2.4幂函数与二次函数--知识梳理考点自诊1.幂函数(1)幂函数的定义(1)幂函数的定义:形如(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是,α
是.?(2)五种幂函数的图像y=xα常数自变量--知识梳理考点自诊(3)五种幂函数的性质{x|x∈R,且x≠0}[0,
+∞)RRR[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}[0,+∞)RRx∈[0,+∞)时,增,x∈(-∞,0)时,减
x∈(0,+∞)时,减,x∈(-∞,0)时,减增增增--知识梳理考点自诊2.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;?顶
点式:,其中为顶点坐标;?零点式:,其中为二次函数的零点.?f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)=a(x-h)2
+k(a≠0)(h,k)x1,x2f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)--知识梳理考点自诊(2)二次函数的图像和
性质--知识梳理考点自诊--知识梳理考点自诊--知识梳理考点自诊--知识梳理考点自诊×××√√--知识梳理考点自诊2.
已知函数y=x2+ax+6在内是增函数的,则a的取值范围为()A.a≤-5 B.a≤5 C.a≥-5 D.a≥5C3.如图是
①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图像,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.a.a2+6,x∈N}的真子集的个数是()A.3 B.4 C.7 D.8C解析:∵函数y=-x2+6,x∈N是偶函数,∵y=-x2+6
在[0,+∞)递减,由-x2+6>0得0≤x<,且x∈N.故x=0,1,2,相应地y取6,5,2.∴该集合的真子集个数为7,故选
C.5.(2018上海,7)已知α∈,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.?-1解析:∵f(x
)为奇函数,∴α=-1,1,3,又∵在(0,+∞)上递减,∴α=-1.--考点1考点3考点2幂函数的图像和性质例1若幂函数y=f(
x)的图像经过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像是()C--考点1考点3考点2思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪
些重要的性质?解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.2.幂函数的主要性质:(1)幂函
数在(0,+∞)上都有定义,幂函数的图像都过定点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图像经过点(1,1)和(0,0),且在(0,
+∞)上单调递增.(3)当α<0时,幂函数的图像经过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.(4)幂函数图像在第一象限的特点:当
α>1时,曲线下凹;当0<α<1时,曲线上;当α<0时,曲线下凹.--考点1考点3考点2对点训练1已知幂函数(n∈Z)的图像关
于y轴对称,且在(0,+∞)内是减少的,则n的值为()A.-3 B.1 C.2 D.1或2B解析:因为f(x)为幂函数,所以n2
+2n-2=1,解得n=1或n=-3.又幂函数f(x)在(0,+∞)内是减少的,所以n2-3n<0.所以舍去n=-3,得n=1.当
n=1时,n2-3n=-2,满足题意.故选B.--考点1考点3考点2求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,
f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式.--考点1考点3考点2--考点1考点3考点2思考求二次函数的解析式时
如何选取恰当的表达形式?解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点的坐标,宜选用一
般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图像与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.--考点1考点3
考点2对点训练2已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).(1)若函数f(x)的图像过点(-2,1),且
方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函
数,求实数k的取值范围.解(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因为方程f(x)=0有且只有一个根,所以
Δ=b2-4a=0,所以4a2-4a=0,所以a=1,所以b=2,所以f(x)=(x+1)2.即k≥6或k≤0,∴所求实数k的取值
范围为(-∞,0]∪[6,+∞).--考点1考点3考点2二次函数的图像与性质(多考向)考向1二次函数闭区间上的最值问题例3设函数
f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).当时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式.思考如何求二次函数在含参
数的闭区间上的最值?--考点1考点3考点2--考点1考点3考点2考向2与二次函数有关的存在性问题例4已知函数f(x)=x2-2x
,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围
是.--考点1考点3考点2思考如何理解本例中对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?--
考点1考点3考点2考向3与二次函数有关的恒成立问题例5(1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有
f(x)<0成立,则实数m的取值范围是;?(2)已知函数f(x)=x2+2x+1,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,
则k的取值范围为.(-∞,1)--考点1考点3考点2解析:(1)作出二次函数f(x)的草图,对于任意x∈[m,m+1],都有f
(x)<0,(2)由题意得x2+x+1>k在区间[-3,-1]上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在
[-3,-1]上递减.∴g(x)min=g(-1)=1.∴k<1.故k的取值范围为(-∞,1).思考由不等式恒成立求参数取值范围的
解题思路是什么?--考点1考点3考点2考向4与二次函数有关的零点分布问题例6已知方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一
