高考理数(课标专用)§6.2等差数列答案????B本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列{an}的公差为d,则3×(
3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-?a1,又a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=-10,故选B.A组??统一
命题·课标卷题组考点一等差数列的概念及运算1.(2018课标Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S
4,a1=2,则a5=?()A.-12????B.-10????C.10????D.12五年高考答案????C本题考查
等差数列的通项公式、前n项和公式以及等差数列的性质,考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力.解法一:等差数列{an}中,S6=
?=48,则a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故选C.解法二:由已
知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组,得?即?解得?故选C.方法总结求解此类题时,常用Sn=?先求出a1+an的值
,再结合等差数列{an}中“若m,n,p,q∈N,m+n=p+q,则am+an=ap+aq”的性质求解数列中的基本量.2.(20
17课标Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为?(????)A.1
????B.2????C.4????D.8答案????C?设{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得?解得?
an=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故选C.答案????A本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公
式.设等差数列{an}的公差为d,依题意得?=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),
又a1=1,∴S6=6×1+?×(-2)=-24.故选A.3.(2017课标Ⅲ,9,5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.
若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为?()A.-24????B.-3????C.3????D.84.(2
016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=?()A.100????B.99??
??C.98????D.97思路分析用a1,d表示S9,a10,列方程组求出a1,d,从而可求得a100.考点二等差数列的性
质(2014课标Ⅰ,17,12分,0.455)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中
λ为常数,(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.解析(1)证明:由题设anan+
1=λSn-1,知an+1an+2=λSn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an
+2-an=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解
得λ=4.故an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ
=4,使得{an}为等差数列.思路分析(1)已知anan+1=λSn-1,用n+1代替n得an+1·an+2=λSn+1-1,两
式相减得结论.(2)利用a1=1,a2=λ-1,a3=λ+1及2a2=a1+a3,得λ=4.进而得an+2-an=4.故数列{an
}的奇数项和偶数项分别组成公差为4的等差数列,分别求通项,进而求出{an}的通项公式,从而证出等差数列.方法总结对于含an、Sn
的等式的处理,往往可转换为关于an的递推式或关于Sn的递推式;对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.B组??自主命题·省(区、市
)卷题组答案????C∵S3=?=3a2=12,∴a2=4.∵a1=2,∴d=a2-a1=4-2=2.∴a6=a1+5d=12.
考点一等差数列的概念及运算1.(2015重庆,2,5分)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1?
???B.0????C.1????D.6答案????B设数列{an}的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2
=4+2d,d=-1,∴a6=a4+2d=0.故选B.2.(2014福建,3,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,
S3=12,则a6等于?()A.8????B.10????C.12????D.14答案????C{?}为递减数列,可知
{a1an}也为递减数列,又a1an=?+a1(n-1)d=a1dn+?-a1d,故a1d<0,故选C.3.(2014辽宁,8,5
分)设等差数列{an}的公差为d.若数列{?}为递减数列,则?()A.d<0????B.d>0????C.a1d<0??
??D.a1d>04.(2018北京,9,5分)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为?.答案
?an=6n-3解析本题主要考查等差数列的通项公式.设等差数列{an}的公差为d,则a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5
d=6+5d=36,∴d=6,∴an=a1+(n-1)d=3+6(n-1)=6n-3.证明(1)由题意得?=anan+1,有cn
=?-?=an+1·an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以{cn}是等
差数列.(2)Tn=(-?+?)+(-?+?)+…+(-?+?)=2d(a2+a4+…+a2n)=2d·?=2d2n(n+1).所
以??=???=???=?·?N,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=?-?,n∈N,求证:数列{cn}是等差数列;(2)设a1=d,Tn=?(-
1)k?,n∈N,求证:??a1>0时,得公差d>
0,∴a3>0,∴a1+a3>2?,∴2a2>2?,即a2>?,故选C.考点二等差数列的性质1.(2015北京,6,5分)设{a
n}是等差数列.下列结论中正确的是?()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<
a1?D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>02.(2015广东,10,5分)在等差数列{an}中,若a
3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=?.答案10解析利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3
+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.3.(2014北京,12,5分)若等差数列{an
}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=?时,{an}的前n项和最大.答案8解析根据题意知a7+a8+a9=3a
8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,∴a9<0,∴当n=8时,{an}的前n项和最大.C组??教师专用题组考点一
