【高考帮·理科数学】第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质目录CONTENTS考情精解读考纲要求命题规律命题分析预测A考点
帮·知识全通关考点1函数的单调性考点2函数的奇偶性考点3函数的周期性理科数学第二章：函数概念与基本初等函数ⅠB考法帮?题型
全突破考法1判断函数的单调性和求单调区间考法2函数单调性的应用考法3求函数的最值考法4判断函数的奇偶性考法5函数奇偶性的
应用考法6函数周期性的判断及应用考法7函数性质的综合应用C方法帮?素养大提升易错忽略函数的定义域致误理科数学第二章：函
数概念与基本初等函数Ⅰ考纲要求命题规律命题分析预测考情精解读考纲要求1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.结合具体
函数,了解函数奇偶性的含义.3.会运用函数图象理解和研究函数的性质.命题规律核心考点考题取样考查内容（对应考法）1.函数的单调性2
017全国Ⅰ,T52014全国Ⅱ,T15利用函数的单调性与奇偶性解不等式(考法2,4)2017北京,T5判断函数的奇偶性与单调性(
考法1,4)2017浙江,T5二次函数的最值(考法3)命题规律核心考点考题取样考查内容（对应考法）2.函数的奇偶性、周期性2016
四川,T14奇偶性和周期性的应用(考法5,6)2015全国Ⅰ,T13利用函数的奇偶性求参数(考法5)2014全国Ⅰ,T3判断函数的
奇偶性(考法4)命题分析预测1.分析预测从近五年的考查情况来看,本讲是高考的重点,常考查求函数的单调区间,判断函数的单调性,利用
单调性比较大小、解不等式,有时也将单调性、奇偶性与函数图象、函数零点相结合进行考查,题型有选择题、填空题,也有解答题,难度中等.2
.学科素养本讲主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用,以及考生的逻辑推理能力和数学运算能力理科数学第二章：函数概念与基本初等
函数ⅠA考点帮·知识全通关考点1函数的单调性考点2函数的奇偶性考点3函数的周期性1.单调函数的定义及几何意义?增函数减函数定
义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上
是减函数.几何意义自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的考点1函数的单调性（重点）理科数学第二章：函数的概念与基本初等函数
Ⅰ名师提醒1.函数的单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性;二是有大小,即x1x2);三是同属于一个单调区间
,三者缺一不可.2.由f(x)是增(减)函数知f(x1)f(x2))?x1间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”.理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ?2.单调区间的定义如果函数y=f(
x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫作y=f(x)的单调区间.名师提
醒：1.求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.2.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.3
.函数在某个区间上是单调函数,但在整个定义域上不一定是单调函数,如函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,但在定义域上不
具有单调性.4.“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N?M.?理科数学第二章：函数的概念与基
本初等函数Ⅰ?3.与函数单调性有关的性质及结论(1)函数单调性的性质若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有
以下性质:①f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.②f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性,在a<0时具有
相反的单调性.③当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数.④当f(x)恒不为0时,函数f(x)与单
调性相反.⑤当f(x)非负时,f(x)与具有相同的单调性.理科数学第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ⑥当f(x),g(x)都是增
(减)函数时,若两者都恒大于零,则f(x)·g(x)也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则f(x)·g(x)是减(增)函数.(2
)复合函数的单调性对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(
b))或(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同,则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)
与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称“同增异减”.理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ4.函数的最
值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I,都有f(x)≤M①对于任意x∈I,都有f(x)≥M②
存在x0∈I,使得f(x0)=M②存在x0∈I,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值规律总结1.如果函数y=f(x)在区间[
a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)
在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b).2.若函数的
最值存在,则一定是值域中的元素;若函数的值域是开区间,则函数无最值,若函数的值域是闭区间,则闭区间上的端点值就是函数的最值.函数奇
偶性的定义及性质:前提(必要条件)奇偶性满足的充要条件图象特征特性单调性函数f(x)的定义域关于原点对称奇函数对定义域中任意的x,
都有f(-x)=-f(x).关于原点对称(1)如果定义域中包含0,那么f(0)=0.(2)若函数在关于原点对称的区间上有最值,则
f(x)max+f(x)min=0.在关于原点对称的区间上单调性相同偶函数对定义域中任意的x,都有f(-x)=f(x).关于y轴对
称f(x)=f(|x|)在关于原点对称的区间上单调性相反注意既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D.其中
定义域D是关于原点对称的非空数集.考点2函数的奇偶性（重点）1.周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当
x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.2.最小正周期如果在
周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.注意并不是周期函数都有最小正周期,如f(x
)=5.考点3函数的周期性（重点）理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ考法1判断函数的单调性和求单调区间考法2函数单
调性的应用考法3求函数的最值考法4判断函数的奇偶性考法5函数奇偶性的应用考法6函数周期性的判断及应用考法7函数性质的综合
应用B考法帮·题型全突破考法1判断函数的单调性和求单调区间考法指导判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法.一般步骤为设元—
作差—变形—判断符号—得出结论.(2)图象法.如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定
单调性.(3)导数法.先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法.①对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初
