高考理数(课标专用)§11.2二项式定理答案????C本题考查二项式定理.?的展开式的通项Tr+1=?(x2)5-r·(2x-1)r
=2r?·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22×?=40.故选C.A组??统一命题·课标卷题组考点???
?二项式定理的应用1.(2018课标Ⅲ,5,5分)?的展开式中x4的系数为?()A.10????B.20????C.40
????D.80五年高考2.(2017课标Ⅰ,6,5分)?(1+x)6展开式中x2的系数为?()A.15????B.20?
???C.30????D.35答案????C本题考查二项展开式中的系数问题,考查学生应用二项式定理解决与展开式系数有关问题的能
力和运算求解能力.解法一:?(1+x)6=1·(1+x)6+?·(1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数为?=15,?·(
1+x)6的展开式中的x2的系数为?=15,所以所求展开式中x2的系数为15+15=30.解法二:因为?(1+x)6=?,所以?(
1+x)6展开式中x2的系数等于(1+x2)(1+x)6展开式中x4的系数,而(1+x2)(1+x)6展开式中x4的系数为?+?=
30,故?(1+x)6展开式中x2的系数为30.解法三:因为?(1+x)6=?=?-?,所以?(1+x)6展开式中x2的系数为?-
2?=30,故选C.方法总结对于几个二项式积的展开式中的特定项系数问题,一般可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适
当地运用分类方法,以免重复或遗漏.答案????C本题考查二项式定理,求特定项的系数.(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=?·
(2x)5-r·(-y)r=(-1)r·25-r?·x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)3·22·?=-40,x3y2项的
系数为(-1)2·23·?=80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.3.(2017课标Ⅲ,
4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为?()A.-80????B.-40????C.40????D
.80答案????C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有?(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数
为?=30,故选C.4.(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10????B.
20????C.30????D.60解析???Tr+1=?(2x)5-r·(?)r=25-r?·?,令5-?=3,得r=4,∴
T5=10x3,∴x3的系数为10.5.(2016课标Ⅰ,14,5分)(2x+?)5的展开式中,x3的系数是?.(用数字填写答案)
方法总结(1)求展开式中项的系数和关键是给字母赋值,所赋的值需根据待求展开式中项的系数和的特征来确定.(2)若f(x)=a0+a
1x+a2x2+…+anxn,则所有项的系数和为f(1),奇次项的系数和为?[f(1)-f(-1)],偶次项的系数和为?[f(1)
+f(-1)].解析设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其展开式的所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1
)×16,∵展开式中x的奇数次幂项的系数和为?[f(1)-f(-1)],又f(-1)=0,∴?×(a+1)×16=32,∴a=3.
答案10方法指导利用二项展开式的通项公式求出含x3的项.6.(2015课标Ⅱ,15,5分,0.433)(a+x)(1+x)4的
展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=?.答案3解析由题意可知:含x2y7的项可表示为x·?xy7-y·?x2y6,故
(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为?-?=?-?=8-28=-20.7.(2014课标Ⅱ,13,5分,0.719)(
x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=?.(用数字填写答案)解析?Tr+1=?x10-rar,令10-r=7,得r=3,
∴?a3=15,即?a3=15,∴a3=?,∴a=?.答案????8.(2014课标Ⅰ,13,5分,0.552)(x-y)(x+
y)8的展开式中x2y7的系数为?.(用数字填写答案)答案-20思路分析(x-y)(x+y)8=x(x+y)8-y(x+y)8
,在x(x+y)8,y(x+y)8中利用二项展开式的通项公式分别求出含x2y7的项,进而求解.B组??自主命题·省(区、市)卷题组
考点????二项式定理的应用1.(2015湖南,6,5分)已知?的展开式中含?的项的系数为30,则a=?()A.??B.-??
