数学解题方法谈24：基础题的应用和变化4
基础题型:=，ED⊥AC于D，AF交ED于G，交EC于B
求证：AG=BG
简证或思路：连AE，则∠AEC＝90°∵=∴∠EAF＝∠C＝∠AED
∴GA＝GE∠BAE＝90°-∠EAB＝90°-∠C＝∠DEC
∴GE＝GB故AG=BG
例3、在⊙中，BC是直径，BA是⊙O的切线，AC交⊙O于D，
DG是⊙O切线，且交AB于G
求证：AG=BG
简证或思路：∵BG=GD类似上题GD=GA则AG=BG
例4、在⊙中，EF是直径，AD⊥EF于D，EA交⊙O于P，PG是切线交AD于G
PF交AD于B.
求证：AG=BG
简证或思路：∠CPF＝∠E＝∠PBG类似再证∠GPA＝∠F＝∠A
∴GA＝GP＝GB
例5、如5题图，∠BDC＝90°，DP是斜边上的高，BE是角平分线.
过DEP的圆交BE于G
求证：AG=BG
简证或思路：连BP，类似上述的方法可证.
例6、两圆外切于P，AB是外公切线，切两圆于A、B，PB是内公切线，交AB于G
求证：AG=BG
简证或思路：GA＝GP＝GB
变化：图中去掉内公切线，过PA、PB，求证：△APB是直角三角形.
添加内公切线PB交AG于G，得GA＝GP＝GB再证得∠APB＝90°
（二）在上述再加深：
例7、两圆外切于P，外公切线切两圆于M、N，AM、BN延长交于C
求证：△ACB是直角三角形.
简证或思路：
如附图所示，连PM、PN，作两圆的内公切线PG交MN于G，由例6变可知
三角形MPN是直角形，∠MPN＝90°∠GMP＋∠GNP＝90°
∠GMP＝∠A∠GNP＝∠B∴∠A＋∠B＝90°∴∠C＝90°
又法可证：连、M、N可知∠＋∠＝180°
∴∠A＋∠B＝90°∴∠C＝90°
|
|
