一、从实际问题到方程
列方程解应用题的一般步骤是:
(1)“设”:用字母(例如x)表示问题的_未知量__;
(2)“找”:看清题意,分析题中及其关系,找出用来列方程的_等量关系_____;
(3)“列”:用字母的代数式表示相关的量,根据
等量关系____列出方程;
(4)“解”:解方程;
(5)“验”:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案;
(6)“答”:答出题目中所问的问题。
1、已知小帅和大帅共有100元钱,设小帅有x元,则大帅有(100—x)元
2、一个数x的2倍减去7的差,得36,列方程为
___2x—7=36_______;
1.完成下面的解题过程:
小帅种了一株树苗,开始时树苗高为40厘米,栽种后每周树苗长高15厘米,几周后树苗长高到100厘米?
解:设x周后树苗长高到100厘米.根据题意,得
40+15x=100.
解方程,得x=4.
答:4周后树苗长高到100厘米.
2(年龄问题)在课外活动中,张老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学:“我今年45岁,几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”
解:设x年后,学生的年龄是张老师年龄的三分之一,依题意,得
解得x=3
答:3年后,学生的年龄是张老师年龄的三分之一。
3甲种铅笔每支0.3元,乙种铅笔每支0.6元,用9元钱买了两种铅笔共20支,两种铅笔各买了多少支?
解:设有甲种铅笔x支,依题意,得
解得x=10
乙种铅笔有20-10=10支
答:甲、乙两种铅笔各有10支。
.基本公式:__路程=速度×时间__
2.、、环形跑道问题、航行问题、飞行问题。
3.航行问题的数量关系:
(1)顺水航行的路程=逆水航行的路程
(2)顺水速度=静水速度+水速
逆水速度=静水速度-水速
4.飞行问题基本等量关系:
顺风速度=无风速度+风速
逆风速度=无风速度-风速
1、甲的速度是每小时行4千米,则他x小时行(4x)千米.
2、乙3小时走了x千米,则他的速度是每小时行()千米.
3、甲每小时行4千米,乙每小时行5千米,则甲、乙一小时共行(9)千米,y小时共行(9y)千米.
4、某一段路程x千米,如果火车以49千米/时的速度行驶,那么火车行完全程需要()小时.
三、综合题,请你试一试
1.甲、乙两地路程为180千米,一人骑自行车从甲地出发每小时走15千米,另一人骑摩托车从乙地出发,已知摩托车速度是自行车速度的3倍,若两人同时出发,相向而行,问经过多少时间两人相遇?
解:易知摩托车的速度是每小时45千米。
设经过x小时两人相遇,依题意,得
15x+45x=180
解得x=3
答:经过3小时两人相遇。
2.甲、乙两地路程为180千米,一人骑自行车从甲地出发每时走15千米,另一人骑摩托车从乙地出发,已知摩托车速度是自行车速度的3倍,若两人同向而行,骑自行车在先且先出发2小时,问摩托车经过多少时间追上自行车?
解:设摩托车经过x小时追上自行车,依题意,得
45x—15(x+2)=180
解得x=7
答:摩托车经过7小时追上自行车
3.一架直升机在A,B两个城市之间飞行,顺风飞行需要4小时,逆风飞行需要5小时.如果已知风速为30km/h,求A,B两个城市之间的距离.
解:设飞机无风时的速度为x千米/小时,依题意,得
解得x=270
所以(270+30)×4=1200(千米)
答:A,B两个城市之间的距离为1200千米。
400米的环形跑道上跑步,两人在同一地方同时出发同向而行,甲的速度为100米/分,乙的速度是甲速度的倍,问(1)经过多少时间后两人首次相遇(2)第二次相遇呢?
解:乙的速度是100=150米/解得x=8
解得x=16
答:(1)调配问题
初步学会列方程解调配问题各类型的应用题;各部分量之和等于总量是解决这类应用题的基关键所在.
