高考理数(课标专用)§10.5曲线与方程解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(
x0,0),?=(x-x0,y),?=(0,y0).由?=??得x0=x,y0=?y.因为M(x0,y0)在C上,所以?+?=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.A组统一命题·课标卷题组1.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭
圆C:?+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足?=??.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且?·?
=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.五年高考思路分析(1)设出P、M的坐标,利用?=??得到P、M坐标间的关系
,由点M在C上求解.(2)利用向量的坐标运算得?·?=0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-
3,t),P(m,n),则?=(-3,t),?=(-1-m,-n),?·?=3+3m-tn,?=(m,n),?=(-3-m,t-n
).由?·?=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以?·?=0,即?⊥?.又过点
P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.方法总结求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法
、待定系数法和直译法.间接法有相关点法、交轨法和参数法.解析由题设知F?.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A?,B?
,P?,Q?,R?.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.?(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+
ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=?=?=?=?=-b=k2.所以AR∥FQ.?(5分)2.(2016课标全
国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点
.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(2
)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=?|b-a||FD|=?|b-a|?,S△PQF=?.由题设可得2×?|b-a|
?=?,所以x1=0(舍去),或x1=1.?(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可
得?=?(x≠1).而?=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.?(1
2分)疑难突破第(1)问需把AR∥FQ的证明转化为kAR=kFQ的证明;第(2)问需找到AB中点所满足的几何条件,从而将其转化为
等量关系.3.(2013课标全国Ⅰ,20,12分,0.150)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆
P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两
点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3
.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)
=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为?的椭圆(左顶点除外),其方程为?+?=
1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2
,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2?
.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则?=?,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x
+4).由l与圆M相切得?=1,思路分析(1)由动圆P与两定圆的位置关系可求得|PM|+|PN|=4,根据椭圆的定义即可判定动圆
圆心P的轨迹,进而求得曲线C的方程,注意检验特殊点是否符合题意;(2)根据条件确定圆P的半径最长时圆P的方程,对直线l的倾斜角进行
讨论.当直线的斜率不存在时,直接求|AB|.当直线的斜率存在时,利用相切关系求其斜率与方程,将直线方程代入曲线C的方程,解出x,再
利用弦长公式求|AB|.解得k=±?.当k=?时,将y=?x+?代入?+?=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=?.所
以|AB|=?|x2-x1|=?.当k=-?时,由图形的对称性可知|AB|=?.综上,|AB|=2?或|AB|=?.方法总结应用
定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出动点满足的等量关系,由等量关系结合相应曲线定义判断是何种曲线,进而得出曲线标准方程中的相关
量.B组自主命题·省（区、市）卷题组考点轨迹与轨迹方程(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中
点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽
AB内做往复运动时,?N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2
所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若
直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1 图2 解
析(1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,?=2?,且|?|=|?|=1,?所以(t-x,
-y)=2(x0-t,y0),且?即?且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x
0=?,y0=-?,代入?+?=1,可得?+?=1,即曲线C的方程为?+?=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4
或x=-4,都有S△OPQ=?×4×4=8.(ii)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m?,由?消去y,可得(1+4k2)
x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=
0,即m2=16k2+4.①又由?可得P?;同理可得Q?.由原点O到直线PQ的距离为d=?和|PQ|=?·|xP-xQ|,可得S△
OPQ=?|PQ|·d=?|m||xP-xQ|=?·|m|·?=?.②将①代入②得,S△OPQ=?=8?.当k2>?时,S△OPQ
=8·?=8?>8;当0≤k2≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,
△OPQ的面积取得最小值8.评析本题考查求轨迹方程的方法,及直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识.答案????D设P(x,y).
由|?|-|?|=2可得点P在以两定点A、B为焦点的双曲线的上支,其中2a=2,c=2,∴b=?.∴点P(x,y)满足方程y2-?
=1(y≥1).由?解得?所以?·?=(x,y+2)·(x,y-2)=x2+y2-4=9+4-4=9,故选D.A组2015—2
017年高考模拟·基础题组(时间：30分钟分值：35分)一、选择题(共5分)1.(2016湖南东部六校2月联考,5)已知两定
点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆?+?=1上,且满足|?|-|?|=2,则?·?=?()A.-12????B.12
????C.-9????D.9三年模拟二、填空题(共5分)2.(2017豫北名校4月联考,15)已知△ABC的顶点B(0,0)
,C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为?.解析设A(x,y),由题意可知D?.又∵|CD|=3,∴?
+?=9,即(x-10)2+y2=36,由于A、B、C三点不共线,∴点A不能落在x轴上,即y≠0,∴点A的轨迹方程为(x-10)2
+y2=36(y≠0).答案(x-10)2+y2=36(y≠0)解析(1)依题意可得,直线l的斜率存在,故设其方程为y=kx+
?,又设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),由??x2-2pkx-p2=0?x1·x2=-p2.?(3分)三、解答题
(共25分)3.(2017安徽安庆二模,20)已知抛物线x2=2py(p>0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过
点B作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.(1)求点C的轨迹M的方程;(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线,切点为P,轨迹M
与直线n交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.?∴?·?=?·?=-?(p+2m)+pm+?=0?FP⊥FQ,∴以线段PQ
为直径的圆过点F.?(12分)易知直线OA:y=?x=?x,直线BC:x=x2,由?得y=?=-?,即点C的轨迹M的方程为y=-?
