西南大学附属中学校高2018级第四次月考
数学试题（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则B．C．D．
2.下列说法正确的是（）
A．“”是“函数是奇函数”的充要条件
B．样本的相关系数，越接近于，线性相关程度越小
C．若为假命题，则，均为假命题
D．“若，则，则中，，则B．C．D．
4.已知，，，则（）
A．B．C.D．
5.已知定义在上的函数，记，，则、的大小关系是B．C.D．
6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是，则
A．B．C.D．
7.设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，则该点恰好在区域内的概率为（）
A．B．C.D．
8.已知，的最大值为则B．C.D．
9.某个班级组织元旦晚会，一共准备了、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种
A．B．C.D．
10.若函数有一个极值点为，且的方程的不同实数根个数不可能为（）
A．B．C.D．
11.已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C.D．
12.已知函数，，若成立则B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设，其中是实数，则．
14.设变量，满足：，则的部分图象如图所示，则．
16.已知，是抛物线上一动点，若以为圆心，为半径的圆上存在点，满足则的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式，求数列的项和名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2．
表1
停车距离（米） 频数 24 42 24 9 1 表2
平均每毫升血液酒精含量毫克 10 30 50 70 90 平均停车距离米 30 50 60 70 90 回答以下问题．
（1）由表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
（2）根据最小二乘法，由表2的数据计算关于的回归方程；
（3）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于（1）中无酒状态下的停车距离平均数的倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（2）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（精确到个位）
（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，）
19.已知函数.
（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；
（2）在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设、、是椭圆上三动点，且，线段，，求，.
（1）求函数的单调区间及极值；
（2）若，是函数的两个不同零点，求证：①；②.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数与轴交于为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于、两点．
（1）求曲线的直角坐标方程和点的一个极坐标；
（2）若，求实数.
（1）对，都有的取值范围；
（2）设不等式的解集为，若求证.
试卷答案
一、选择题
1-5:BDACD6-10:BCCBA11、12：CA
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解：（1）∵ ①
当时，，∴
当时， ②
由①-②得：
∴
∴是以为首项，公比为的等比数列
∴
（2）∵
∴
18.解：（1）
（2）
∴
∴回归方程为
（3）由题意知：，∴
∴预测当每毫升血液酒精含量大于毫克时为“醉驾”
19.解：（1）
由，∴∴的对称轴方程为，
由，∴，∴的对称中心为，
（2）法一：∵，∴，∵，∴
∴，∴
由正弦定理得：
∴，
∴
∵，∴
∴的周长范围为
法二：∵，∴，∴，
∴，得：，，∴
又，∴，∴
20.解：（1）由题意，，，∴，
∴椭圆
（2）设，，，
由
∴，得：
法一：当的斜率不存在时，，
由,，得，∴，
当的斜率存在时，设
得：，
，
得：，此时总成立
又，
∴，
∴且，∴且
综上：
法二：设中点，则，
∴
∴
设，
则
∴
21.解：（1）定义域：
令，则，令，则
∴在递减，递增
∴，无极大值
（2）由（1）知时，；时，
要使有两个不同零点，则即
不妨设，
①证明：令，则
在递增而，∴
∴即
∵，∴
∵且在递减
∴，即
②证明：令，下面先证明，
∵，，∴在递增
∴，∴在递增，∴
即在总成立，∵，∴
又
∵由知，
又，且及在递减
∴，即
22.解：（1），
（2）将代入得
∵，∴
∴，∴
23.解：（1）∵，∴
∴在上递减，在上递增，当时为常数
∴，∴
（2）∵，∴
∵
∵,∴,,∴,
∴，∴，∴
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