C.6????D.-6答案????D????的展开式的通项为Tr+1=?(?)5-r·?=(-a)r?·?.依题意,令5-2r=
3,得r=1,∴(-a)1·?=30,a=-6,故选D.答案????C??Tr+1=?·(2x)7-r·?=27-r?ar·?.令
2r-7=3,则r=5.由22·?a5=84得a=1,故选C.2.(2014湖北,2,5分)若二项式?的展开式中?的系数是84,则
实数a=?()A.2????B.??C.1????D.?答案??解析本题主要考查二项展开式特定项的系数.由题意得Tr
+1=?x5-r?=???,令5-?=2,得r=2,所以??=??=?.故x2的系数为?.方法总结求二项展开式中的某一项的系数时
,直接利用展开式的通项Tr+1=?an-rbr进行求解.3.(2018天津,10,5分)在?的展开式中,x2的系数为?.解析本小
题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算.?的展开式的通项Tk+1=??·?·x-k=??·?,要使Tk+1为常数,则?=0,
∴k=2,此时T3=?×?=7,故展开式的常数项为7.4.(2018浙江,14,4分)二项式?的展开式的常数项是?.解析本题主要
考查二项展开式.(1+3x)n的展开式的通项Tr+1=?3rxr,∴含有x2项的系数为?32=54,∴n=4.答案7思路分析(
1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.5.(2017山东,11,5分)已知(1
+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=?.答案4解析??Tr+1=?x16-2r(-x)-r=(-1)-r?x16-
3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3?=-56.解析本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查
运算求解能力.设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2.则a4=b2c2+b3c1=?×12
×22+13×?×2=16,a5=b3c2=13×22=4.7.(2016天津,10,5分)?的展开式中x7的系数为?.(用数字作
答)6.(2017浙江,13,5分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=
?,a5=?.答案16;4答案-568.(2015广东,9,5分)在(?-1)4的展开式中,x的系数为?.解析(?-1)4的
展开式的通项为Tr+1=?(?)4-r(-1)r=(-1)r·?·?,令?=1,得r=2,从而x的系数为?(-1)2=6.9.(2
015天津,12,5分)在?的展开式中,x2的系数为?.答案??解析????的展开式的通项为Tr+1=?x6-r?=??x6-2
r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数为?×?=?.答案610.(2014安徽,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,
?的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=?.?解析根据题
意知a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得?即?解得a=3.答案3答案????C在(1+x)6的展开式中,含x2的项为
T3=?·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.答案????C因为(x+1)n的展开式中x2的系
数为?,所以?=15,即?=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).C组????教师专用题组考点????二项式定理的应
用1.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=?()A.4????B.5
????C.6????D.72.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30????
B.20????C.15????D.10答案????A展开式的通项为Tk+1=??·(-2y)k=(-1)k·22k-5?x
5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3的系数为(-1)3·22×3-5?=-20,故选A.3.(2014湖南,
4,5分)?的展开式中x2y3的系数是?()A.-20????B.-5????C.5????D.20答案????C在(
1+x)6的展开式中,xm的系数为?,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为?,故f(m,n)=?·?.从而f(3,0)=?=20
,f(2,1)=?·?=60,f(1,2)=?·?=36,f(0,3)=?=4,故选C.4.(2014浙江,5,5分)在(1
+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=?(
)A.45????B.60????C.120????D.2105.(2013陕西,8,5分)设函数f(x)=?则当x>0时
,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为?()A.-20????B.20????C.-15????D.15答案????
Ax>0时,f(x)=-?<0,故f[f(x)]=?,其展开式的通项为Tr+1=?·(-?)6-r·?=(-1)6-r·?·(?
)6-2r,由6-2r=0得r=3,故常数项为(-1)3·?=-20.答案????B由题意得:a=?,b=?,所以13?=7?,
∴?=?,∴?=13,解得m=6,经检验为原方程的解,选B.6.(2013课标Ⅰ,9,5分,0.700)设m为正整数,(x+y)2
m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=?()A.5???
?B.6????C.7????D.8思路分析先表示出a,b,再利用13a=7b列方程,进而可求出m值.7.(2013课标Ⅱ,
5,5分,0.736)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=?()A.-4????B.-3????C
.-2????D.-1错因分析不理解展开式中各项系数的和的含义,求错a的值,或者在求二项式?展开式的通项时忽略(-1)r造成符
号错误.评析?本题主要考查二项式的通项和各项系数之和,以及多项式乘法,属中等难度题.8.(2011课标,8,5分)??的展开式中各
项系数的和为2,则该展开式中常数项为?(????)A.-40????B.-20????C.20????D.40答案????
