数学解题方法谈14：关于求整数解
例1、已知x、y是整数，且x＋y=xy求x、y
解：由已知xy－x－y＋1=1∴（x－1）（y－1）=1
∵x、y是整数，∴x－1和y－1都是整数
得x－1=1y－1=1或x－1=－1y－1=－1
故可得两组解：x=2y=2或x=0y=0
例2、求方程4x＋5y=98的正整数解
解：要求方程是正整数解，则y必是偶数，由2起检验解得：
例3、已知且0＜x＜y，求满足上述条件的整数对（x，y）
∵
∴
则满足条件的整数对有：（41，1476）（164，1025）（369，656）
例4、解方程：（n是正整数）
解：∴=∴
∴n＜=且n＋2＞=∴＜n＜
∵是正整数∴n=4或n=5经检验=4是增根舍去，n=5是原方程的根.
例5、已知求S的整数部分
解设S的分母为A，∵2000—2011共有13个整数，则
可知
∴＜S＜200.9显然S的整数部分为200
例6、已知（x、y是正整数，且x≠y）求不同的单位分数.
解：设不仿设
则＋=化简得：
∵
故有∴可分成三种不同的单位分数
例7、求方程的正整数解
解：同例6方法可得则＋=
则有:
例、求方程的正整数解．
解：则∵x＋y和x－y同偶则40=20×2=10×4
例、设而a、b是相邻整数，且c=ab试证明：是奇数.
解：设b=a＋1则c=a(a＋1)
则=…=∴
∵a、b是相邻整数，必是偶数∴必是奇数．
例、已知一个四位数N，开头两个数字相同末尾两个数字也相同，
试证：(1)N一定被11整除．(2)如果N是完全平方数，求N．
解：(1)证：设此数为，则N=1100a+11b=11（100a＋b）
则可知N能被11整除．
(2)解：∵N=1100a+11b=11（100a＋b）是完全平方数，∴100a＋b是11的倍数
又100a＋b=99a＋a＋b由于0＜a＋b≤18∴a＋b=11
则N=112（9a+1）且9a+1必须是完全平方数
则a=7b=4则N==7744
例、a、b、c是自然数，且2c2+b2=a2求证：c是偶数．
证明：∵又a、b、c是自然数，
则必是4的倍数，且a、b必同奇或同偶，否则奇×奇=奇
故必是偶数，∴c是偶数．
例、有桔子4752个，等分给任儿童，正好分完，现记不得确切人数及每人得数，
只知道人数接近100，每人分得数接近50，求确实人数和每人分得数．
解：∵4752=24×33×11=48×99，故满足题意的人数为99人，每人分得桔子48个
（又4752=54×88离条件较远，故舍去）
例、设自然数62ab427是99的倍数，求数字a、b
解：∵99=9×116+2+a+b+4+2+7=21+a+b=18+（3+a+b）
∴3+a+b是9的倍数∴a+b=15或a+b=6
又（6+a+4+7）-（2+b+2）=13+a-b是11的倍数∴a-b=9或a-b=-2
∵a、b是数字，故只有④有解可得a=2b=4
例、数13ab45c能被792整除，求此数．
解：∵792=8×9×11用整除可知:8|13ab45c∴8|45c可得c=6
又9|13aa45c∴9|1＋3＋a＋b＋4＋5＋c∴9|a＋b＋1
∴a＋b=8或a＋b=17………………(1)
又11|13ab45c∴11|(1＋a＋4＋c）－（3＋b＋5）即11|a－b＋3
∴a－b=8或a－b=－3………………(2)
由(1)(2)可得a=8b=0∴此数为：1380456
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