高考理数(课标专用)§10.3抛物线及其性质答案????B∵?=4?,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,
由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则?=?,即?=?.
∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.?考点一抛物线的定义和标准方程1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=8
x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若?=4?,则|QF|=?()A.??B.3????C.?
?D.2A组??统一命题·课标卷题组五年高考2.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,F
M的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=?.解析如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物
线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知
|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.?答案6思路分析过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线
求解.方法总结当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义在解题中的重要作用.答案????B不妨设
C:y2=2px(p>0),A(x1,2?),则x1=?=?,由题意可知|OA|=|OD|,得?+8=?+5,解得p=4.故选B.
考点二抛物线的几何性质1.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知
|AB|=4?,|DE|=2?,则C的焦点到准线的距离为?()A.2????B.4????C.6????D.8思路分析
设出抛物线C的方程,根据已知条件得出点A的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p的方程,解方程得出结论.2.(2018课标Ⅲ,16
,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=?.解
析本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=?+
1,设A?,B?,将直线方程与抛物线方程联立得?整理得y2-?y-4=0,从而得y1+y2=?,y1·y2=-4.∵M(-1,1)
,∠AMB=90°,∴?·?=0,即?·?+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.解法二:设A(x1,y
1),B(x2,y2),则?②-①得?-?=4(x2-x1),从而k=?=?.设AB的中点为M'',连接MM''.∵直线AB过抛物线y
2=4x的焦点,∴以线段AB为直径的☉M''与准线l:x=-1相切.∵M(-1,1),∠AMB=90°,答案2∴点M在准线l:x=
-1上,同时在☉M''上,∴准线l是☉M''的切线,切点为M,且M''M⊥l,即MM''与x轴平行,∴点M''的纵坐标为1,即?=1?y1+
y2=2,故k=?=?=2.?疑难突破运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.B组??自主命题·省(
区、市)卷题组考点一抛物线的定义和标准方程1.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴
的距离是?.答案9解析设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,∴x0=
9,即点M到y轴的距离为9.评析本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.答案2?解析抛物
线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-?(p>0),故直线x=-?过双曲线x2-y2=1的左焦点(-?,0),从而-?=-?,
得p=2?.2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=?.答案
1+?3.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则?=?.?解析|OD|=?,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C?,F?
,又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,从而有?即?∴b2=a2+2ab,∴?-2·?-1=0,又?>1,∴?=1+?.答
案????A过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.可知?=?=?=?=
?,故选A.考点二抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同
的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是?()?A.??B.?C.??D.?2
.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点?作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作
x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段B
M的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=?.所以抛
物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为?,准线方程为x=-?.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+?(k≠0),l与抛物
线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由?得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=?,x1x2=?.因为点P
的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=?x,点B的坐标为?.因为y1+?
-2x1=?=?=?=?=0,所以y1+?=2x1.故A为线段BM的中点.方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中
点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时,若要设成y=k
x+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是否为0.C组????教师专用题组答案????C
∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=xM+?=5可得M?.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为?,∵点
N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2=??,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为
y2=4x或y2=16x.故选C.思路分析根据抛物线方程及定义可得M?,从而可得以MF为直径的圆的圆心坐标,进而知该圆与y轴切于
点(0,2),由此可列出关于p的方程,解方程即可得出抛物线方程.考点一抛物线的定义和标准方程1.(2013课标Ⅱ,11,5分,0
.474)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为?
()A.y2=4x或y2=8x?B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x?D.y2=2x或y2=16x一题多解
由抛物线C:y2=2px可知焦点F为?.设A(0,2),M(x0,y0),则?=?,?=(x0,y0-2)=?.依题意,?·?=0
,即?-8y0+16=0,∴y0=4,则M?,由|MF|=5,得?+16=25,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y2=4x或y2
=16x,故选C.解析(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=?p.由抛物线定义可知A到l
的距离d=|FA|=?p.因为△ABD的面积为4?,所以?|BD|·d=4?,即?·2p·?p=4?,解得p=-2(舍去),p=2
.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.2.(2012课标,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点
为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4?,求
p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.由
于n与C只有一个公共点,故Δ=?p2+8pb=0,解得b=-?.因为m的截距b1=?,?=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.