根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k的取值范围是.思考已知与二次函数有关的零点分布,如何求参数的取值范围?--考点1考点
3考点2解题心得1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称
轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数
的最值.--考点1考点3考点23.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两种解题思路:一是分离参数,将问题归结为求
函数的最值;二是不分离参数,通常结合函数图像寻求使不等式恒成立的条件.(2)两种思路都比较简便,至于用哪种方法,关键是看参数是否已
分离.4.已知与二次函数有关的零点分布求参数的取值范围,主要采取数形结合的方法,通过二次函数的图像的开口方向、对称轴、判别式、特殊
点对应的函数值等列出满足题意的不等式,解不等式得参数的取值范围.--考点1考点3考点2对点训练3(1)若函数y=x2-2x+3在区
间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围为;?[1,2](3)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a>
0,且a≠0),若对任意的x1∈[1,2]都存在x2∈[-1,2],使得f(x1))(2018江苏无锡模拟)设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0的取值范围为.?--考点1考点3考点2解析:(1)作出函数y=x2-2x+3的图像如图.?由图像可知,要使函数在[0,m]上取
得最小值2,则1∈[0,m],从而m≥1,当x=0时,y=3;当x=2时,y=3,所以要使函数取得最大值3,则m≤2,故所求m的取
值范围为[1,2].--考点1考点3考点2(3)由题意知g(x)在[-1,2]上的最大值大于f(x)在[1,2]上的最大值.∵f(
x)在[1,2]上递增,∴当x=2时,f(x)max=4.当01.幂函数y=xα(α∈R)的图像的特征:当α>0时,图像过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图像逐渐上升;当α<0时,图像
过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图像逐渐下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式.
3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得
f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.--考点1考点3考点21.幂函数的图像一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.
如果幂函数与坐标轴有交点,那么交点一定是原点.2.对于函数y=ax2+bx+c,若它是二次函数,则必须满足a≠0.当题目条件中未说
明a≠0时,就要分a=0和a≠0两种情况讨论.函数特征性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域?????值域????
?奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性?????定点(1,1),(0,0)(1,1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)a>0a<0
图象定义域R值域单调性在上递减,在上递增在上递增,在上递减函数y=ax2+bx+c(a≠0)a>0a<0奇偶性当b=0时,y为
偶函数;当b≠0时,y既不是奇函数也不是偶函数图像特点对称轴:;②顶点:?x=-1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的
画“×”.(1)函数y=-x2与y=2都是幂函数.()(2)幂函数的图象经过第四象限,当α>0时,幂函数y=xα是定义域上的增
函数.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-时,y取得最小值.()(4)幂函数的图象不经过第四象限.(
)(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒为负的充要条件是()解析:∵y=x2+ax+6在内是增函数,由题意得
-.∴a≥-5,故选C.{-2,-1,-,1,2,3}解析:令f(x)=xα,则4α=2,解得α=,故f(x)=.故选C.f(x)
=(n2+2n-2)·解(方法一)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得故所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2
+4x+7.(方法二)设f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴的方程为x=.∴m=.又根据题意知函
数的最大值为8,∴n=8.∴f(x)=a+8.∵f(2)=-1,∴a+8=-1,解得a=-4.故f(x)=-4+8=-4x2+4x
+7.(方法三)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2
-ax-2a-1.又函数的最大值为8,即=8,解得a=-4.因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.(2)g(x)=f
(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1=+1-.由g(x)的图像知:要满足题意,则≥2或≤-1,b=+1解当
b=+1时,f(x)=+1,故函数f(x)图像的对称轴为直线x=-.当a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2;当-2g(a)=f=1;当a>2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=解析:当x0∈[-1,2]时,由f(x)=x2-2
x,得f(x0)∈[-1,3].因为对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),所以即当x1∈
[-1,2]时,g(x1)∈[-1,3].所以当a>0时,解得a≤.故实数a的取值范围是.则有即解得-=x2+(k-2)x+2k-1,由题意知解得4,得a∈.当a>1时,g(x)在[-1,2]上是增加的,当x=2时,a2>4,解得a∈(2,+∞).故a的取值范围为∪(2,+∞).(4)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,则由题意可得?0
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