题型一：轨迹方程的求法已知线段AB=6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。【解析】以AB所在直线为x轴，AB垂直
平分线为y轴建立坐标系则A（-3，0），B（3，0），设点M的坐标为，则直线AM的斜率直线BM的斜率由已知有化简，整理得点M的
轨迹方程为已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.（1）试求动点P的轨迹方程C.（2）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN
|=时，求直线l的方程.【解析】（1）设点，则依题意有，整理得由于，所以求得的曲线C的方程为（）（Ⅱ）由消去y得解得由，解得所
以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥
OQ，|PQ|=，求椭圆方程.【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由得(
m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2
=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2①又22,将m+n=2,代入得m·n=②由①、②式得m
=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1.在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线，直线与曲
线交于、两点.（1）求出的方程；（2）若=1，求的面积；（3）若，求实数的值。【解析】（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的
轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（2）设，由解得，，（3）设，其坐标满足消去y并整理得，故．
若，即．而，于是，化简得，所以．题型二：数形结合判断直线与圆锥曲线位置关系若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的
两点，则k的取值范围是【解析】由得(1－k2)x2－4kx－10＝0，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－线与椭圆始终有交点，求的取值范围思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点。【
解析】根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。过点P(3,2)和抛物线只有一
个公共点的直线有条。【解析】抛物线如图，点P（3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛
物线只有一个交点，可知过点P(3,2)和抛物线只有一个公共点的直线有一条。类型三：中点弦问题过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，
使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为
A()，B（），则是方程的两个根，于是，又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为。解法二：设直线与椭圆的交点为A()，B（）
，M（2，1）为AB的中点，所以，，又A、B两点在椭圆上，则，，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为。解法三：设所求直线与椭圆的
一个交点为A()，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B()，因为A、B两点在椭圆上，所以有，两式相减得，由于过A、B的直线只有
一条，故所求直线方程为。已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点
，则抛物线C的方程为________．[来源:Z|yy|100.Com]【解析】设抛物线C方程为y2＝ax，直线y＝x与抛物线C两
交点坐标为A(x1，y2)，B(x2，y2)，则有①－②整理得×＝，∴a＝4.所求抛物线方程为y2＝4x.过椭圆上一点P（-8，0
）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法一：设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），则有，两式相减得，又因为，，所以，所
以，而，故。化简可得（）。解法二：设弦中点M（），Q（），由，可得，，又因为Q在椭圆上，所以，即，所以PQ中点M的轨迹方程为（
）。求椭斜率为3的弦的中点轨迹方程。【解析】设弦中点M（），弦端点P（），Q（），则有，两式相减得，又因为，，所以，所以，而，故。
化简可得。题型四：与弦的垂直平分线有关的问题已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=
【解析】设直线的方程为，，由，得由韦达定理知∴的中点，又∵在直线上∴解得，∴，∴，，由弦长公式．求实数m的取值范围，使抛物线y2=
x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称解法1：设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=m(x-3)对称，A，
B中点M(x,y)，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称。当m0时，所以，所以M的坐标为，∵M在抛物线内，则有，得且m
0，综上所述，解法2：设两点为A(x1，y1),B(x2，y2)，它们的中点为M(x，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b，
与方程y2=x联立，得y2+my-b=0所以y1+y2=-m，即，又因为中点M在直线y=m(x-3)上，所以得M的坐标为又因为
中点M在直线x=-my+b上，，对于，有=m2+4b=10-m2>0，所以。题型五：求参数范围设、分别是椭圆的左、右焦点，过定点的
直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【解析】显然直线不满足题设条件，可设直线：，，联
立，消去，整理得：∴由得：或又∴又∵，即∴故由①、②得或已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为kP
A和kPB，且满足(t≠0且t≠－1).（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存
在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．【解析】（1）设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)+=1，
轨迹C的方程为+=1（x≠2）.（2）当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设|PF1|=r1，|PF2|=r2,则
r1+r2=2a=4.在△F1PF2中，|F1F2|=2c=4,∠F1PF2=120O，由余弦定理得4c2=r+r－2r1r2
cos120=r+r+r1r2=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,∴16（1+t）≥12,
∴t≥－.所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设|PF1|=r1
，|PF2|=r2,则r1+r2=2a=-4t,在△F1PF2中，|F1F2|=2c=4.∠F1PF2=120O，由余弦定理
得4c2=r+r－2r1r2cos120=r+r+r1r2=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,
∴16（-1-t）≥-12t,∴t≤－4.所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O综上知当t＜0时，曲线上存
在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是.题型六：范围问题解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何
性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间等量关
系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利
用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2
＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两
点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．【解析】(1)∵双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率e＝＝.