1.某人用三天做零件330个,已知第二天比第一天多做3个,第三天做的是第二天的2倍少3个,则他第一天做了多少个零件?
x个,则他第二天做零件
__(x+3)________个,
第三天做零件__[2(x+3)3_]_______个,根据“某人用三天做零件330个”
列出方程得:___x+x+3+_2(x+3)3=330__.
解这个方程得:____x=84__________.
答:他第一天做零件___84_____个.
2.初一甲、乙两班各有学生48人和52人,现从外校转来12人插入甲班x人,其余的都插入乙班,问插入后,甲班有学生__48+x___52+12x______3倍比乙班学生人数的2倍还多4人,列出方程是:
__3(48+x)=2(52+12x)+4__
1、有23人在甲处劳动,17人在乙处劳动,现调20人去支援,使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人?解:设应调往甲处x人,依题意,得
解得x=17
答:应调往甲处17人,调往乙处3人。
1:3:10:4,要配制这种混凝土360千克,各种原料分别需要多少千克?
解:设有水泥x千克,依题意得
解得x=20
所以沙有20×3=60千克
石子有20×10=200千克
水有20×4=80千克
答:水泥、沙、石子、水分别需要20千克、60千克、200千克、80千克。
3、为鼓励节约用水,某地按以下规定收取每月的水费:如果每月每户用水不超过20吨,那么每吨水按1.2元收费;如果每月每户用水超过20吨,那么超过的部分按每吨2元收费。若某用户五月份的水费为平均每吨1.5元,问,该用户五月份应交水费多少元?
解:设该用户五月份共用水x吨,依题意,得
解得x=32
水费为
答:该用户五月份应交水费48元
注:本题不是“求什么设什么”。所以同学们要学会设一个合适的未知量,以便于列方程。有了这道题目的解答,请同学们解决《基础训练》P42,12题和P44,19题。
工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
各部分工作量之和=工作总量
1.做某件工作,甲单独做要8小时才能完成,乙单独做要12小时才能完成,问:
①1小
②乙做1小
③甲、乙合做1小
④甲做x小
⑤甲、乙合做x小
⑥甲先做2小
乙后做3小
甲、乙再合做x小
三次共完成全部工作量的几分之几?结果完成了工作,则可列出方程:
三、综合题,请你试一试
1.一项工程,甲单独做要10天完成,乙单独做要15天完成,两人合做4天后,剩下的部分由乙单独做,还需要几天完成?
解:设还需要x天完成,依题意,得
解得x=5
答:还需要5天完成
2.食堂存煤若干吨,原来每天烧煤4吨,用去15吨后,改进设备,耗煤量改为原来的一半,结果多烧了10天,求原存煤量.
解:设原存煤量为x吨,依题意,得
解得x=55
答:原存煤量为55吨
3.一水池,单开进水管3小时可将水池注满,单开出水管4小时可将满池水放完。现对空水池先打开进水管2小时,然后打开出水管,使进水管、出水管一起开放,问再过几小时可将水池注满?
解:设再过x小时可将水池注满,依题意,得
解得x=4
答:再过4小时可将水池注满。
本金、利率、利息、本息和这四者之间的关系:
(1)=本金×利率×期数
(2)=本金+利息-利息税
(3)利息税=利息×利息税率(20%)
2、售价=标价×折×,利润=售价-成本(成本也称进价),,(易知:利润=成本×利润率)。
1.某商品按定价的八折出售,售价14.80元,则原定价是__18.5_元。
解:设定价为x元,0.8x=14.8,解得x=18.5
2.小帅把爸、妈给的压岁钱1000元按定期一年存入银行。当时一年期定期存款的年利率为1.98%,利息税的税率为20%。到期支取时,利息为_19.8元___,税后利息__15.84元___,小帅实得本息和为_1015.84元___.
