高考理数(课标专用)§9.1直线方程与圆的方程五年高考A组??统一命题·课标卷题组解析(1)由题设可得M(2?,a),N(-2?,a
)或M(-2?,a),N(2?,a).又y''=?,故y=?在x=2?处的导数值为?,C在点(2?,a)处的切线方程为y-a=?(x
-2?),即?x-y-a=0.y=?在x=-2?处的导数值为-?,C在点(-2?,a)处的切线方程为y-a=-?(x+2?),即?
x+y+a=0.考点一直线方程(2015课标Ⅰ,20,12分,0.308)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=?与直线l:y=kx
+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠O
PM=∠OPN?说明理由.故所求切线方程为?x-y-a=0和?x+y+a=0.?(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0
,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-
4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=?+?=?=?.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM
的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.?(12分)疑难突破要使∠OPM=∠OPN,
只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数.答案????A圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心
到直线ax+y-1=0的距离为?=1,解得a=-?.故选A.考点二圆的方程1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8
y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=?()A.-??B.-??C.??D.2思路分析将圆的方程化成标准
方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,解方程即可求得a的值.答案??+y2=?解析由已知可得该圆
经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=?
,所以圆心坐标为?,则半径r=4-?=?.故该圆的标准方程为?+y2=?.2.(2015课标Ⅰ,14,5分,0.534)一个圆经过
椭圆?+?=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为?.思路分析由已知条件和椭圆的方程分析出圆所经过的顶点的坐标
,然后求出圆心坐标,进一步求出圆的半径,从而得到圆的标准方程.解题关键利用圆的几何性质求出圆心坐标是解题的关键.3.(2018课
标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l
的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A
(x1,y1),B(x2,y2).由?得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=?.所以|AB
|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=?.由题设知?=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(
x0,y0),则?解得?或?因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有
关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,
利用待定系数法求解.4.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以
线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析本题考查直线与圆锥
曲线的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由?可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x
1=?,x2=?,故x1x2=?=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为?·?=?=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2
)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=?.
由于圆M过点P(4,-2),因此?·?=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2
)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-?.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为?,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-?时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为?,圆M的半径为?,圆M的方程为?+?=?.解后反思直线与圆锥曲线相
交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x
1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.B组??自主命题·省(区、市)卷题组考点
圆的方程1.(2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为?.答案???
x2+(y-1)2=1解析根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+
(y-1)2=1.2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14
y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于O
A的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得?+?=?
,求实数t的取值范围.?解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在
直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为?=2.设直线l的方
程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=?=?.因为BC=OA=?=2?,而MC2=d2+?,所以25=?
+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.?(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).
因为A(2,4),T(t,0),?+?=?,所以??①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.?②将①代入②,
得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从
而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤?≤5+5,解得2-2?≤t
≤2+2?.因此,实数t的取值范围是[2-2?,2+2?].考点一直线方程1.(2018湖北四地七校联考,6)已知函数f(x)=
asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若f?=f?,则直线ax-by+c=0的倾斜角为?()A.??B.??C.??D
.?答案????D由f?=f?知函数f(x)的图象关于x=?对称,所以f(0)=f?,所以a=-b,由直线ax-by+c=0知
其斜率k=?=-1,所以直线的倾斜角为?,故选D.A组2016—2018年高考模拟·基础题组三年模拟答案????D由ax+y
+3a-1=0,可得a(x+3)+(y-1)=0,令?可得x=-3,y=1,∴M(-3,1),M不在直线2x+3y-6=0上,设直
线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6),则?=?,解得c=12或c=-6(舍去),∴所求方程为
2x+3y+12=0,故选D.2.(2017河北五校联考,5)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M
点对称的直线方程为?()A.2x+3y-12=0????B.2x-3y-12=0C.2x-3y+12=0????D.2x+
3y+12=03.(2018河南八市质检,14)已知直线l1与直线l2:4x-3y+1=0垂直且与圆C:x2+y2=-2y+3相切
,则直线l1的方程是?.解析圆C的方程为x2+(y+1)2=4,圆心为(0,-1),半径r=2.由已知可设直线l1的方程为3x+
4y+c=0,则?=2,解得c=14或c=-6,即直线l1的方程为3x+4y+14=0或3x+4y-6=0.答案3x+4y+14
=0或3x+4y-6=04.(2017豫北重点中学4月联考,14)已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点A(1,3)到直线l的距离
为?,则直线l的方程为?.解析当直线过原点时,设直线方程为y=kx,由点A(1,3)到直线l的距离为?,得?=?,解得k=-7或
k=1,此时直线l的方程为y=-7x或y=x;当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a,由点A(1,3)到直线l的距离为?,得?=
?,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上所述,直线l的方程为y=-7x或y=x或x+y-2=
0或x+y-6=0.答案??y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0答案????B由题意设圆心坐标为(a,-a),则有
?=?,即|a|=|a-2|,解得a=1.故圆心坐标为(1,-1),半径r=?=?,所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y+1)2
=2.故选B.考点二圆的方程1.(2018广东珠海四校4月联考,8)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x
+y=0上,则圆C的标准方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2????B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)
2+(y-1)2=2????D.(x+1)2+(y+1)2=2答案????D设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线
y=?x对称的点的坐标为(a,b),则有?解得a=1,b=?,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-?)2=4.故选D.2.(20
17豫北名校4月联考,4)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=?x对称的圆的方程是?()A.(x-?)2+(y-1)2=4?