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)由题意可设直
线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4
(m2－1)＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故·＝＝k2，则－＋m2＝0.由m≠0得k2＝，解得k＝±.又由Δ＝64k2m2－1
6(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，得0为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O到直线的距离为d，则S△OMN＝|MN|d＝··|x1－x2|·
＝|m|＝.故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)．如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x
上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<
0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【解析】（1）证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，
y2为方程2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴．(2)由(1)
可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.所以△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝.因为
x＋＝1(－1≤x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，所以△PAB面积的取值范围是.题型七：最值问题模型1：
利用三角函数有界性求最值过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是【解
析1】利用焦点弦二级结论解题（利用三角函数有界性求最值）设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝
×＝≥4.焦点弦常用的二级结论汇编：（1）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则①，；②定值，定值；③定值；④.（2）过抛物线的焦
点作倾斜角为（斜率为）的直线交抛物线于（在上方）两点，则①；②；③.（3）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，
垂足分别为，准线与轴交于点，为坐标原点，则①；②三点共线；③三点共线；（4）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线
，垂足分别为，设中点为，过作准线的垂线，垂足为，则①；②；③；④；⑤；⑥以为直径的圆与准线相切，切点即为；⑦以为直径的圆与轴相切；
⑧；；⑨.（5）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则.（6）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为准
线上的一动点，且直线、、的斜率均存在，则直线、、的斜率成等差数列，即.【解析2】利用直线的参数方程解题设直线AB的倾斜角为θ，因为
直线与抛物线有两个焦点，所以则直线的参数方程为带入y2＝4x得：所以当且仅当，即直线与抛物线对称轴垂直时，取得最小值4【解析3】设
点斜式方程解题当斜率k存在时，社会直线AB的方程为联立，得设，则由抛物线性质知：当斜率k不存在时，，综上知过抛物线y2＝x的焦点F
的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是【解析】记点A的横坐标是x1，则有|A
F|＝x1＋＝＋＝＋|AF|cosθ，|AF|(1－cosθ)＝，|AF|＝.由≤θ<π得－1osθ)<4，<≤＝1＋，即|AF|的取值范围是.模型2：数形结合利用几何性质求最值在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y
2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．解析双曲线x2－y2＝
1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c
恒成立，得c≤，故c的最大值为.如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3,0)的
直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为【解析】由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3,0)，圆
(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知
|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于
C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈
[7,8]模型3：转化为函数利用基本不等式或二次函数、对勾函数等求最值椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作
一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________．【解析】由题意得，直线l的斜率不为0，所以令直线
l：x＝my＋1，与椭圆方程联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y
2＝－，y1y2＝－.可知＝|F1F2||y1－y2|＝＝12，又＝≤，故≤3.三角形周长与三角形内切圆的半径的积等于三角形面积的
二倍，则内切圆半径r＝≤，其面积最大值为.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．【解析】(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x
＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①将AB的中点M代入直线方程y＝
mx＋，解得b＝－，②由①②得m<－或m>.(2)令t＝∈∪，则t2∈.则|AB|＝·，且O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的
面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤，当且仅当t2＝时，等号成立，此时满足t2∈.故△AOB面积的最大值为.已知椭圆Γ
：＋＝1(a＞b＞0)，经过点E，且离心率为.(1)求椭圆Γ的方程；(2)直线l与圆O：x2＋y2＝b2相切于点M，且与椭圆Γ相交
于不同的两点A，B，求|AB|的最大值．【解析】(1)将E代入椭圆方程，得＋＝1，由椭圆的离心率e＝＝＝，解得a＝2，b＝1，所以
椭圆Γ的方程为＋y2＝1.(2)当直线l垂直于x轴时，由直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，可知直线l的方程为x＝±1，易求得|AB
|＝.当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝kx＋m，由直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2＝k2＋1.将y＝k