等函数的增减性及“增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数,减函数+减函数=减函数,减函数-增函数=减函数”的性质进行判断;
②对于复合函数,先将函数f[g(x)]分解成f(x)和g(x),再讨论(判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规
则进行判断.?示例1判断下列函数的单调性:(1)f(x)=(x<0);(2)f(x)=.思路分析先对已知函数式进行变形
转化,变成几个基本初等函数式的组合形式,再利用已知函数的单调性及单调性的有关性质来判断函数的单调性即可.解析(1)(性质法)f(
x)==x2-4+,而函数y=x2-4及y=在(-∞,0)上都是减函数,则f(x)=在(-∞,0)上是减函数.理科数学第二章：函
数概念与基本初等函数Ⅰ?(2)(性质法)因为f(x)==2x-,且函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),(求定义域)而函数y=
2x和y=-在区间(-∞,0)上均为增函数,根据单调函数的运算性质,可得f(x)=2x-在区间(-∞,0)上为增函数.同理,可得f
(x)=2x-在区间(0,+∞)上也是增函数.(分类讨论)故函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.理科
数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ?示例2已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为A.(-∞,1] B.[3,+∞)
C.(-∞,-1] D.[1,+∞)思路分析求函数的定义域研究函数t=x2-2x-3的单调性求函数f(x)的单调递增区间解
析(图象法)设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,
+∞).(先求函数的定义域)因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)
上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).答案B理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ?拓展变式1函数f
(x)=(的单调递增区间为A.(-∞,] B.[0,] C.[,+∞) D.[,1]答案D解析令t=,由x-x2≥0,
求得0≤x≤1,故函数的定义域为[0,1].因为g(t)=()t是减函数,所以f(x)的单调递增区间即t=的单调递减区间.利用二次
函数的性质,得t=的单调递减区间为[,1],即原函数的单调递增区间为[,1].故选D.?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数
Ⅰ考法2函数单调性的应用考法指导1.利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区
间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解.2.利用函数的单调性
求解或证明不等式若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数,则f(x1)x2),在解决“
与抽象函数有关的不等式”问题时,可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解,但无论如何都必须在同一单调区间内进行.理科数学
第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ需要说明的是,若不等式一边没有“f”,而是常数,应将常数转化为函数值.如若已知0=f(1),f(
x-1)<0,则f(x-1)行求解,或先得到图象的升降情况,再结合图象求解.注意讨论分段函数的单调性时,除注意各段的单调性外,还要注意分段点处的函数值.?
理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ?示例3已知函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称,当x2>x1>-1时
,>0恒成立,设a=f(-2),b=f(-),c=f(3),则a,b,c的大小关系为A.c>a>b B.c>b>a C.a>c
>b D.b>a>c思路分析利用图象的对称性,把问题转化为同一单调区间内比较大小的问题即可.解析由已知可得,函数f(x)的
图象关于x=-1对称,则有f(x)=f(-2-x),∴f(-2)=f[-2-(-2)]=f(0),由x2>x1>-1时,>0恒成立
,知f(x)在(-1,+∞)上单调递增,又-<0<3,∴f(3)>f(0)>f(-),即c>a>b.答案A?示例4已知函数f(
x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为.?思路分析根据定义域列不等式根据单调性将已
知转化为不等式解不等式组求a的取值范围解析由已知可得解得-33,所以实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+
∞).?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ拓展变式2已知函数f(x)=x|2x-a|(a>0)在区间[2,4]上单
调递减,则实数a的值是.?答案8解析f(x)=x|2x-a|=(a>0),作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是[
,],所以解得a=8.?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ考法3求函数的最值考法指导求函数最值的方法(1)单调性法.先确定
函数的单调性,再由单调性结合端点值求最值.(2)图象法.先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法.先
对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法.先求出导函数,然后求出给定区间上的极值,最后结
合端点值,求出最值.(5)换元法.对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.注意(1)求函数的最值时,应先
确定函数的定义域.(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小
值.理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ示例5已知函数f(x)=则f(x)的最小值是.?思路分析结合已知分段函数,
分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得出结论.解析因为y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞
)上单调递增,所以当x≤1时,f(x)min=f(0)=0.(用单调性法求最值)当x>1时,y=x+≥2,当且仅当x=时,等号成
立,此时f(x)min=2-6.(用基本不等式法求最值)又2-6<0,(比较每段上的最值)所以f(x)min=2-6.?理科数学
第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ?考法示例6若x∈[-,],则函数y=4sin2x-12sinx-1的最大值为,最小值为
.?思路分析令t=sinx,确定t的取值范围转化为关于t的二次函数利用单调性法求解二次函数的最值解析令t=sinx,因为x∈
[-,],所以t∈[-,1],y=f(t)=4t2-12t-1,因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t=,所以当t∈[-,1
]时,函数f(t)单调递减,所以当t=-时,ymax=6;当t=1时,ymin=-9.理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
考法4判断函数的奇偶性考法指导判断函数奇偶性的方法(1)定义法.定义域关于原点对称否既不是奇函数也不是偶函数确定定义域偶函数
f(-x)=f(x)是f(-x)=-f(x)判断f(-x)与f(-x)的关系奇函数非奇非偶函数?f(-x)f(x)(2)图象法理