.?(6分)(2)证明:由题意知直线n的斜率存在.设直线n的方程为y=k1x+m.由??x2-2pk1x-2pm=0?Δ=4p2?
+8pm.∵直线n与抛物线相切,∴Δ=0?p?+2m=0,可得P(pk1,-m).又由??Q?,?(9分)4.(2016福建福安一
中3月月考,20)已知两点A(2,0),B(-2,0),直线l经过点B且与x轴垂直,点C是l上异于点B的动点,直线BP垂直线段OC
并交线段AC于点P,记点P的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点D(-1,0)的直线与曲线Γ交于M,N两点,直线AM,A
N分别与l交于E,F两点,当△AEF的面积是△AMN的面积的2倍时,求直线MN的方程.解析(1)设C(-2,m)(m≠0),则k
OC=-?,kAC=-?,所以kBP=?,所以直线BP的方程为y=?(x+2),直线AC的方程为y=-?(x-2),设P(x,y)
,则y≠0,由?得?+?=1,所以曲线Γ的方程为?+?=1(y≠0).(2)依题意知直线MN的斜率不为0,故可设直线MN的方程为x
=my-1,联立?消去x得(m2+2)y2-2my-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2)(y1≠y2),所以?=8,得?=
8,解得m=±?,所以直线MN的方程为x=±?y-1,即y=±2(x+1).则y1+y2=?,y1y2=-?,直线AM的方程为y=
?(x-2),由xE=-2,得yE=-?=-?,同理,yF=-?,所以|EF|=|yE-yF|=?=?.所以S△AEF=?×|AB
|×|EF|=?.S△AMN=?×|AD|×|y1-y2|=?|y1-y2|.又因为S△AEF=2S△AMN,所以?=3|y1-y
2|,B组2015—2017年高考模拟·综合题组(时间：30分钟分值：35分)答案????D将圆F改写成标准方程(x-
1)2+y2=12,则圆心F的坐标为(1,0),半径r=2?,由题意可知|PA|=|PB|.又点P在圆F的半径BF上,故|PA|+
|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2?>2=|AF|,所以动点P的轨迹是以A,F为焦点,2?为长轴长的椭圆,则2a=2?,2
c=2,所以b=?.故动点P的轨迹方程为?+?=1,因此选D.思路分析由题可得|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=
2?>2=|AF|,根据椭圆的定义可知动点P的轨迹为椭圆,进而可写出轨迹方程.一、选择题(每题5分,共10分)1.(2017河北衡
水中学期中,11)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则
动点P的轨迹方程为?()A.?+?=1????B.?-?=1C.?-?=1????D.?+?=12.(2015河北衡水中学
三调,8)已知点Q在椭圆C:?+?=1上,点P满足?=?(?+?)(其中O为坐标原点,F1为椭圆C的左焦点),则点P的轨迹为?(
)A.圆????B.抛物线C.双曲线????D.椭圆思路分析由?=?(?+?)可以推出P是线段F1Q的中点,由于Q在椭圆上
,F1为椭圆的左焦点,利用相关点法即可得到点P所满足的关系式,从而得到结论.答案????D因为点P满足?=?(?+?),所以P是
线段QF1的中点,由于F1为椭圆C:?+?=1的左焦点,则F1(-?,0),设P(x,y),则Q(2x+?,2y).由点Q在椭圆C
:?+?=1上,得点P的轨迹方程为?+?=1,可知点P的轨迹为椭圆.故选D.总结反思用相关点法求轨迹方程需满足情况:(1)某个动
点P在已知方程的曲线上移动;(2)另一个动点M随P的变化而变化;(3)在变化过程中,P与M满足一定规律.二、解答题(共25分)3.
