第二部分讲小题?通法＋技法第九讲数列命|题|者|说
高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行：
1．对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，属于低档题。
2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题，属中低档题。
3．对递推数列的通项与求和的考查，有时以客观题的形式出现，但更多的时候出现在解答题中。
建议授课方式：精析精研，重点攻关。
热点一等差数列、等比数列
■方向1等差数列与等比数列的基本量计算
【例1】(1)(2017·全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和。若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()
A．1 B．2
C．4 D．8
(2)(2017·长沙模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为()
A.升 B.升
C.升 D.升
(3)(2017·河南八市第三次测评)在等比数列{an}中，a1＋an＝82，a3·an－2＝81，且数列{an}的前n项和Sn＝121，则此数列的项数n等于()
A．4 B．7
C．6 D．5
答案(1)C(2)A(3)D
解析(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得故选C。
(2)自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝，故选A。
(3)在等比数列{an}中，a3·an－2＝a1·an＝81，又a1＋an＝82，所以或当a1＝1，an＝81时，Sn＝＝121，解得q＝3。由an＝a1qn－1得81＝3n－1，解得n＝5。同理可得当a1＝81，an＝1时，n＝5。故选D。
在进行等差(比)数列的基本运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(或q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量。
答案(1)200(2)50
解析(1)解法一：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d。又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200。
■方向2等差数列、等比数列的性质应用
【例2】(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________。
(2)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。
解法二：S10＝a1＋a2＋…＋a10＝16，S100－S90＝a100＋a99＋…＋a91＝24，二式相加得：10(a1＋a100)＝40，a1＋a100＝4，S100＝＝200。
(2)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5。所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50。
(1)等差数列的常见性质
an＝am＋(n－m)·d；
若m＋n＝p＋q＝2t，
则am＋an＝ap＋aq＝2at；
S2n－1＝(2n－1)·an；
若下标成等差，则各项成等差；
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，组成等差数列；
(2)等比数列的性质
an＝am·qn－m；
{an}中各项及公比q都不为0；
若m＋n＝p＋q＝2t，
则am·an＝ap·aq＝(at)2；
若下标成等差，则各项成等比；
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，组成等比数列(公比q≠－1)。
答案A
解析设等差数列{an}的公差为d。由题可知a2a6＝a(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2d2＋2d＝0，又d≠0，则d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，S6＝＝＝－24，故选A。
题|组|通|关
1．(2017·全国卷)等差数列{an}的首项为1，公差不为0。若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()
A．－24 B．－3
C．3 D．8
答案A
解析由a3－＋a11＝0，得2a7－＝0，a7＝4，所以b7＝4，b1·b13＝b＝16。
2．(2017·新乡一调)已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3－＋a11＝0，数列{bn}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝()
A．16 B．8
C．4 D．25
答案－8
解析设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，可知q≠±1，两式相除得＝，解得q＝－2，所以a1＝1，a4＝a1q3＝－8。
3．(2017·全国卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1,a1－a3＝－3，则a4＝________。
答案4032b－2016a
解析由题意得也是一个等差数列，所以＝＋(2016－2014)×(b－a)＝a＋2(b－a)＝2b－a，即S2016＝4032b－2016a。
4．(2017·安徽“皖南八校”二联)设Sn是等差数列{an}的前n项之和，若S2014＝2014a，S2015＝2015b(a，b为常数)，则S2016＝________。
答案C
解析解法一：由题意，得Sn＝na1＋d，则S4＋S6－2S5＝(4a1＋6d)＋(6a1＋15d)－2(5a1＋10d)＝d。因此当d>0时，S4＋S6－2S5>0，则S4＋S6>2S5；当S4＋S6>2S5时，S4＋S6－2S5>0，则d>0。所以“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件。故选C。
解法二：S6＋S4>2S5S6－S5>S5－S4a6>a5?a6－a5>0d>0。
1．(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案5050
解析由an＋1＝3an＋2(nN)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3。所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列。所以an＋1＝3n。所以bn＝log3(an＋1)＝n。所以b1＋b2＋b3＋…＋b100＝＝5050。
2．(2017·云南大理第一次统测)若数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(nN)。令bn＝log3(an＋1)，则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________。
答案(1)an＝2n－1(nN)(2)
解析(1)当n＝1时，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1；当n≥2时，由4Sn＝(an＋1)2＝a＋2an＋1，得4Sn－1＝a＋2an－1＋1，两式相减得4Sn－4Sn－1＝a－a＋2an－2an－1＝4an，整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an>0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，又a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1(nN)。
热点二数列的通项与求和【例3】(1)在数列{an}中，an>0，且前n项和Sn满足4Sn＝(an＋1)2(nN)，则数列{an}的通项公式为________。
(2)已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝，则数列{an·an＋1}的前10项和为________。
(2)因为an＋1＝，所以＝＝2＋，即－＝2，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝2n－1，所以an＝，an·an＋1＝＝，a1·a2＋a2·a3＋a3·a4＋…＋a10·a11＝＝＝。
(1)数列通项公式的常见求法有：利用an与Sn的关系；累加、累乘法；转化成等差数列或等比数列。
(2)数列求和的常见求法有：分组求和法；裂项求和法；错位相减法；倒序相加法等。
答案C
解析an＋1＝an(1－nan＋1)可化为－＝n，令bn＝，则bn＋1－bn＝n，因此bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝。从而an＝＝，故选C。
题|组|通|关
1．在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an(1－nan＋1)，则数列{an}的通项公式an＝()