科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ(3)性质法.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有
下面结论:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶
函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数注意函数定义域
关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ示例7判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)
=(x-1);(2)f(x)=;(3)f(x)=思路分析求函数定义域判断定义域是否关于原点对称判断f(-x)与f(x)的关系下
结论?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ解析(1)由≥0得函数的定义域为[-1,1),关于原点不对称,所以f(x)为非
奇非偶函数.(2)由得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),所以f(x)==-.所以f(-x)=-=-=f(x),所以f(x
)为偶函数.?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ(3)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x
)=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x).又f(0)=0,故对任意的x∈(
-∞,+∞),都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ突破攻略1.在用定义判
断函数的奇偶性时,要注意自变量在定义域内的任意性.不能因为个别值满足f(-x)=±f(x),就确定函数的奇偶性.2.判定分段函数奇
偶性时要分段讨论f(-x)与f(x)的关系,只有当所有区间上都满足相同的关系时,才能判定其奇偶性.3.在求出定义域之前,不能化简函
数解析式,否则会使原函数定义域发生变化,进而导致函数奇偶性发生变化.理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ4.掌握一些重要类
型的奇偶函数:①函数f(x)=ax+a-x为偶函数,函数f(x)=ax-a-x为奇函数;②函数f(x)=(a>0且a≠1)为奇函数
;③函数f(x)=loga为奇函数;④函数f(x)=loga(x+)为奇函数.?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ考法5
函数奇偶性的应用考法指导1.求函数解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(
x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.2.求函数的值利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.3.求解析式中的参数值
在定义域关于原点对称的前提下,利用f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x),f(x)为偶函数?f(x)=f(-x),列式求解,也
可利用特殊值法求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求解.4.画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画
出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.示例8f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+
1,求f(x)的解析式.思路分析x>0时的解析式是已知的,利用奇函数的定义,即可求得x<0时f(x)的解析式,注意不要忽略x=0
时f(x)的解析式.解析当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇
函数,故f(x)=-f(-x),所以当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.综上可得f
(x)的解析式为f(x)=?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ点评此类问题的求解方法是:设出所求区间上的自变量,利用奇
、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知区间上,代入已知的解析式,再利用函数的奇偶性求解即可.理科数学第二章：函数概
念与基本初等函数Ⅰ示例9(1)已知函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为A.3 B
.0 C.-1 D.-2(2)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=,b=.?思
路分析(1)(2)构造新函数F(x)=f(x)-1代入已知求值判断奇偶性根据定义域关于原点对称求a利用偶函数求b理科数学第二章：
函数概念与基本初等函数Ⅰ解析(1)设F(x)=f(x)-1=x3+sinx,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=
1,所以F(-a)=f(-a)-1=-F(a)=-1,从而f(-a)=0.故选B.(2)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1
=-2a,解得a=.又函数f(x)=x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点(图略),易得b=0.?理科数学第二章：函数
概念与基本初等函数Ⅰ拓展变式3设函数f(x)=若f(x)是奇函数,则g(3)的值是A.1 B.3 C.-3 D.-1答案
C解析∵函数f(x)=f(x)是奇函数,∴f(-3)=-f(3),∴log2(1+3)=-[g(3)+1],则g(3)=-3
.故选C.?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ考法6函数周期性的判断及应用?考法指导1.判断函数的周期,只需证明f(x
+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.2.常见的几个结论周期函数
y=f(x)满足:(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;(
3)若f(x+a)=-,则函数的周期为2a;(4)若f(x+a)=,则函数的周期为2a;(5)若f(x+a)=f(x+b)(a
≠b),则函数的周期为|a-b|;(6)若函数f(x)关于直线x=a与x=b对称,那么函数f(x)的周期为2|b-a|;(7)若函
数f(x)关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是2|b-a|;(8)若函数f(x)关于直线x=a对称
,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是4|b-a|;(9)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2
a;(10)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4a.3.根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的
整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k
∈Z且k≠0)也是函数的周期.理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ示例10已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x
+3)=-,当1把f(2017)转化为f(1),进而转化为-,把x=2代入即可.?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ解析由已知可得f
(x+6)=f((x+3)+3)=-=-=f(x),故函数f(x)的周期为6.∴f(2017)=f(6×336+1)=f(1).