当m的斜率为-?时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析???本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨
论的方法和数形结合的思想.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=
|FA|=?|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为?或-?.当m的斜率为?时,由已知可设n:y=?x+b,代入x2=2py得x
2-?px-2pb=0.答案????B由抛物线y2=4x,有2p=4?p=2,焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±?
x,不妨取其中一条:?x-y=0,由点到直线的距离公式,有d=?=?.故选B.评析?考查抛物线及双曲线的基本性质,点到直线的距离公
式的应用,考查运算求解能力.考点二抛物线的几何性质1.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-?=1的渐近
线的距离是?()A.??B.??C.1????D.?答案??解析由已知得抛物线的方程为y2=2px(p>0),则|FC
|=3p,∴|AF|=|AB|=?p,不妨设A在第一象限,则A(p,?p).易证△EFC∽△EAB,所以?=?=?=2,所以?=?
,所以S△ACE=?S△AFC=?×?p×?p=?p2=3?,所以p=?.评析???本题考查了抛物线的定义和方程;考查了计算求解能
力.2.(2016天津,14,5分)设抛物线?(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C
?,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3?,则p的值为?.3.(2014上海,3,4分)若抛物线y2
=2px的焦点与椭圆?+?=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为?.解析∵c2=9-5=4,∴c=2.∴椭圆?+?=1的右焦点
为(2,0),∴?=2,即p=4.∴抛物线的准线方程为x=-2.答案???x=-24.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2p
y(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线?-?=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=?.解析如图,在正三角形ABF中
,DF=p,BD=?p,∴B点坐标为?.又点B在双曲线上,故?-?=1,解得p=6.?答案6答案????D因为AB⊥x轴,且A
B过点F,所以AB是焦点弦,且|AB|=2p,所以S△CAB=?×2p×?=24,解得p=4或-12(舍),所以抛物线方程为y2=
8x,所以直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x,故选D.A组2016—2018年高考模
拟·基础题组考点一抛物线的定义和标准方程1.(2018湖北四地七校3月联考,9)已知抛物线y2=2px(p>0),点C(-4,0
),过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是?(
)A.y2=4x?B.y2=-4xC.y2=8x?D.y2=-8x三年模拟答案????B由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1
,0),准线l的方程为x=-1,由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4,所以点P的坐标为(3,2?),因此点A的坐标为(-1,2?
),所以kAF=?=-?,所以直线AF的倾斜角等于?,故选B.2.(2018广东珠海3月模拟,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,
准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=4,则直线AF的倾斜角等于?()A.??B.??C.
??D.?答案????A不妨设M(m,?)(m>0),易知抛物线C的焦点F的坐标为?,因为|MO|=|MF|=?,所以?解得m
=?,p=2,所以?=?,?=?,所以?·?=?-2=-?.故选A.3.(2018河南百校联盟4月联考,6)已知抛物线C:y2=2
px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MO|=|MF|=?(O为坐标原点),则?·?=?()A.-??B.??C.?
?D.-?答案????B不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意可知?即?∴A?,又∵点A在抛物线y2=2px上,∴?=2p×
?,即p4=16,又∵p>0,∴p=2,故选B.4.(2017江西赣州二模,4)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛
物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为?()A.1????B.2
????C.3????D.4答案????B设M(x,y),因为|OF|=?,|MF|=4|OF|,所以|MF|=2p,由抛物
线定义知x+?=2p,所以x=?p,所以y=±?p,又△MFO的面积为4?,所以?×?×?p=4?,解得p=4(p=-4舍去).所
以抛物线的方程为y2=8x.5.(2016河南中原名校联考,9)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上
一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4?,则抛物线的方程为?()A.y2=6x?B.y2=8x?C.y2=16x?D
.y2=?答案????C如图,不妨设Q点在第一象限,过P点作PN垂直于抛物线的准线,垂足为N,?由抛物线定义可知|PF|=|P
N|,又因为?=3?,所以?=2?,所以|PM|=2|PF|=2|PN|,在Rt△PNM中,cos∠MPN=?=?,由抛物线焦点弦
的性质可知|?|=?=?=?.故选C.考点二抛物线的几何性质1.(2018湖南雅礼中学、河南实验中学4月联考,11)过抛物线C:
y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点,与抛物线的准线交于点M,且?=3?,则|?|=?()A.??B.??C.?