D由题意,令x=1得展开式各项系数的和(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.∵二项式?的通项公式为Tr+1=?(-1)r·25-
r·x5-2r,∴??展开式中的常数项为x·?(-1)322·x-1+?·?·(-1)2·23·x=-40+80=40,故选D.答
案????D由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=?·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中相应
x2的系数为?,当r=1时,相应x2的系数为?·a,所以?+?·a=5,a=-1,故选D.11.(2016山东,12,5分)若?的
展开式中x5的系数是-80,则实数a=?.解析?Tr+1=?x5-r·2r(r=0,1,…,5),令5-r=2,得r=3,所以x2
的系数为?×23=80.解析?Tr+1=a5-r??,令10-?r=5,解之得r=2,所以a3?=-80,a=-2.9.(2015
福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于?.(用数字作答)解析?Tr+1=?·16-r·(-2x)r=(-2)r?
·xr,令r=2,得T3=(-2)2?x2=60x2.故x2的系数为60.答案8010.(2016北京,10,5分)在(1-2x
)6的展开式中,x2的系数为?.(用数字作答)答案60答案-2解析(2+x)5的展开式的通项为Tr+1=?25-r·xr(r
=0,1,…,5),则x3的系数为?×22=40.解析?Tr+1=?·(2x)5-r·(-1)r=(-1)r·25-r·?·x5-
r,令5-r=2,则r=3,所以含x2的项的系数是-40.13.(2015安徽,11,5分)?的展开式中x5的系数是?.(用数字填
写答案)12.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为?.(用数字作答)解析展开式的通项为Tk+1=?(
x3)7-k·x-k=?x21-4k,令21-4k=5,得k=4,则展开式中x5的系数为?=35.答案40答案3514.(20
15四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是?(用数字填写答案).答案-4015.(2014山东,14,
5分)若?的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为?.解析??Tr+1=?(ax2)6-r?=?a6-rbrx12-3
r,令12-3r=3,则r=3.∴?a3b3=20,即ab=1.∴a2+b2≥2ab=2,即a2+b2的最小值为2.16.(201
4大纲全国,13,5分)?的展开式中x2y2的系数为?.(用数字作答)解析??Tr+1=?·?·?=(-1)r·?·?·?,令?得
r=4.所以展开式中x2y2的系数为(-1)4·?=70.答案2答案70答案????B由?的展开式的各项系数和为243,得3
n=243,即n=5,∴?=?,则Tr+1=?·(x3)5-r·?=2r·?·x15-4r,令15-4r=7,得r=2,∴展开式中
x7的系数为22×?=40.故选B.A组2016—2018年高考模拟·基础题组考点????二项式定理的应用1.(2018山东烟
台模拟,8)已知?的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为?()A.5????B.40????C.20???
?D.10三年模拟答案????D由于?的通项为?·?·(-2)r=?(-2)r·?,故(x2+1)?的展开式的常数项是?·(-2
)+?(-2)5=-42,故选D.3.(2018山东枣庄二模,8)若(x2-a)?的展开式中x6的系数为30,则a等于?()A
.??B.??C.1????D.2答案????D??展开式的通项公式为Tr+1=?·x10-r·?=?·x10-2r,令10-2
r=4,解得r=3,所以x4项的系数为?;令10-2r=6,解得r=2,所以x6项的系数为?,所以(x2-a)?的展开式中x6的系
数为?-a?=30,解得a=2.故选D.2.(2018河南信阳二模,7)(x2+1)?的展开式的常数项是()A.5????B
.-10????C.-32????D.-42答案????C令?中x为1,得各项系数和为4n,又展开式的各项的二项式系数和为2
n,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,∴?=64,解得n=6,∴二项式的展开式的通项公式为Tr+1=?·3r·?,令6-
?r=3,求得r=2,故展开式中x3的系数为?·32=135,故选C.4.(2018河北邯郸二模,9)在?的展开式中,各项系数和与
二项式系数和之比为64,则x3的系数为?()A.15????B.45????C.135????D.405答案????D
令x=1,得a0+a1+a2+…+a9+a10=1,再令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a9+a10=0,又易知a1=?×
21×(-1)9=-20,所以a2+a3+…+a9+a10=20.5.(2016福建漳州二模,10)已知(2x-1)10=a0+a
1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,则a2+a3+…+a9+a10的值为?(????)A.-20????B.0???