等差数列的概念及运算1.(2016浙江,6,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1
An+2|,An≠An+2,n∈N,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N.(P≠Q表示点P与Q不重合
)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则?()A.{Sn}是等差数列????B.{?}是等差数列C.{dn
}是等差数列????D.{?}是等差数列答案????B由?=a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得
d(5d+3a1)=0,又d≠0,∴a1=-?d,则a1d=-?d2<0,又∵S4=4a1+6d=-?d,∴dS4=-?d2<0,
故选B.答案????A不妨设该锐角的顶点为C,∠A1CB1=θ,|A1C|=a,依题意,知A1、A2、…、An顺次排列,设|An
An+1|=b,|BnBn+1|=c,则|CAn|=a+(n-1)b,作AnDn⊥CBn于Dn,则|AnDn|=[a+(n-1)b
]sinθ,于是Sn=?|BnBn+1|·|AnDn|=?·c·[a+(n-1)b]sinθ=?bcsinθ·n+?(a-b
)csinθ,易知Sn是关于n的一次函数,所以{Sn}成等差数列.故选A.2.(2015浙江,3,5分)已知{an}是等差数列,
公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则?()A.a1d>0,dS4>0????B.a1d<0,dS4
<0C.a1d>0,dS4<0????D.a1d<0,dS4>0答案????C∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am
=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+?d=na1+?,得?由①得a1
=?,代入②可得m=5.3.(2013课标Ⅰ,7,5分,0.793)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0
,Sm+1=3,则m=?()A.3????B.4????C.5????D.6一题多解∵数列{an}为等差数列,且前n项
和为Sn,∴数列?也为等差数列.∴?+?=?,即?+?=0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.思路分析由am=Sm-Sm-
1,am+1=Sm+1-Sm及d=am+1-am求得d,利用等差数列前n项和公式列方程组求解.解析设等差数列{an}的公差为d,
则由题设可得?解得?从而a9=a1+8d=20.4.(2016江苏,8,5分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+?
=-3,S5=10,则a9的值是??.答案205.(2013广东,12,5分)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a
5+a7=?.答案20解析设等差数列的公差为d,则a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9
d)=20.答案????D{an}是等差数列,则an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,因为d>0,所以{an}是递增数列,故
p1正确;对p2,举反例,令a1=-3,a2=-2,d=1,则a1>2a2,故{nan}不是递增数列,p2不正确;?=d+?,当a
1-d>0时,?递减,p3不正确;an+3nd=4nd+a1-d,4d>0,{an+3nd}是递增数列,p4正确.故p1,p4是正
确的,选D.考点二等差数列的性质1.(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an
}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列?是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为?(
)A.p1,p2?B.p3,p4?C.p2,p3?D.p1,p42.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等
差数列,其末项为2015,则该数列的首项为?.解析设该等差数列为{an},若项数为2n-1,n∈N,则有a2n-1=201
5,an=1010,由a1+a2n-1=2an,得a1=5.若项数为2n,n∈N,则有a2n=2015,?=1010,由a
1+a2n=an+an+1,得a1=5.综上,a1=5.答案53.(2013课标Ⅱ,16,5分,0.064)等差数列{an}的前
n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为??.解析由Sn=na1+?d得?解得a1=-3,d=?,则Sn=
-3n+?·?=?(n2-10n),所以nSn=?(n3-10n2),令f(x)=?(x3-10x2),则f''(x)=x2-
?x=x?,当x∈?时,f(x)递减,当x∈?时,f(x)递增,又6的最小值为-49.思路分析用a1,d表示S10,S15,求出a1,d,进而得Sn,从而得nSn=?(n3-10n2),构造函数f
(x)=?(x3-10x2),利用导数研究函数单调性,从而求出nSn的最小值.答案-49方法指导构造函数f(x),利用函数的单
调性来研究数列的单调性.4.(2014江苏,20,16分)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得
Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N),证明:{an}是“H数列”;(2)设{
an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“
H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N)成立.解析(1)证明:由已知得,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn
=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以{an}是“H数列”.(2)由已知
,得S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2
)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.当d=-1时,an=2-n,Sn=?是小于2的整数,n∈N.于是对
任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-?,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”.因此d的值为-1.(3)证明:
设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N).令bn=na1,cn=(n-
1)(d-a1),则an=bn+cn(n∈N).下证{bn}是“H数列”.设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=?a1(n∈N)
.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=?,使得Tn=bm.所以{bn}是“H数列”.同理可证{cn}也是“H数列”.所以,对任意
的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N).2.(2018河南濮阳二模,7)已知
等差数列{an}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项的值为?()A.??B.??C.1????D.?答案?