?D.?2.(2017河北衡水中学调研,15)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A、B两点,且
|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若△AOB的面积为?,则p=?.解析解法一:易知抛物线y2=2px的焦点F的坐标为?,准线为
x=-?,不妨设点A在x轴上方,如图,过A、B作准线的垂线AA'',BB'',垂足分别为A'',B'',过点B作BH⊥AA'',交AA''于H
,则|BB''|=|A''H|,?设|FB|=t,则|AF|=|AA''|=4t,∴|AH|=|AA‘|-|A’H|=3t,又|AB|=
5t,∴在Rt△ABH中,cos∠HAB=?,∴tan∠HAB=?,则可得直线AB的方程为y=??.答案1由?得8x2-17px
+2p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=?p+p=?p,易知点O到直线AB的距离为d=|O
F|·sin∠A''AB=?×?=?p.∴S△AOB=?×?p×?p=?=?,∴p2=1,又p>0,∴p=1.解法二:设直线AB的倾
斜角为θ,不妨设点A在x轴上方,由抛物线焦点弦的性质可知|AF|=?,|BF|=?,又|AF|=4|BF|,所以?=?,解得cos
θ=?,∴sinθ=?.又|AB|=|AF|+|BF|=?+?=?,点O到直线AB的距离d=?sinθ,所以S△AOB=?|
AB|·d=?=?=?,所以p2=1,又p>0,所以p=1.1.(2018安徽六安一中4月月考,10)若曲线y=?的对称中心在抛物
线C:y2=2px(p>0)上,过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值是?()A.2??
B.6????C.3????D.2?+3答案????D由题意知y=?=2+?,所以曲线y=?可由奇函数y=?的图象平移得到,
易得其对称中心为(1,2),代入抛物线方程得4=2p,得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,设直线l的方程为x=my+1,由?
得y2-4my-4=0,设A?,B?,则y1y2=-4,由抛物线定义可知|AF|+2|BF|=?+1+2?=?+?+3≥2?+3=
2?+3,当且仅当?=?,即?=2?时,等号成立,故选D.思路分析首先求出曲线y=?的对称中心,从而得到抛物线方程,设出直线l的
方程,并与抛物线方程联立求得y1y2=-4(y1、y2分别为A、B的纵坐标),利用抛物线定义表示出|AF|+2|BF|,最后利用基
本不等式求得最小值.B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:35分钟分值:50分)一、选择题(每题5分,共20分
)答案????B不妨设点P在x轴上方,由抛物线定义可知|PF|=|PM|,|QF|=|QN|,设直线PQ的倾斜角为θ,则tan
θ=?,∴θ=?,由抛物线焦点弦的性质可知,|PF|=?=?=2?,|QF|=?=?=?,所以|MN|=|PQ|·sinθ=(|
PF|+|QF|)sin?=?×?=4,所以S△MFN=?×|MN|×p=?×4×?=2?,故选B.?2.(2018江西六校4月
联考,10)已知抛物线C:y2=2?x,过焦点F且斜率为?的直线与C交于P、Q两点,且P、Q两点在准线上的射影分别为M、N两点,则
S△MFN=?()A.8????B.2??C.4??D.8?知识拓展已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直
线l交抛物线于A,B两点(A点在x轴上方,B点在x轴下方),θ为直线l的倾斜角,则有如下结论:①|AF|=?,|BF|=?;②|A
B|=?;③S△AOB=?;④?+?=?.一题多解由题意可得直线PQ:y=??=?x-?,与抛物线方程y2=2?x联立,得?=2
?x,即3x2-5?x+?=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=?,∴|PQ|=x1+x2+p=?+?=?,所
以|MN|=|PQ|sin?=4,所以S△MNF=?×4×?=2?,故选B.思路分析由直线斜率得倾斜角θ,利用抛物线焦点弦的性质
分别求|PF|与|QF|,进而得|PQ|,利用三角函数求得|MN|,从而求得△MFN的面积.3.(2018福建六校4月联考,10)
已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线交E于A,B两点,线段AB的中点为M,其垂直平分线交x轴于点C
,MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7,则抛物线E的方程为?()A.y2=x?B.y2=2x?C.y2=4x?D.y
2=8x答案????C由题意,得F?,直线AB的方程为y=x-?,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),联立y
=x-?和y2=2px得,y2-2py-p2=0,则y1+y2=2p,所以y0=?=p,故N(0,p),又因为点M在直线AB上,所
以x0=?,即M?,因为MC⊥AB,所以kAB·kMC=-1,故kMC=-1,从而直线MC的方程为y=-x+?p,令y=0,得x=
?p,故C?,四边形CMNF的面积可以看作直角梯形CMNO与直角三角形NOF的面积之差,即S四边形CMNF=S梯形CMNO-S△N
OF=???p+?p?·p-?p·?=?p2=7,∴p2=4,又p>0,∴p=2,故抛物线E的方程为y2=4x,故选C.思路分析
联立抛物线的方程与直线AB的方程,利用根与系数关系求得AB中点M的坐标,进而写出线段AB中垂线MC的方程,得点C坐标,从而可利用S
四边形CMNF=S梯形CMNO-S△NOF建立参数p的方程,求出p即可得抛物线E的方程.答案????A过A、B分别作抛物线准线的