∵f(x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),而f(-1+3)=-,所以f(1)=f(-1)=-=-=2.∴f(2017)=2.?
理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ示例11已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x
3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为A.6 B.7 C.8 D.9思路分析确定当0≤x<2
时,函数图象与x轴的交点个数根据f(x)是以2为周期的周期函数,确定当2≤x<4时函数图象与x轴的交点个数同理得出当4≤x<6时函
数图象与x轴的交点个数,并确定x=6时是否有交点由各区间交点个数,即可得出正确选项?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ解
析当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当
2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3)
,所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象
与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合要求.综上可知,共有7个交点.答案B理科数学第二章：函数概念与
基本初等函数Ⅰ拓展变式4已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值范围为A.(-
1,4) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2)答案A解析∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函
数,∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),∵f(1)<1,f(5)=,∴<1,即<0,解得-1数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ考法7函数性质的综合应用考法指导1.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常
常将它们综合在一起命题,其中奇偶性多与单调性结合,而周期性多与抽象函数结合,并结合奇偶性求函数值.2.函数的奇偶性体现的是一种对称
关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调
性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.?示例12已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且
在区间[0,2]上是增函数,则A.f(-25)f(80)(x-8)=f(x),可知f(x)是以8为周期的周期函数结合f(x)的奇偶性和单调性,即可得出选项?理科数学第二章：函数概念与
基本初等函数Ⅰ解析因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期
函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=
-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以
f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ示例13已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,若f(m)≥f
(-2),求实数m的取值范围.思路分析根据偶函数在对称区间上的单调性关系求f(x)在(-∞,0]上的单调性,然后分情况讨论m所
在的区间即可求解.理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ解析函数f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,所以
f(x)在(-∞,0]上是减函数.当m<0时,由f(m)≥f(-2),知m≤-2;当m≥0时,由f(m)≥f(-2),f(-2)=
f(2),可得f(m)≥f(2),知m≥2.故实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).点评本例也可以利用偶函数的性质f(
-x)=f(x)=f(|x|)转化为解不等式f(|m|)≥f(2),即|m|≥2.?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ拓展变式5已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x)+2,若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(1)=2,则f(2017)=.答案2解析由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数.由f(x+4)=-f(x)+2,得f(x+4+4)=-f(x+4)+2=f(x),所以f(x)是周期T=8的偶函数,所以f(2017)=f(1+252×8)=f(1)=2.??理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ易混易错C方法帮?素养大提升?忽略函数的定义域致误示例14(1)若函数f(x)=在定义域上为奇函数,则实数k=.?(2)已知函数f(x)=则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是.?易错分析(1)解题过程中忽略函数f(x)的定义域,直接通过计算f(0)=0,得k=1.(2)本题易出现错误:由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,忽略了1-x2>0导致解答失误.易混易错解析(1)∵f(-x)=,∴f(-x)+f(x)==.由f(-x)+f(x)=0,可得k2=1,∴k=±1.(2)画出f(x)=的图象,由图可知,若f(1-x2)>f(2x),则即所以x∈(-1,-1).?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ温馨提示1.已知函数的奇偶性,利用特殊值确定参数的值时,要注意函数的定义域.?2.解决分段函数的单调性问题时,应高度关注:①对变量所在区间的讨论;②保证各段上同增(减)时,要注意端点值间的大小关系;③弄清最终结果是取并集还是取交集.?理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ |
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