?C.1????D.206.(2017江西赣州十四县联考,14)若?的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-
B),则展开式中x2的系数为?.解析易得A=1,B=?,C=?=?,所以有4=9?,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(
舍).在?中,因为通项Tr+1=?x8-r?=?·x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为?.7.(2017
豫南九校2月联考,14)已知m=2?cos?dx,则二项式?的展开式中x的系数为?.答案????解析?m=2?cos?dx=-2
.二项式?的展开式的通项为Tr+1=?x2(5-r)?=(-2)r·?·x10-3r.令10-3r=1,得r=3,∴展开式中x的系
数为-80.答案-80一题多解展开式中含x2的项为?x2+(-ax)?x=10x2-5ax2=(10-5a)x2,∴展开式中x
2的系数为10-5a=5,∴a=1.B组??2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:15分钟分值:30分)一、选择题(每
题5分,共25分)1.(2018广东肇庆三模,8)已知(1-ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=?()A.1?
???B.2????C.-1????D.-2答案????A(1-ax)(1+x)5=(1-ax)(1+5x+10x2+10x
3+5x4+x5),其展开式中x2的系数为10-5a=5,解得a=1.故选A.答案????D根据?的展开式中只有第11项的二项式
系数最大,得n=20,∴?的展开式的通项为Tr+1=?·(?x)20-r·?=(?)20-r·?·?,要使x的指数是整数,需r是3
的倍数,∴r=0,3,6,9,12,15,18,∴x的指数是整数的项共有7项.故选D.2.(2018安徽马鞍山二模,10)二项式?
的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的指数为整数的项的个数为?()A.3????B.5????C.6??
??D.7规律总结(a+b)n的展开式中二项式系数最大问题的处理依据:若n为偶数,则第?项的二项式系数最大,为?;若n为奇数,则
第?,?项的二项式系数最大,为?(?).思路分析?根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值,再利用展开式的通项公式求得x的
指数是整数的项数.3.(2018湖南湘潭三模,9)若(1+x)(1-2x)8=a0+a1x+…+a9x9,x∈R,则a1·2+a2
·22+…+a9·29的值为?(????)A.29?B.29-1????C.39?D.39-1答案????D(1+x)(1-
2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,令x=0,得a0=1;令x=2,得a0+a1·2+a2·22+…+a9·29=39
,∴a1·2+a2·22+…+a9·29=39-1.故选D.思路分析在所给的等式中,分别令x=0,x=2得到两个等量关系,由此可
求得a1·2+a2·22+…+a9·29的值.方法点拨求解此类题时,要根据题意,分析所求代数式的特点,通过给二项式中的x赋值得出
相关等量关系,由此联系所求代数式得结果.4.(2018广东广州一模,8)已知二项式?的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中
含?项的系数是()A.-84????B.-14????C.14????D.84答案????A由二项式?的展开式中所有二项
式系数的和是128,得2n=128,即n=7,∴?=?,则Tr+1=?·(2x2)7-r·?=(-1)r·27-r·?·x14-3
r.令14-3r=-1,得r=5.∴展开式中含?项的系数是-4×?=-84.故选A.规律总结(a+b)n的展开式中二项式系数和为
?+?+…+?=2n,其中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,即?+?+…=?+?+…=2n-1.思路分析先求出n的值,进而写出二项展开式的通项,令x的指数为-1求得r值,则答案可求.5.(2017河南百校联盟4月模拟,4)(3-2x-x4)(2x-1)6的展开式中,含x3项的系数为?()A.600????B.360????C.-600????D.-360答案????C由二项展开式的通项公式可知,展开式中含x3项的系数为3×?23(-1)3-2×?22(-1)4=-600.方法指导利用组合思想求解.解题关键熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键.二、填空题(每题5分,共5分)6.(2017山西太原二模,14)?的展开式中常数项是?.解析???表示五个?相乘,则展开式中的常数项由三种情况产生,第一种是从五个?中分别抽取2x,2x,?,?,-1,则此时的常数项为?·?·22·(-1)=-120,第二种情况是从五个?中都抽取-1,则此时的常数项为(-1)5=-1,第三种情况是从五个?中分别抽取2x,?,-1,-1,-1,则此时的常数项为?·?·21·(-1)3=-40,则展开式中常数项为-120-1-40=-161.答案-161方法指导分类讨论,利用组合知识求常数项.易错警示分类时注意不要遗漏. |
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