A. B.
C. D.
答案－
解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－n2－6(n－1)＋(n－1)2＝7－2n，当n＝1时，a1＝S1＝5也满足上式，所以an＝7－2n。所以数列的前20项和为＋－＋＋＋…＋＝－1＋×＝－1＋×＝－。
2．(2017·唐山期末联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝6n－n2，则数列的前20项和为________。
答案3－
解析由题意可得2a1＋4(n－1)a1＝a1＋2(2n－1)a1－1，解得a1＝1，d＝2。an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(nN)。bn＝＝，Sn＝＋＋＋…＋＋。Sn＝＋＋…＋＋＋。－得Sn＝＋2－。Sn＝1＋22－＝1＋1＋＋＋＋…＋－＝3－。3．(2017·广东阶段测评)设等差数列{an}的公差为d，且2a1＝d,2an＝a2n－1。设bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝________。
热点三数列中的最值问题【例4】已知数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(nN)，设Sn为{bn}的前n项和。若a12＝a5>0，则当Sn取得最大值时n的值为________。
答案16
解析设{an}的公差为d，由a12＝a5>0得a1＝－d，d<0，所以an＝d，从而可知当1≤n≤16时，an>0；当n≥17时，an<0。从而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…，b15＝a15a16a17<0，b16＝a16a17a18>0，故S14>S13>…>S1，S14>S15，S15S17>S18>…，因为a15＝－d>0，a18＝d<0，所以a15＋a18＝－d＋d＝d<0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)>0，所以S16>S14，即当Sn取得最大值时n＝16。
(1)等差数列中前n项和的最值常用界定数列中的项的正负号确定最值；
(2)递推数列的最值常结合函数的单调性或不等式的性质解决。
答案4
解析Sn＝(an－1)，Sn－1＝(an－1－1)(n≥2)。an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)。an＝4an－1，又a1＝S1＝(a1－1)，a1＝4。数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列。an＝4n。(4n－2＋1)＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当n＝2时取等号。
题|组|通|关
1．(2017·葫芦岛第二次考试)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)，则(4n－2＋1)的最小值为________。
答案
解析依题意得，数列的前n项和为2n－1，当n≥2时，＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，且＝21－1＝1＝21－1，因此＝2n－1(nN)，＝。记bn＝，则bn>0，＝＝>＝1，bn＋1>bn，数列{bn}是递增数列，数列{bn}的最小项是b1＝。依题意得，存在nN，使得λ≥＝bn成立，即有λ≥b1＝，λ的最小值是。
2．(2017·贵阳高三监测考试)在数列{an}中，a1＋＋＋…＋＝2n－1(nN)，且a1＝1，若存在nN使得an≤n(n＋1)λ成立，则实数λ的最小值为________。
1．(2017·洛阳第一次统考)等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当nN时，Sn－的最大值与最小值之和为()
A．－B．－C.D.
答案C
解析依题意得，Sn＝＝1－n。当n为奇数时，Sn＝1＋随着n的增大而减小，1
答案
解析设在这两个实数x，y之间插入三个实数后，这五个数为x，a1，a2，a3，y，因为这五个数构成等差数列，所以这个等差数列后三项和为a2＋a3＋y＝＋＋y＝(x＋3y)。
解法一：由x2＋y2＝4，可设x＝2cosθ，y＝2sinθ，则x＋3y＝2(cosθ＋3sinθ)≤2＝2，所以a2＋a3＋y＝(x＋3y)≤×2＝。
2．(2017·南昌一模)已知x2＋y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为________。
解法二：令z＝x＋3y，则当直线z＝x＋3y，即x＋3y－z＝0与圆相切时，z取得最大值与最小值。又x2＋y2＝4表示圆心为(0,0)，半径为2的圆，由圆心到直线的距离等于半径，得＝2，得z＝±2，所以z的最大值为2，所以(a2＋a3＋y)max＝×2＝。
构造法求递推数列通项公式
1．形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)的递推公式，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1＋t＝p(an＋t)，其中t＝，再转化为等比数列求解。
2．形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)的递推公式，先在原递推公式两边同时除以qn＋1，得＝·＋，构造新数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，然后求解。
答案(1)2n－1(2)22n＋1－3×2n
解析(1)由an＝2an－1＋1(n≥2，nN)得，an＋t＝2(an－1＋t)(n≥2)，所以2t－t＝1，解得t＝1，所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，所以＝2，又a1＋1＝2，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1。
【典例】(1)已知数列{an}，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，nN)，则数列{an}的通项公式an＝________。
(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________。
(2)由a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1得，－＝3，设bn＝，则bn＋1＝2bn＋3，设bn＋1＋t＝2(bn＋t)，所以2t－t＝3，解得t＝3，所以bn＋1＋3＝2(bn＋3)，所以＝2，又b1＋3＝＋3＝1＋3＝4，所以数列{bn＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－3，所以an＝bn·2n＝(2n＋1－3)×2n＝22n＋1－3×2n。
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