=?.9.(2018广东佛山二模,14)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为B
C的中点,E在斜边AC上,若?=2?,则?·?=?.答案1+?解析因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,所以(a
+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos45°=1+?.10.(2018皖南八校三模,13)已知|a|=|
b|=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a=?.答案????B∵∠C=90°,AB=6,∴?·?=0,∴|?+?|=
|?-?|=|?|=6,∴?·?=(?+?)·(?+?)=?+?·(?+?)+?·?=?·(?+?)+4,∴当?与?+?方向相同时
,?·(?+?)取得最大值2×6=12,∴?·?的最大值为16.故选B.考点二数量积的综合应用1.(2018河北唐山二模,7)在
△ABC中,∠C=90°,AB=6,点P满足CP=2,则?·?的最大值为?(????)A.9????B.16????C.18
????D.25答案????C建立平面直角坐标系,如图所示,?设AB=AC=3,P(x,3-x)(0≤x≤3),则M(1,0)
,N(2,0),则?·?=2x2-9x+11=2?+?,∴当x=?时,?·?取到最小值,此时P?,∴k=?=?.故选C.2.(20
18江西九江二模,6)在Rt△ABC中,AB=AC,点M、N是线段AC的三等分点,点P在线段BC上运动且满足?=k?,当?·?取得
最小值时,实数k的值为?()A.??B.??C.??D.?答案????C由题意可得?=?(?+?),因为?·?=5,所以?
·?(?+?)=??·?+??·?=5,又?·?=??,?·?=??,所以有?+?=5,即?+?=5,因为c=4,所以b=2,又因
为sinC+sinA-4sinB=0,所以4b-c=a,解得a=4,由余弦定理得cosA=?=?,故选C.3.(2017河
北张家口期末,7)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为△ABC的外心,D为BC边上的中点,c=4,?·?=5,
sinC+sinA-4sinB=0,则cosA=?()A.??B.??C.??D.?答案????A∵a·b=0,∴
-m+2n=0①,∵P(m,n)在圆x2+y2=5上,∴m2+n2=5②,∵n>0,∴①②联立得,m=2,n=1,∴a=(2,2)
,b=(-1,1),∴2a+b=(3,5),∴|2a+b|=?,故选A.4.(2017湖南长沙长郡中学12月模拟,4)已知向量a=
(m,2),b=(-1,n)(n>0),且a·b=0,点P(m,n)在圆x2+y2=5上,则|2a+b|=?()A.??B.4
????C.4??D.3?5.(2018安徽淮北二模,14)在△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(3,t),B(t,-1),C
(-3,-1),若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形,则t=?.解析由已知,得?·?=0,即(3-t,t+1)·(-3-t,0
)=0,∴(3-t)(-3-t)=0,解得t=3或t=-3,当t=-3时,点B与点C重合,舍去.故t=3.答案36.(2018福
建福州二模,14)若向量a=(cosθ,sinθ),b=(?,-1),则|2a-b|的最大值为?.解析|2a-b|=?=?,
因为a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,所以|2a-b|=?=?(α为a,b的夹角),因为-1≤cosα≤1,所以0≤8-8
cosα≤16.所以0≤?≤4,可得?的最大值为4,即|2a-b|的最大值为4.答案47.(2018湖北荆州模拟,14)已知A
(x,1),B(2,y),C(3,4)三点,若?与?在?方向上的投影相同,其中O为坐标原点,则x2+y2的最小值为?.解析∵向量
?与?在?方向上的投影相同,∴|?|?=|?|?,∴?·?=?·?,∵A(x,1),B(2,y),C(3,4),∴?=(x,1),
?=(2,y),?=(3,4),∴3x+4=6+4y,即3x-4y-2=0,x2+y2表示原点O到直线3x-4y-2=0上的点(x
,y)的距离的平方,∵坐标原点O到直线3x-4y-2=0的距离d=?=?.∴x2+y2的最小值为d2=?.答案??8.(2017
湖北黄冈3月质检,13)已知两个平面向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=?,且a与b的夹角为120°,则|b|=?.解析由|
a-2b|=??a2-4a·b+4b2=21?1+2|b|+4b2=21?|b|=2(舍负).答案2B组??2016—2018年
高考模拟·综合题组(时间:20分钟分值:35分)选择题(每小题5分,共35分)1.(2018安徽安庆一模,9)已知点G是△AB
C内一点,满足?+?+?=0,若∠BAC=?,?·?=1,则|?|的最小值是?()A.??B.??C.??D.?答案????