???B.(x-?)2+(y-?)2=4C.x2+(y-2)2=4????D.(x-1)2+(y-?)2=4答案????D由圆
x2+y2+2x-6y+1=0知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,∵圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+
3=0(a>0,b>0)对称,∴该直线经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,∴a+3b=3(a>0,b>0).∴?+?=?(
a+3b)?=??≥??=?,当且仅当?=?,即a=b时取等号,故选D.3.(2017广东七校联考,6)圆x2+y2+2x-6y+
1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则?+?的最小值是?()A.2??B.??C.4????D.?4.
(2018河南新乡二模,15)若圆C:x2+?=n的圆心为椭圆M:x2+my2=1的一个焦点,且圆C经过M的另一个焦点,则圆C的标
准方程为?.解析∵圆C的圆心为?,∴?=?,m=?.又圆C经过M的另一个焦点,则圆C经过点(0,1),从而n=4.故圆C的标准方
程为x2+(y+1)2=4.答案??x2+(y+1)2=4答案????B由题意可得圆心(0,1)到直线x-by+2b+1=0的距
离d=?=?=?≤?≤?,当且仅当b=1时取等号,所以半径最大的圆的半径r=?,此时圆的标准方程为x2+(y-1)2=2.选B.B
组??2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:35分钟分值:55分)一、选择题(每题5分,共15分)1.(2018河南豫
西五校联考,7)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程
为?()A.x2+(y-1)2=4????B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8????D.x2+(y-1)
2=16思路分析利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,利用基本不等式求距离的最大值,即为最大圆的半径,进而得其标准方程
.一题多解直线x-by+2b+1=0过定点P(-1,2),如图.?∴圆与直线x-by+2b+1=0相切于点P时,圆的半径最大,为
?,此时圆的标准方程为x2+(y-1)2=2,故选B.2.(2018江西新余五校4月联考,8)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2
,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为?()A.x-y-3=0或7x-y-15=0???
?B.x+y+3=0或7x+y-15=0C.x+y-3=0或7x-y+15=0????D.x+y-3=0或7x+y-15=0答案
????D当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,?),(2,-?),所以S△OPQ=?×2×2?=2?
.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2)?,则圆心到直线PQ的距离d=?,由平面几何知识得|PQ|=2?,S△OP
Q=?·|PQ|·d=?·2?·d=?≤?=?,当且仅当9-d2=d2,即d2=?时,S△OPQ取得最大值?.因为2?△OPQ的最大值为?,此时?=?,解得k=-1或k=-7,此时直线l的方程为x+y-3=0或7x+y-15=0.故选D.思路分析
首先对直线的斜率是否存在进行讨论.当直线的斜率存在时,求出点到直线的距离以及弦长,表示出△OPQ的面积,利用基本不等式求面积的最大
值以及对应的直线斜率,进而得到直线l的方程.方法点拨在解决有关圆的问题时,利用圆的有关性质会大大简化题目的运算,另外,应注意分类
讨论思想在此类题目中的应用.答案????B方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆的条件为a2+4a2-4(2a2
+a-1)>0,即3a2+4a-4<0,解得-20表示圆,故选B.知识拓展方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的条件为?3.(2017福建厦门4月联考,5)若a
∈?,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为?()A.0????B.1????C.2????
D.3二、填空题(每题5分,共15分)4.(2018豫南豫北精英对抗赛,13)过点(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
??.答案?x+y-1=0或3x+2y=0解析①当直线经过原点时,在两坐标轴上的截距均为0,符合题意,此时直线方程为3x+2y=
0.②当直线不经过原点时,设直线的方程为x+y+c=0,将点(-2,3)代入得c=-1,此时直线的方程为x+y-1=0.综上,符合
题意的直线方程为x+y-1=0或3x+2y=0.思路分析由题意知,所求直线为经过原点和(-2,3)的直线或是过点(-2,3)且斜
率为1的直线.由此设出直线方程并求出参数的值,即可得到所求直线的方程.易错警示忽视直线过原点的情形,从而导致漏解.5.(2017
山西运城二模,15)已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为?,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,
则圆C的方程为?.解析设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则点C到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题意可知?