???D设等差数列{an}的公差为d,由题意得?解得?∴中间一项为a5=a1+4d=?+4×?=?.故选D.答案????A∵在
等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,∴?解得a1=1,d=?,∴a7=a1+6d=1+8=9.故选A.A组??2016
—2018年高考模拟·基础题组考点一等差数列的概念及运算1.(2018湖北荆州一模,5)在等差数列{an}中,a1=1,a2+a
6=10,则a7=?()A.9????B.10????C.11????D.12三年模拟3.(2018河南信阳二模,9)《
九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、
丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古
代一种质量单位),在这个问题中,甲得?钱?()A.??B.??C.??D.?答案????C甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次
设为成等差数列的a1,a2,a3,a4,a5,设公差为d,由题意知a1+a2=a3+a4+a5=?,即?解得?故甲得?钱,故选C.
4.(2016安徽江南十校3月联考,6)在数列{an}中,an+1-an=2,Sn为{an}的前n项和.若S10=50,则数列{a
n+an+1}的前10项和为?()A.100????B.110????C.120????D.130答案????C{an
+an+1}的前10项和为a1+a2+a2+a3+…+a10+a11=2(a1+a2+…+a10)+a11-a1=2S10+10×
2=120,故选C.解析(1)∵S4=28,∴?=28,∴a1+a4=14,则a2+a3=14,又a2·a3=45,公差d>0,
∴a2?,b3=?.又{bn}是等差数列,∴b1+b3=2b2,即2×?=?+?,解得c=-?(c=0舍去).5.(2018福建外国语中
学调研,17)已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,且a2·a3=45,S4=28.(1)求数列{an}的通项公式;(
2)若bn=?(c为非零常数),且数列{bn}也是等差数列,求c的值.考点二等差数列的性质1.(2018湖南衡阳一模,6)在等差
数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为?()A.6????B.12????C.24????D
.48答案????A设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a4+a5=3,∴3a4=3,即a1+3d=1,又由a8=8得a1+7
d=8,联立解得a1=-?,d=?,则a12=-?+?×11=15.故选A.答案????D∵在等差数列{an}中,a1+3a8+
a15=120,∴由等差数列的性质可得a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,∴a2+a14=2a8=48.故选D.2
.(2018湖北荆州一模,7)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是?()A.15????B
.30????C.31????D.64答案????D设等差数列{an}的公差为d,∵a2+a3+a10=9,∴3a1+12d
=9,即a1+4d=3,∴a5=3,∴S9=?=9a5=27,故选D.答案????B由{an}为等差数列,得?-?=a5-a3=
2d=-4,即d=-2,由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+11<0,得n>?,所以Sn取最大值时的n为5,故选
B.3.(2018山西太原一模,5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9=?()A.3??
??B.9????C.18????D.274.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,?-
?=-4,则Sn取最大值时的n为?()A.4????B.5????C.6????D.4或5答案????A解法一:∵数列
{an}是等差数列,∴数列?也是等差数列,由题意知数列?的首项为-9,公差为1,∴?=n-10,∴?=0,∴S10=0.故选A.解
法二:设数列{an}的公差为d,∵?-?=2,∴?d-?d=2,∴d=2,∵a1=-9,∴S10=10×(-9)+?×2=0,故选
A.6.(2016福建四地六校联考,13)已知等差数列{an}中,a3=?,则cos(a1+a2+a6)=?.答案-?解析∵
a1+a2+a6=3a3=?π,∴cos(a1+a2+a6)=cos?π=-?.5.(2017河南百校联盟模拟,5)等差数列{an
}中,Sn是其前n项和,a1=-9,?-?=2,则S10=?()A.0????B.-9????C.10????D.-10
答案????A设公差为d,由a6=3a4,且S9=λa4,得?解得λ=18,故选A.B组??2016—2018年高考模拟·综合题
组(时间:25分钟分值:45分)一、选择题(每题5分,共35分)1.(2018山东青岛模拟,6)公差不为0的等差数列{an}的
前n项和为Sn,若a6=3a4,且S9=λa4,则λ的值为?()A.18????B.20????C.21????D.25
方法指导设公差为d,再由已知列方程组求解.答案????B∵在等差数列中,第一项、第三项、第五项分别为1,2a+1,3a+2,∴
2(2a+1)=1+3a+2,解得a=1,∴公差d=?=?=1,∴Sk=k×1+?×1=66,解得k=11或k=-12(舍).故选
B.2.(2018山东菏泽一模,8)已知在等差数列{an}中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+…+a
n,且Sk=66,则k的值为?()A.9????B.11????C.10????D.12思路分析在等差数列中,第一项、
第三项、第五项分别为1,2a+1,3a+2,可得2(2a+1)=1+3a+2,由此解得a,可得公差d,再利用求和公式列方程即可解出
.答案????C∵a1+5a3=S8,∴a1+5a1+10d=8a1+28d,∴a1=-9d,∴an=a1+(n-1)d=(n-
10)d,∴a10=0,故①一定正确,∴Sn=na1+?=-9nd+?=?(n2-19n),∴S7=S12,故③一定正确,显然②S
10最小与④S20=0不一定正确,故选C.3.(2018湖南永州三模,11)已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,满足a1+
5a3=S8,给出下列结论:①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S20=0.其中一定正确的结论是()A.①②???
