2.5指数与指数函数--知识梳理考点自诊--知识梳理考点自诊2.实数指数幂(1)分数指数幂的表示0③0的正分数指数幂是,0的负分数指数
幂无意义.?(2)有理数指数幂的运算性质①aras=(a>0,r,s∈Q).?②(ar)s=(a>0,r,s∈Q).?③(ab
)r=(a>0,b>0,r∈Q).?ar+sarsarbr--知识梳理考点自诊(3)无理数指数幂一般地,无理数指数幂aα(
a>0,α是无理数)是一个的实数,有理数指数幂的运算性质于无理数指数幂.?确定同样适用--知识梳理考点自诊3.指数函数
的图像和性质(0,1)上方R(0,+∞)单调递减单调递增y=1y>1010考点自诊×××√×2.(2018衡水金卷十模,1)已知集合A={y|y=2x-1,x∈R},B={x|x2-x-2<0
},则()A.-1∈A B.C.A∩(?RB)=A D.A∪B=A解析:∵A={y|y=2x-1,x∈R}={y|y>-1}=(
-1,+∞),B={x|x2-x-2<0}={x|-1分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件C4.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.
6,则a,b,c的大小关系是()A.a∞)是减少的可知,0<0.61.5<0.60.6<1,又1.50.6>1,故选C.--知识梳理考点自诊5.若函数y=(a2-1)x
在(-∞,+∞)内为减函数,则实数a的取值范围是.?--考点一考点三考点二指数幂的化简与求值例1求值与化简:D思考指数幂运算
应遵循怎样的原则?--考点一考点三考点二解题心得指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.(2
)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(
4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不
能既有分母又含有负指数.--考点一考点三考点二对点训练1化简下列各式:--考点一考点三考点二指数函数的图像及其应用DA.(-∞,
-1] B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(-∞,0)(2)(2017河南郑州模拟)已知函数f(x)=4+ax-1的图像恒过
定点P,则点P的坐标是()A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)(3)若曲线|y|=2x+1与直线y=b
没有公共点,则b的取值范围是.?A[-1,1]--考点一考点三考点二解析:(1)画出函数f(x)的图像如图所示,由图可知:①
当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;②当x+1>0且2x<0,即-12x,解得x<1.故x≤-1
.综上所述,x的取值范围为(-∞,0).(2)指数函数y=ax的图像恒过点(0,1),要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)
的图像,可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度.则点(0,1)平移后得到点(1,
5).故点P的坐标为(1,5).--考点一考点三考点二(3)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像如图所示.?因为曲线|y|=2x
+1与直线y=b没有公共点,所以-1≤b≤1.故b的取值范围是[-1,1].--考点一考点三考点二思考画指数函数的图像及应用指数函
数的图像解决问题时应注意什么?解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),
.2.与指数函数有关的函数图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.3.一些指数方程、不等式问题的求解
,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.--考点一考点三考点二A(-∞,8]--考点一考点三考点二--考点一考点三考点二指数
函数的性质及其应用(多考向)考向1比较指数式的大小AA.b数幂的大小比较?--考点一考点三考点二考向2解简单的指数方程或指数不等式CA.(-∞,-3) B.(1,+∞)C.(-3,1
) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)思考如何解简单的指数方程或指数不等式?--考点一考点三考点二考向3指数型函数与函数性质的综
合例5当x>0时,函数f(x)=(aex+b)(x-2)单调递增,且函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,则使得f(2-m
)>0成立的m的取值范围是()A.{m|m<-2或m>2} B.{m|-24} D.{m|0<4}C解析:因为y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图像关于y轴对称.因为f(x)是偶函数,且f(2)=
0,所以当x>2时,f(x)>0;当x<-2时,f(x)>0.因为f(2-m)>0,所以|2-m|>2,解得m>4或m<0,故选C
.思考如何求解指数型函数与函数性质的综合问题?--考点一考点三考点二解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指.当底数
相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造同一幂函数,然后比较大小;当底数、指数均不同时,可以
利用中间值比较.2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,首先要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知
识分析判断.--考点一考点三考点二DA.c-1(a>1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为()A.5 B.1 C.2 D.3(3)已知函数f(x)=2|2x-
m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)内是增加的,则m的取值范围是.?D(-∞,4]--考点一考点三考点二--考点一考
点三考点二1.比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值.2.指数型函数、方程及不等式问题,可利用指数函数的图像、性质求解.3.