∴?或?故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.答案(x+1)2+(y+1)2=2或(
x-1)2+(y-1)2=2思路分析设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,根据已知条件构建关于a、b、r的方程组,解方
程组求出圆C的方程.6.(2016湖南衡阳八中一模,16)在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向
平移5个单位,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位,沿y轴负方向平移2个单位,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于
点(2,3)对称,则直线l的方程是?.解析由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿x轴正方向平移3个单
位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线l1:y=k(x-3)+5+b,将直线l1沿x轴正方向平移1个单位,沿y轴负方向平移2个单位
,则平移后的直线方程为y=k(x-3-1)+b+5-2,即y=kx+3-4k+b.∴b=3-4k+b,解得k=?.∴直线l的方程为
y=?x+b,直线l1为y=?x+?+b,取直线l上的一点P?,则点P关于点(2,3)的对称点为?,∴6-b-?m=?(4-m)+
b+?,解得b=?.∴直线l的方程是y=?x+?,即6x-8y+1=0.答案6x-8y+1=0思路分析设直线l的方程为y=kx
+b,利用平移知识得出l1的方程,进而可得l1平移后的直线方程,结合题意可求得k的值,再利用直线关于点对称的解题方法列方程求得b的
值,从而得到直线l的方程.三、解答题(共25分)7.(2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC的顶点A的坐标为(-2
,0),直角顶点B的坐标为(0,-2?),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点.(1)求BC边所在直线方程;(2)若M为直角三角形
ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;(3)在(2)的条件下,若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心的轨迹方程.?∴所求轨迹方程
为?+?=1,即?+?=1.解析(1)易知kAB=-?,AB⊥BC,∴kCB=?,∴BC边所在直线方程为y=?x-2?.(2)由
(1)及题意得C(4,0),∴M(1,0),又∵AM=3,∴外接圆M的方程为(x-1)2+y2=9.(3)∵圆N过点P(-1,0)
,∴PN是动圆的半径,又∵动圆N与圆M内切,∴MN=3-PN,即MN+PN=3,∴点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆.∵
P(-1,0),M(1,0),∴a=?,c=1,b=?=?,思路分析(1)由kAB=-?,AB⊥BC,知kBC=?,由此求BC边
所在直线的方程;(2)由(1)中的方程,令y=0,得C(4,0),从而得圆心与半径,进而得出圆M的方程;(3)利用两圆内切得MN+
PN=3,利用椭圆定义得点N的轨迹,从而得轨迹方程.方法点拨求解直线方程或圆的方程,常用方法为待定系数法和定义法,但应注意方程的
选择.同时涉及直线的斜率时,要注意是否存在的讨论.8.(2018山西长治二中等六校3月联考,20)已知圆C经过点A?,B?,直线x
=0平分圆C,直线l与圆C相切,与圆C1:x2+y2=1相交于P,Q两点,且满足OP⊥OQ.(1)求圆C的方程;(2)求直线l的方
程.解析(1)依题意知圆心C在y轴上,可设圆心C的坐标为(0,b),圆C的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0).?(2分)因
为圆C经过A,B两点,所以?+?=?+?,即?+?-?b+b2=?+?-?b+b2,解得b=4.?(4分)又易知r2=?+?=?,
所以圆C的方程为x2+(y-4)2=?.?(5分)(2)当直线l的斜率不存在时,由l与C相切得l的方程为x=±?,此时直线l与C1
交于P,Q两点,不妨设P点在Q点的上方,则P?,Q?或P?,Q?,则?·?=0,所以OP⊥OQ,满足题意.当直线l的斜率存在时,易
知其斜率不为0,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线l的方程与圆C1的方程联立,得?消去y,整理得(1+k2)x2+2kmx+m2-1=0,?(6分)则Δ=4k2m2-4(1+k2)(m2-1)=4(k2-m2+1)>0,即1+k2>m2,则x1+x2=-?,x1x2=?,?(7分)∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=?-?+m2=?,又OP⊥OQ,所以?·?=0,即x1x2+y1y2=?+?=0,故2m2=1+k2,满足Δ>0,符合题意.?(9分)因为直线l:y=kx+m与圆C:x2+(y-4)2=?相切,所以圆心C(0,4)到直线l的距离d=?=?,即m2-8m+16=?,?(10分)故m2-8m+16=m2,得m=2,故1+k2=2×22,得k=±?.故直线l的方程为y=±?x+2.综上,直线l的方程为x=±?或y=±?x+2.?(12分)思路分析(1)由题意可知圆心C在y轴上,设出圆C的方程,再利用待定系数法求解即可.(2)首先求出直线l的斜率不存在时满足题意的直线l的方程,当直线l的斜率存在时,设出直线l的方程,与圆C1的方程联立,根据根与系数的关系与OP⊥OQ得2m2=1+k2,最后根据直线l与圆C相切,利用点到直线的距离公式进行求解. |
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