垂线,垂足分别为A1,B1,由题意知|MN|=?(|AA1|+|BB1|)=?(|AF|+|BF|),在△AFB中,|AB|2=|
AF|2+|BF|2-2|AF||BF|·cos120°=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|.?4.(2016湖南长郡中学
3月月考,8)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过AB的中点M作
抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则?的最大值为?()A.??B.1????C.??D.2∴?的最大值为?.思路分析作出辅助
线,利用抛物线定义可得|MN|=?,由余弦定理可得|AB|2=|AF|2+|BF|2+|AF|·|BF|,进而表示出?,利用基本不
等式求其最大值,进而得到?的最大值.∴?=?·?=??=??≤?×?=?,当且仅当|AF|=|BF|时取等号,二、填空题(每题5分
,共5分)5.(2017河南安阳二模,15)已知抛物线C1:y=ax2(a>0)的焦点F也是椭圆C2:?+?=1(b>0)的一个焦
点,点M,P?分别为曲线C1,C2上的点,则|MP|+|MF|的最小值为?.解析将P?代入?+?=1,可得?+?=1,∴b=?,
∴c=1,∴抛物线的焦点F为(0,1),∴抛物线C1的方程为x2=4y,准线为直线y=-1,设点M在准线上的射影为D,根据抛物线的
定义可知|MF|=|MD|,∴要求|MP|+|MF|的最小值,即求|MP|+|MD|的最小值,易知当D、M、P三点共线时,|MP|
+|MD|最小,最小值为1-(-1)=2.答案2思路分析求出抛物线的焦点坐标,设点M在准线上的射影为D,根据抛物线定义可得|M
F|=|MD|,从而把问题转化为求|MP|+|MD|的最小值,可推断出当D、M、P三点共线时|MP|+|MD|最小,从而得出答案.
方法技巧与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关,由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度
,“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要思路.三、解答题(共25分)6.(2018山西康杰中学4月
月考,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0),圆O:x2+y2=1.(1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一
个交点,求|AF|;(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M,N,求|MN|的最小值及相应p的值.解析(1)由题意得F(0,
1),从而抛物线C:x2=4y.?(1分)解方程组?得yA=?-2,?(3分)∴|AF|=?-1.?(5分)(2)设M(x0,y0
),则切线l:y=?(x-x0)+y0,结合?=2py0,整理得x0x-py-py0=0.?(6分)由|ON|=1得?=1,即|p
y0|=?=?,∴p=?且?-1>0.?(8分)∴|MN|2=|OM|2-1=?+?-1=2py0+?-1=?+?-1=4+?+(
?-1)≥8,当且仅当y0=?时等号成立.?(10分)∴|MN|的最小值为2?,此时p=?.?(12分)思路分析(1)求出F(0
,1),得到抛物线方程,联立圆的方程与抛物线的方程,求出点A的纵坐标,然后求得|AF|;(2)设M(x0,y0),求出切线l:y=
?(x-x0)+y0,由|ON|=1,求得p=?,从而得出|MN|2的表达式,进而利用基本不等式求最小值以及p的值.名师点拨解决
圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形的性质来解决;②代数法,若
题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值,求最值常用基本不等式法、配方法及导数法.解析(1)设抛物线的方程是x2=2py(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义可知y1+y2+p=8,又AB的中点到x轴的距离为3,∴y1+y2=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程是x2=4y.?(4分)(2)由题意知,直线m的斜率存在,设直线m:y=kx+6(k≠0),P(x3,y3),Q(x4,y4),由?消去y得x2-4kx-24=0,∴?()?(6分)7.(2017河南3月适应性测试,20)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上,过点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的长是8,AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点.连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.又F(0,1),∴?=?,即(?-4)(?-4)+16x3x4=0,整理得(x3x4)2-4[(x3+x4)2-2x3x4]+16+16x3x4=0,?(10分)将()式代入上式得k2=?,∴k=±?,∴直线m的方程为y=±?x+6.?(13分)易知抛物线在点P?处的切线方程为y-?=?(x-x3),令y=-1,得x=?,∴R?,?(8分)又Q,F,R三点共线,∴kQF=kFR,知识拓展由A、B、C三点共线得:(1)kAB=kAC(斜率存在);(2)存在λ∈R,使?=λ?(?≠0).思路分析(1)运用抛物线的定义及中点坐标公式求解;(2)设出直线m的方程,与抛物线方程联立,借助相关点的坐标之间的关系建立方程求解. |
|