与指数型函数有关的恒成立问题:(1)当a>1时,af(x)≥ag(x)恒成立?f(x)≥g(x)恒成立?f(x)-g(x)≥0恒成
立?[f(x)-g(x)]min≥0.(2)当0x)≤0恒成立?[f(x)-g(x)]max≤0.解决与指数函数有关的问题时,若底数不确定,应注意对a>1及0.--思想方法——数形结合思想解指数不等式典例(1)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)
B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)(2)若,则满足f(x)<0的x的取值范围是.?答案:(1)D(
2)(0,1)--解析:(1)--反思提升一些关于指数的方程、不等式问题的求解,往往利用相应的函数图像,数形结合求解.1.根式(
1)根式的概念xn=a?(2)根式的性质①()n=a(n∈N+).②①正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N+,且n>1)
.②正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N+,且n>1).函数y=ax(a>0,且a≠1)01图象图像特征
在x轴,过定点?当x逐渐增大时,图像逐渐下降当x逐渐增大时,图像逐渐上升性质定义域?值域?单调性在R上?在R上?函数值
变化规律当x=0时,?当x<0时,;?当x>0时,?当x<0时,;?当x>0时,?1.判断下列结论是否正确,正确的画“√
”,错误的画“×”.(1)=π-4.()(2)与()n都等于a(n∈N).()(3)(-1=(-1.()(4)函数y=
3·2x与y=2x+1都不是指数函数.()(5)若am>an,则m>n.()?B3.“<1”是“>1”的()解析:由<1,
解得x>0.由>1,解得01”的必要不充分条件,故选B.(-,-1)∪(1,)解析:由y=(a2-1)x
在(-∞,+∞)内为减函数,得0)A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y(2)=(a>0,b>0).?解析:(1)=(16x8y4=[24·(-x)
8·(-y)4=·(-x·(-y=2(-x)2(-y)=-2x2y.(2)原式=.(1)(a>0,b>0);(2)+(0.002-
10(-2)-1+()0.解(1)原式===ab-1.(2)原式=+1=+50-10(+2)+1=+10-10-20+1=-.例
2(1)(2018全国1,文12)设函数f(x)=则满足f(x+1)四川宜宾模拟)已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图像为(
)(2)设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.?解析:(1)∵x∈(0,4),∴x+1>1,∴f(x)=x
+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时,取等号.∴a=2,b=1.因此g(x)=2|x+1|,该函数图像由y=2|x
|向左平移一个单位得到,结合图像知A正确.(2)当x<1时,由ex-1≤2,得x<1;当x≥1时,由≤2,解得1≤x≤8,综合可知
x的取值范围为x≤8.例3已知a=,b=,c=12,则()解析:因为a==b,c=12=1=a,所以c>a>b.例4已知函数f(
x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是()解析:当a<0时,不等式f(a)<1即为-7<1,所以<8,即.因为0<<1,所以
a>-3,此时-3训练3(1)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是()解析:(1)因为-<-<0,所以=1,即a>b>1,且=1,
所以c<1,综上,c1,且x∈[-1
,1],∴t∈.又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3或-5(舍去).故a=3.
(3)令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间内单调递增,在区间上单调递减,而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)内单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].f(x)=不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<.在同一平面直角坐标系中作出直线y=x-a与y=的图象.由题意知,在(0,+∞)内,直线有一部分在y=图象的下方.由图可知,-a<1,所以a>-1.(2)令y1=,y2=,f(x)<0即为y1
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