x＋m代入＋y2＝1，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x
1x2＝，故|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝4.又因为m2＝k2＋1，所以|AB|＝≤＝2，当且仅当|k|＝，即k＝±时等号成立
．综上所述，|AB|的最大值为2.已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线
＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B
，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．【解析】(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E的方程为＋＝1.由得x
2－2x＋4－3c2＝0.∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0，解得c2＝1，∴椭圆E的方程为＋
＝1.(2)由(1)得M，∵直线＋＝1与y轴交于P(0,2)，∴|PM|2＝.当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋)
×(2－)＝1，∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|?λ＝.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，由消去y，得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，则x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，∴|PA|·|PB
|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，∴λ＝，∵k2>，∴<λ<1.综上可知，实数λ的取值范围是.已知动圆E经过点
F(1,0)，且和直线l：x＝－1相切．(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l′与线段O
A相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．【解析】(1)由题意可知点E到点F的距离等于点
E到直线l的距离，∴动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y2＝4x.(2)设直线l′的
方程为y＝x＋m，其中－3＜m＜0.联立消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，则Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)恒大
于零．设C(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1·x2＝m2，∴|CB|＝·＝4.又点A到直线l′的距离d
＝，∴S△ABC＝×4×＝2×(3＋m)．令＝t，t∈(1,2)，则m＝1－t2，∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3.令
f(t)＝8t－2t3,1＜t＜2，∴f′(t)＝8－6t2，易知y＝f(t)在上单调递增，在上单调递减．∴y＝f(t)在t＝，即
m＝－时取得最大值.∴△ABC面积的最大值为.题型八：定点问题圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中
系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该
定点与变量无关．已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分
别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明
：直线l过定点，并求此定点．解(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c
2，∴a2＝3.∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l
方程为x＝t(y－m)，由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝
－1.同理由＝λ2知λ2＝－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m
2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有y1＋y2＝，y1y2＝，③③代入①得t2m2－3
＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线l的方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定
点．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.(1)
求p的值；(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－，证明：直线MN
恒过定点，并求出定点的坐标．解(1)设Q(x0,4)，由抛物线定义，|QF|＝x0＋，又|QF|＝2|PQ|，即2x0＝x0＋，
解得x0＝，将点Q代入抛物线方程，解得p＝4.(2)由(1)知C的方程为y2＝8x，所以点T坐标为.设直线MN的方程为x＝my＋n
，点M，N，由得y2－8my－8n＝0，Δ＝64m2＋32n>0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，所以kMT＋kNT＝＋＝
＋＝＝＝－，解得n＝m－1.所以直线MN的方程为x＋1＝m(y＋1)，恒过定点(－1，－1)．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x
轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左
右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。解（I）由题意设椭圆的标准方程为，（II）设，
由得，，右顶点且，，，，，解得，且满足当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为题型九：定值
问题圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可(
2)求点到直线距离为定值．利用点到直线距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式
，再依据条件对解析式进行化简已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B
，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．(1)解
因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k
<0或0－3,0)∪(0,1)．(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.直线PA方程为y－
2＝(x－1)，令x＝0，点M纵坐标为yM＝＋2＝＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.由＝λ，＝μ，得λ＝1－yM，μ＝1－yN
.所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2.所以＋为定值．已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1