3.A、B两家售货亭以同样价格出售商品,一星期后A家把价格降低了10%,再过一个星期又提高20%,B家只是在两星期后才提价10%,两星期后_____家售货亭的售价低。
解:设两家售亭一开始的价格为x,
A:(1-10%)(1+20%)x=1.08x
B:(1+10%)x=1.1x
A家售货亭的售价低。
4.某服装商贩同时卖出两套服装,每套均卖168元,以成本计算其中一套盈利20%,另一套亏本20%,则这次出售商贩__________(盈利或亏本)元。
解:设其中一套的成本价为x元,依题意,得
解得x=140
设另一套的成本价为y元,依题意,得
解得y=210
(元)
答:亏本14元。
注:这道题和《基训》P38,5题解题思路一样。
1.小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄,今年到期后,扣除利息税,利息税的税率为20%,所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器,问小明爸爸前年存了多少元?
解:设小明爸爸前年存了x元,依题意,得
2.43%×2×(1-20%)x=48.6
解得x=1250
答:小明爸爸前年存了1250元
2.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折(也就是按标价的80%)卖出,结果每件仍获得利润15元,这种服装每件的成本价是多少元?(提示:每件服装的利润=售价-成本价)
这种服装每件的成本价是x元,依题意,得
解得x=125
答:这种服装每件的成本价是125元
解得x=3
所以2、一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小1,十位与个位上的数字之和是这个两位数的五分之一,求这个两位数。
解得x=5
十位数字为5-1=4
答:这个两位数是45
解得x=25
小和尚有100-25=75个
答:有25个大和尚,75个小和尚。
解得x=54
兔有88-54=34只
答:
浓度问题
浓度类问题:溶质=溶液×浓度,
溶液=溶质+溶剂。
溶液:一种或以上的物质溶解在另一种物质中形成的均一、稳定的混合物。
溶质:被溶解的物质(如溶于水中的糖、盐、酒精、硫酸等)
溶剂:能溶解其他物质的物质
1、有含盐20%的盐水5千克,要配制成含盐8%的盐水,需加水______________千克。
解:设要加水x千克,依题意,得
,解得x=
解得x=70
答:需要加入浓度为50%的硫酸70千克
3、今需将浓度为80%和15%的两种农药配制成浓度为20%的农药4千克,问两种农药应各取多少千克?
解:设取浓度为80%的农药x千克,则取浓度为15%的农药(4-x)千克,依题意,得
解得x=
千克
答:千克,则取浓度为15%的农药千克。
时钟问题
在6点和7点间,何时分针和时针重合?
解:设在6点x分时,分针和时针重合,依题意,得
解得分时,分针和时针重合。
日历问题
日历上同一竖列上3日,日期之和为75,第一个日期是几号?
解:设第一个日期是x号,依题意,得
解得x=18
答:第一个日期是18号。
2、小华在日历上任意找出一个数,发现它连同上、下、左、右的共5个数的和为85,请求出小华找的数。
解:设小华找的数是x,依题意,得
解得x=17
答:小华找的数是17。
几何问题
有一块棱长为4厘米的正方体铜块,要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块,铸成后的铜块的高是多少厘米(不计损耗)?
解:设铸成后的铜块的高是x厘米,依题意,得
解得x=8
答:铸成后的铜块的高是8厘米。
方案博才中学需要添置某种教学仪器,
方案1:到商家购买,每件需要8元;
方案2:学校自己制作,每件4元,另外需要买制作工具120元,设需要仪器x件.
(1)试用含x的代数式表示出两种方案所需的费用;
(2)当所需仪器为多少件时,两种方案所需费用一样多?
解:(1)方案1:8x元
方案2:(120+4x)元
(2)依题意,得
解得x=30
答:当所需仪器为30件时,两种方案所需费用一样多。
考虑车身长度的问题
在一段双轨铁道上,两列火车相向驶过,A列车车速为20米/秒,B列车车速为24米/秒,若A列车全长180米,B列车全长160米,两列车解:设两列车错车的时间是x秒,依题意,得
解得x=答:两列车错车的时间是秒。
(1)火车过隧道(桥)问题:
火车速度×过隧道(桥)时间=隧道(桥)长+火车车身长度
(2)两车相向而行:
快车驶过的路程慢车驶过的路程=两车的车身长度和
(3)两车同向而行):
快车驶过的路程慢车驶过的路程=两车车身的长度和
Comeon!
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