C∵点G是△ABC内一点,满足?+?+?=0,∴G是△ABC的重心,∴?=?(?+?),∴?=?(?+?+2?·?)=?(|?|
2+|?|2)+?,∵?·?=?|?|·|?|=1,∴|?|·|?|=2,∴|?|2+|?|2≥2|?|·|?|=4,∴?≥?+?
=?.∴|?|≥?,∴|?|的最小值是?.故选C.答案????A因为?=λ?+?,且?⊥?,所以有?·?=(λ?+?)·(?-?
)=λ?·?-λ?+?-?·?=(λ-1)?·?-λ?+?=0,整理可得(λ-1)×3×4×cos120°-9λ+16=0,解得
λ=?,故选A.解题关键解答本题的关键是由题意得出?·?=(λ?+?)·(?-?)=0,进而求得λ的值.2.(2018湖北宜昌二
模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若?=λ?+?,且?⊥?,则实数λ的值为?()A.??B.??C
.6????D.?3.(2018河南六市联考,8)在△ABC中,∠C=90°,AB=2BC=4,M,N是边AB上的两个动点,且
|MN|=1,则?·?的取值范围为?()A.??B.[5,9]C.??D.?答案????A以C为原点,CA,CB所在直线分
别为x轴,y轴建立坐标系如图所示:?∵AB=2BC=4,∴∠BAC=30°,AC=2?,设AN=a,则N?,M?,∴当a=0时,?
·?取得最大值9,当a=?时,?·?取得最小值?.∴?·?的取值范围为?.故选A.思路分析建立直角坐标系,设AN=a,用a表示出
?,?,得出?·?关于a的表达式,从而得出范围.∴?·?=?·?+?·?=a2-5a+9.∵M,N在AB上,∴0≤a≤3.4.(2
018安徽师大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,?·?=?,点P是△ABC所在平面内一点,则当?+?+?取得最小值时,
?·?=?()A.??B.-??C.9????D.-9思路分析由题意可得A=?,以A为坐标原点建立坐标系,设P(x,y),
根据?+?+?=3[(x-2)2+(y-1)2+10]得到当x=2,y=1时,?+?+?取得最小值,然后求出?·?.答案????D
∵?·?=|?|·|?|·cosB=|?|2,∴|?|·cosB=|?|=6,∴?⊥?,即A=?,以A为坐标原点建立如图所示
的坐标系,?则B(6,0),C(0,3),设P(x,y),则?+?+?=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2
-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10],∴当x=2,y=1时,?+?+?取得最小值,此时?·?=(2,1)·(-6,3)=-9,故选D.答案????B因为a=(1,x-1),b=(y,2),a⊥b,则a·b=y+2(x-1)=0,即2x+y=2,因为x>0,y>0,所以2=2x+y≥2?,解得xy≤?,当且仅当2x=y,即x=?,y=1时,取等号,故xy的最大值为?,故选B.5.(2017河北张家口期末,6)已知向量a=(1,x-1),b=(y,2),其中x>0,y>0,若a⊥b,则xy的最大值为?()A.-??B.??C.1D.2答案????A如图,连接OC.?·?=(?-?)·(?-?)=?·?-?·?-?·?+?=?·?+?=-1+?,∵∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点,∴|?|∈?,∴?·?∈?,故选A.?解题关键题中隐含条件?·?=-1,?+?=0是解题关键.6.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则?·?的取值范围是?()A.??B.[-1,1)C.??D.[-1,0)答案????A解法一:根据题意,设点P为斜边AB上靠近点B的三等分点,则PB=?,PA=?,故?在?与?方向上的投影分别为?和?,因此?·?+?·?=|?||?|·cos∠BCP+|?||?|·cos∠ACP=2×?+2×?=?+?=4.同理,当点P为斜边AB上靠近点A的三等分点时,?·?+?·?=4.故选A.解法二:设点P为靠近点A的三等分点,由题意得,?=?+??=?+?(?-?)=??+??,∴?·?+?·?=?·?+?·?=??+??=?×4+?×4=4.同理,当点P为斜边AB上靠近点A的三等分点时,?·?+?·?=4.故选A.7.(2017安徽师大附中期中,9)在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是斜边AB上的一个三等分点,则?·?+?·?=?()A.4????B.??C.-??D.0分点时,?·?+?·?=4.故选A.解法三:以C为原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,由题意可知,C(0,0),B(2,0),A(0,2),不妨设P是靠近点B的一个三等分点,∴P?.∴?=?,?=(0,2),?=(2,0),∴?·?+?·?=?·(2,0)+?·(0,2)=?+?=4.同理,当点P为斜边AB上靠近点A的三等