?B.①③④????C.①③????D.①②④拓展延伸等差数列{an}中求前n项和Sn的最大、最小值时常用到两种方法:第一种
,当a1>0,d<0时,设?求n即可,当a1<0,d>0时,设?求n即可;第二种,用前n项和公式求得Sn=f(n),借助图象的对称
轴求解.思路分析先由已知条件得出a1与d的关系,进而表示出an与Sn,由此进行判断.答案????D∵S2018,S20170.∴S4034=?=2017(a2018+a
2017)<0,S4035=?=4035a2018>0,可知Sn<0时n的最大值是4034.故选D.4.(2018安徽淮
北一模,9)Sn是等差数列{an}的前n项和,S2018)A.2017????B.2018????C.4033????D.4034解题关键由S2018,S20170是解题的关键.易错警示本题中所求的是前n项和Sn
<0时的n的最大值,注意不要与Sn最大时的n混淆.求Sn<0时的n的最大值,运用前n项和公式求解;求Sn最大时的n一般借助通项公式
联立an≥0与an+1≤0求解.5.(2017广东潮州二模,10)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马
发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二
马相逢,问:几日相逢?()A.8日????B.9日????C.12日????D.16日思路分析“良马”每日行的里程构成
以103为首项,13为公差的数列,“驽马”每日行的里程构成以97为首项,-?为公差的等差数列,当二马相逢时,两马共行驶了1125
×2里,由此利用等差数列前n项和公式列方程求解.答案????B设n日相逢,则依题意得103n+?×13+97n+?×?=112
5×2,整理得n2+31n-360=0,解得n=9(负值舍去),故选B.解题关键将“二马相逢”问题转化为等差数列问题是解题的关键
.6.(2017湖南长沙四县3月联考,9)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(
guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四
节气晷影长的记录,其中115.1?寸表示115寸1?分(1寸=10分).节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊
蛰(寒露)春分(秋分)清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长(寸)135125.?115.1?10
5.2?95.3?85.4?75.566.5?55.6?45.7?35.8?25.9?16.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为13
0.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为?()A.72.4寸????B.81.4寸????
C.82.0寸????D.91.6寸答案????C设《易经》中记录的冬至、小寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a1,a2,…,
a13,由题意知它们构成等差数列,设公差为d,由a1=130.0,a13=14.8,得130.0+12d=14.8,解得d=-9.
6.∴a6=130.0-9.6×5=82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸.故选C.思路分析列方程求出等差数列的
公差,进而求出指定项.7.(2016江西红色七校4月联考,9)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若?=?(n∈
N),则?=?()A.16????B.??C.??D.?思路分析令Sn=38n2+14n,Tn=2n2+n,由an=Sn-Sn-1(n≥2),bn=Tn-Tn-1(n≥2)分别求出a6,b7,从而得?的值.答案????A令Sn=38n2+14n,Tn=2n2+n,∴a6=S6-S5=38×62+14×6-(38×52+14×5)=38×11+14;b7=T7-T6=2×72+7-(2×62+6)=2×13+1,∴?=?=?=16.故选A.解题关键等差数列的前n项和可写成Sn=An2+Bn的形式,本题令Sn=38n2+14n,Tn=2n2+n是解题关键.二、解答题(共10分)解析(1)由nan-(n+1)an-1=2n2+2n(n=2,3,4,…),a1=6,可得?-?=2,?=3,则?是首项为3,公差为2的等差数列,可得?=3+2(n-1)=2n+1,则an=(n+1)(2n+1)(n∈N).(2)由??=?-?(n∈N);③?
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