1.1集合的概念与运算--知识梳理考点自诊1.集合的含义与表示(1)集合元素的三个特征:、、.?(2)元素与集合的关系有或两
种,用符号或表示.?(3)集合的表示方法:、、.?(4)常见数集的记法.确定性互异性无序性属于不属于∈
?列举法描述法Venn图法QN(或N+)NZR--知识梳理考点自诊2.集合间的基本关系A?B(或B?A
)A?B(或B?A)A=B--知识梳理考点自诊3.集合的运算{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x?A}{x|x∈
A或x∈B}--知识梳理考点自诊1.并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.2.交集的性质:A∩
?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.3.补集的性质:A∩(?UA)=?;A∪(?UA)=U;?U(?UA)=A
;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).4.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n
,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.--知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”
.(1)集合{x2+x,0}中的实数x可取任意值.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2
+1}.()(3)A?B?A∩B=A?A∪B=B,(A∩B)?(A∪B).()(4)若A∩B=A∩C,则B=C.()(5
)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.()××√××--知识梳理考点自诊2.(2018北京
,文1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1} B.{-1,0,1}C.{-2,
0,1,2} D.{-1,0,1,2}A解析:∵A={x||x|<2}={x|-2{0,1}.A3.(2018浙江,1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则?UA=()A.? B.{1,3}
C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}解析:∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴?UA={2,4,5},故选C
.--知识梳理考点自诊4.(2018河北保定一模,1)已知集合A={-2,-1,1,2},集合B={k∈A|y=kx在R上为增函数
},则A∩B的子集个数为()A.1 B.2C.3 D.4D解析:B={k∈A|y=kx在R上为增函数}={k|k>0,k∈{-2
,-1,1,2}}={1,2},所以A∩B={1,2},其子集个数为22=4,选D.5.(2018江苏,1)已知集合A={0,1
,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=.?{1,8}解析:由题设和交集的定义可知,A∩B={1,8}.--考点1考
点3考点2集合的基本概念例1(1)(2018全国2,理2)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素
的个数为()A.9 B.8C.5 D.4A2解析:(1)当x=-1时,y=0或y=1或y=-1,当x=0时,y=1或y=-1或y
=0,当x=1时,y=0或y=1或y=-1.故集合A中共有9个元素.所以a=-1,b=1.故b-a=2.--考点1考点3考点2思
考求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应注意什么?解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:(1)确定集合中的代表元素是什么,
即集合是数集、点集,还是其他类型的集合.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,
但要注意检验集合是否满足元素的互异性.--考点1考点3考点2对点训练1(1)若集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|
x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为()A.3 B.4 C.5 D.6(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3
∈A,则m的值为.?B解析:(1)因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4,a=1,2,3时,x=5,6,7
;当b=5,a=1,2,3时,x=6,7,8.根据集合元素的互异性可知,x=5,6,7,8.即M={5,6,7,8},共有4个元素
.--考点1考点3考点2例2(1)(2018山东济宁一模,1)已知集合A={x∈Z|x2+3x<0},则满足条件B?A的集合B的个
数为()A.2 B.3C.4 D.8(2)设全集I=R,集合A={y|y=log2x,x>2},B={x|y=},则()A.A
?B B.B?AC.A∩B=? D.A∩(?IB)≠?CA解析:(1)由集合A={x∈Z|x2+3x<0}={-1,-2},由
B?A,所以集合B的个数为4,故选C.(2)∵当x>2时,y=log2x>1,∴A=(1,+∞).又B=[1,+∞),∴A?B,A
∩B=A,A∩(?IB)=?,故选A.--考点1考点3考点2思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间基本关系问题的常用技巧有
哪些?解题心得1.判定集合间的基本关系的方法有两种.一是化简集合,从表达式中寻找集合间的关系;二是用列举法(或图示法等)表示各个集
合,从元素(或图形)中寻找集合间的关系.2.解决集合间基本关系问题的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,则结合数轴求解;
(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解.--考点1考点3考点2对点训练2已
知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|x<2m-1},若B?A,则实数m的取值范围是.答案:(-∞,-1]解析:由题意
知2m-1≤-3,m≤-1,所以m的取值范围是(-∞,-1].--考点1考点3考点2变式发散1将本题中的B改为B={x|m+1≤x
≤2m-1},其余不变,该如何求解?答案:(-∞,2)∪(6,+∞)解析:当B=?时,有m+1>2m-1,则m<2.解得m>6.
综上可知,m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).--考点1考点3考点2变式发散2将本题中的A改为A={x|-3≤x≤7},B
改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余不变,又该如何求解?答案:(-∞,4]--考点1考点3考点2集合的基本运算(多考向)
考向1求集合的交集、并集、补集例3(1)(2018全国3,文1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=(
)A.{0} B.{1}C.{1,2} D.{0,1,2}(2)(2018全国1,理2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则
?RA=()A.{x|-12} D.{x|x≤-1}∪{x
|x≥2}(3)(2018天津,文1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A
∪B)∩C=()A.{-1,1} B.{0,1}C.{-1,0,1} D.{2,3,4}CBC--考点1考点3考点2解析:(1
)由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.(2)解一元二次不等式x2-x-2>0,可得x<-1或x>
2,则A={x|x<-1或x>2},所以?RA={x|-1≤x≤2}.(3)∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},∴
A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.--考点1考点3考点2思
考集合基本运算的求解策略是什么?解题心得1.求解思路:一般是先化简集合,再由交集、并集、补集的定义求解.2.求解原则:一般是先算括
号里面的,再按运算顺序求解.3.求解思想:注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.--考点1考点3考点2对点训练3(1)
(2018全国1,文1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2} B.{1,2}C.