(2017河南洛阳二模,20)已知动圆M过定点E(2,0),且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2
)设A,B是轨迹C上的两点,且?·?=-4,F(1,0),记S=S△OFA+S△OAB,求S的最小值.解析(1)设M(x,y),
PQ的中点为N,连MN,则|PN|=2,MN⊥PQ,∴|MN|2+|PN|2=|PM|2.又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|P
N|2=|EM|2,∴x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=4x.?(4分)(2)设A
?,B?,不妨令y1>0,则S△OFA=?·|OF|·y1=?y1,?(5分)∵?·?=-4,∴x1x2+y1y2=?+y1y2=
-4,解得y1y2=-8,①?(6分)当y1=-y2时,AB⊥x轴,A(2,2?),B(2,-2?),S△AOB=4?,S△OFA
=?,S=5?.当y1≠-y2时,直线AB的方程为?=?,?(7分)即y-y1=?,令y=0,得x=2,∴直线AB恒过定点(2,0
),设定点为E,∴S△OAB=?|OE|·|y1-y2|=y1-y2,?(9分)由①可得S△OAB=y1+?,?(10分)∴S=S
△OFA+S△OAB=?y1+?=?y1+?≥2?=4??当且仅当?y1=?,即y1=?时,取等号?.?(11分)综上,Smin=
4?.?(12分)4.(2016江西红色七校二模,20)已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M:(x-2)2+y2=64相内切.(
1)求动圆C的圆心的轨迹方程;(2)设直线l:y=kx+m(其中k,m∈Z)与(1)中所求轨迹交于不同两点B,D,与双曲线?-?=
1交于不同两点E,F,问是否存在直线l,使得?+?=0?若存在,指出这样的直线有多少条;若不存在,请说明理由.解析(1)圆M:(
x-2)2+y2=64,圆心M的坐标为(2,0),半径R=8.∵|AM|=4半径为r,依题意得r=|CA|,且|CM|=R-r,则|CM|+|CA|=8>|AM|.?(2分)∴圆心C的轨迹是中心在原点,焦点
为A,M,长轴长为8的椭圆,则a=4,c=2.∴b2=a2-c2=12.?(3分)∴动圆C的圆心的轨迹方程为?+?=1.?(4分)
(2)存在满足条件的直线l.由?消去y并整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0.?(5分)设B(x1,y1),D(x
2,y2),则x1+x2=-?.Δ1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-48)>0.①?(6分)由?消去y并整理得(3-k2
)x2-2kmx-m2-12=0.?(7分)设E(x3,y3),F(x4,y4),则x3+x4=?,Δ2=(-2km)2+4(3-
k2)(m2+12)>0.②?(8分)∵?+?=0,∴(x4-x2)+(x3-x1)=0,即x1+x2=x3+x4.?(9分)∴-
?=?.∴km=0或-?=?.解得k=0或m=0.?(10分)当k=0时,由①、②得-2?2,-1,0,1,2,3;当m=0时,由①、②得-?CA|=8>|AM|,可知圆心C的轨迹是一个椭圆,进而可确定出轨迹方程;(2)分别联立直线与椭圆和双曲线的方程并消元,由韦达定理得
相应等量关系,结合?+?=0得关于k,m的方程,再结合k,m∈Z等条件解出符合条件的k,m的值,从而得出符合条件的直线的条数.∴满
足条件的直线共有9条.?(13分)C组2015—2017年高考模拟·创新题组1.(2017安徽合肥二模,20)如图,抛物线E:
y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛
物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.
?解析(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)设C?,D?,y1≠0,y2≠
0.设切线l1:y-y1=k?,代入y2=2x得ky2-2y+2y1-k?=0,由Δ=0解得k=?,∴l1的方程为y=?x+?,同
理,l2的方程为y=?x+?.联立?解得?①∵直线CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足?+?=8,x0∈[2,2?]
,由?得x0y2+2y0y-16=0,则?②由①②可得?则?代入?+?=8得?-y2=1.考虑到x0∈[2,2?],则x∈[-4,
-2?],∴动点M的轨迹方程为?-y2=1,x∈[-4,-2?].2.(2017福建泉州二模,20)在△ABC中,O是BC的中点,
|BC|=3?,△ABC的周长为6+3?.若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|.(1)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹
E的方程;(2)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|·|ON|=1,过点M的直线与E交于P,Q,直线QN与E交于另一点R.证明
:△MPR是等腰三角形.解析(1)如图,以O为坐标原点,以?的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy.?依题意得B?,C?
.由|AB|+|AC|+|BC|=6+3?,得|AB|+|AC|=6.因为|AB|+|AC|=6>|BC|,所以点A的轨迹是以B,
C为焦点,6为长轴长的椭圆(除去长轴端点),所以点A的轨迹方程为?+?=1(x≠±3).设A(x0,y0),T(x,y),依题意知
?=??,所以(x,y)=?(x0,y0),即?又?+?=1,∴?+?=1,所以点T的轨迹E的方程为x2+2y2=1(x≠±1).(2)证明:设M(m,0)(m≠1),N?,Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3).由题意可得直线QM不与坐标轴平行,因为kQM=?,所以直线QM的方程为y=?(x-m),与x2+2y2=1联立并整理可得,(m2+1-2mx1)x2-2m(1-?)x+(2mx1-?-m2?)=0,由根与系数关系得x1x2=?,同理,x1x3=?=?=x1x2,所以x2=x3或x1=0,当x2=x3时,PR⊥x轴;当x1=0时,由x1+x2=?得x2=?,思路分析(1)以O为坐标原点,以?的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,利用椭圆的定义求得点A的轨迹方程,然后利用相关点法求得点T的轨迹E的方程;(2)设出相关点的坐标,将直线QM的方程与椭圆方程联立并消元,利用根与系数的关系及换位思考方法证明PR⊥x轴,进而得|MP|=|MR|,从而命题得证.同理,x3=?=?=x2,∴PR⊥x轴.因此|MP|=|MR|,故△MPR是等腰三角形.名师点拨求出动点的轨迹方程后,要注意检验,有些点满足轨迹方程,但不是所求轨迹上的点,则应对其中的变量x或y进行限制. |
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