)求曲线C的方程；(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明
：直线AB的斜率为定值．(1)解由已知，动点E到定点D(1,0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以
D(1,0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.(2)证明由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，
得斜率互为相反数，且不等于零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.直线l2的方程为
y＝－k(x－1)＋2，由得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，Δ＝16(k－1)2>0，已知此方程一个根为1，∴
x1×1＝＝，即x1＝，同理x2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝－＝－，∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)
＋2]＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝，∴kAB＝＝＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(b>0
)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1.(1)求C的方程；(2)设C的上顶点为H，过点(2
，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值．【解析】(1)由椭圆定义得|M
F1|＋|MF2|＝4，①由垂直得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，②由题意得S△MF1F2＝|MF
1|·|MF2|＝1，③由①②③，可得b2＝1，C的方程为＋y2＝1.(2)依题意，H(0,1)，显然直线的斜率存在且不为0，设
直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k2
－m2＋1)>0，设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，故x1＋x2＝，x1x2＝.kHR＋kHS＝＋＝＋＝2k＋(
m－1)＝2k＋(m－1)＝2k－＝＝－1.故kHR＋kHS为定值－1.已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，
0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，
并求出这个定值。【解析】（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，将点A的坐标代入方程：解得：或（舍去），所以椭圆方程为（Ⅱ）设直
线AE方程为：，代入得设,,因为点在椭圆上，所以又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—k代k，可得，所以直线E
F的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。题型十：探索新问题已知的三个顶点在抛物线:上运动，（1）求的焦点坐标；（2）若点在坐标原点
，且，点在上，且，求点的轨迹方程；（3）试研究:是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，
若不存在，说明理由.【解析】(1)由得所以,焦点坐标为(2)设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的),与抛物线交于则得,
又点在抛物线上,故有,或(舍)-------①又的斜率为,则有,既代入①故点轨迹为(注:没写扣1分)另解:由上式①
过定点,,所以,,既【解法2】设点的坐标为,方程为,由得方程为,则得,同理可得方程为恒过定点,,所以,,
既(3)【解法1】若存在边所在直线的斜率为的正三角形,设,(其中不妨设),则,------①令,则,即将①代入得,
,-----------②线段的中点为,由①,②得的横坐标为,的纵坐标为又设由点在抛物线上,则,即,又因为,【
解法2】设,的三边所在直线的斜率分别是------①若边所在直线的斜率为,边所在直线和轴的正方向所成角为,则,所以即-----②
；又------③所以,将②,③代入上式得边长设，常数，定义运算“”：，定义运算“”：；对于两点、，定义.(1)若，求动
点的轨迹；(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点，若，试求的值；(3)在(2)中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T
，并且与(1)中轨迹交于不同两点P、Q,试求的取值范围．【解析】(1)设,则又由≥0可得P(,)的轨迹方程为，轨迹C为顶点在原
点，焦点为的抛物线在轴上及第一象限的内的部分(2)由已知可得,整理得,由,得．∵，∴∴解得或(舍)；(3)∵∴设直线,
依题意,，则,OxyPSTQQ1P1分别过P、Q作PP1⊥y轴，QQ1⊥y轴，垂足分别为P1、Q1，则．由消去y得∴≥．∵、取不相等的正数，∴取等的条件不成立∴的取值范围是（2，+）；给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．（1）若椭圆过点，且焦距为，求“伴随圆”的方程；（2）如果直线与椭圆的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点轨迹的大致图形；（3）已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．设点是椭圆的“伴随圆”上的动点，过点作直线使得与椭圆都各只有一个交点，且分别交其“伴随圆”于点．研究：线段的长度是否为定值，并证明你的结论．【解析】（1）由题意得：，则；又由焦距为，所以焦距为，故所求的“伴随圆”的方程为（2）由于椭圆的“伴随圆”与直线有且只有一个交点，则圆心到直线的距离等于半径，即故动点轨迹方程为即动点的轨迹是：以原点为圆心半径为３的圆上八分之一弧（除去两端点）如图（3）由题意得：得，半焦距则椭圆的方程为“伴随圆”的方程为①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个交点，则其方程为或，当方程为时，此时与“伴随圆”交于点，，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公点的直线（或），即为（或）显然直线，垂直；同理可证方程为时，直线，垂直，所以②当，都有斜时，设点，其中。设经过点与椭圆为只有一共点的直线为，则消去，得即经过化简得到：因为，所以有设，的斜率分为，因为，与椭圆都有只有一个交点，所以满足方程。所以，即，垂直．综合①②知：因为，经过点，又分别交其“伴随圆”于点，且，垂直，所以线段为“伴随圆”的直径，所以数学第六感更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学资料库;QQ教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue;数学第六感更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学资料库;QQ教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; |
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