{0} D.{-2,-1,0,1,2}(2)(2018河北衡水中学十模,1)设集合A={x|y=log2(2-x)},B={x|x
2-3x+2<0},则?AB=()A.(-∞,0) B.(-∞,1]C.(2,+∞) D.[2,+∞)(3)(2018天津,理1
)设全集为R,集合A={x|0}C.{x|1≤x<2} D.{x|0={x|y=log2(2-x)}={x|x<2},B={x|x2-3x+2<0}={x|1选B.(3)∵B={x|x≥1},∴?RB={x|x<1}.∵A={x|0.--考点1考点3考点2考向2求集合表达式中参数的取值范围例4(1)(2018湖南衡阳八中一模,1)已知集合A={x|x2-4x
<0},B={x|x4,+∞)(2)已知集合M={x|-1≤x<2},N={y|y.a≤2 C.a≥-1 D.a>-1CD解析:(1)由题意,得A={x|0={x|-1≤x<2},N={y|y-1即可.--考点1考点3考点2思考如何求集合表达式中参数的
取值范围?解题心得一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验
证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要注
意端点的取舍.--考点1考点3考点2对点训练4(2018福建龙岩4月模拟,2)已知集合A={x|x2-ax≤0,a>0},B={
0,1,2,3},若A∩B有3个真子集,则a的取值范围是()A.(1,2] B.[1,2)C.(0,2] D.(0,1)∪(1,
2]B解析:A={x|x2-ax≤0,a>0}={x|0≤x≤a},B={0,1,2,3},由A∩B有3个真子集,可得A∩B有2个
元素,∴1≤a<2,即a的取值范围是[1,2),故选B.--考点1考点3考点2解答集合问题时应注意五点:(1)注意集合中元素的性质
——互异性的应用,解答时要注意检验.(2)注意描述法给出的集合的代表元素的特征.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)
|y=2x}表示不同的集合.(3)注意?的特殊性.在利用A?B解题时,应对A是否为?进行讨论.(4)注意数形结合思想的应用.在进行
集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.(5)注意补集思想的应用.在解决A∩B≠?时,可以利用补集思想,先研究A∩
B=?的情况,再取补集.--数学核心素养例释——数学运算数学核心素养是学生在接受相应学段的数学教育过程中,逐步形成的适应个人终身发
展和社会发展需要的数学思维品质与关键能力.高中阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.1
.数学运算:在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方
法,设计运算程序,求得运算结果等.2.运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理、
简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算.3.数学运算与运算求解能力的关系:数学运算表现在运算求解能力上,是运算求解能力
的提升和内化,所以培养数学运算要从培养运算求解能力上入手.--典例1设集合A={x|x2-x-2<0},B={x|x-1<0},则
A∪B=()A.(-1,1) B.(-∞,1)C.(1,2) D.(-∞,2)答案:D解析:由题意可得A={x|-1B={x|x<1},∴A∪B=(-∞,2),故选D.评析:数学运算体现在求解一元二次不等式以及两个数集的并集运算上.--典例2(2
018河南郑州三模,1)已知集合,B={x|y2=4x},则A∩B=()A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(0,1)
D.(0,+∞)答案:BB={x|x≥0},∴A∩B={x|x>1}.评析:数学运算体现在求分式不等式的解集,求抛物线方程中x的
取值范围,求两个数集的交集运算上.--典例3(2018广东揭阳模拟,1)已知A={1,2,3,4},B={x|x2≥2x},则A∩
B=()A.{2} B.{2,3}C.{2,4} D.{2,3,4}答案:D解析:∵A={1,2,3,4},当x分别取1,2,3
,4时,满足x2≥2x的x的取值为2,3,4,∴A∩B={2,3,4},故选D.评析:数学运算体现在选择运算方法上,因求的是集合A
与B的交集,所以只需求集合B中含有哪些集合A中的元素.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号?????关系自然语言符号表示V
enn图子集若集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,则集合A是集合B的子集?真子集若集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个
元素不在集合A中,则集合A是集合B的真子集?集合相等若集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集,则集合A等于集合B?集合的并集集合的交集集合的补集Venn图符号语言A∪B=?A∩B=??UA=?(2)若a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=.?(2)因为{1,a+b,a}=,a≠0,所以a+b=0,即=-1,-(2)由题意得m+2=3或2m2+m=3,解得m=1或m=-.当m=1时,m+2=3,且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-时,m+2=,而2m2+m=3,故m=-.当B≠?时,解析:当B=?时,满足B?A,此时有m+1>2m-1,即m<2;当B≠?时,要使B?A,则有解得2≤m≤4.综上可知,m的取值范围是(-∞,4].解析:∵A=={x|x>1或x<0},A= |
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