2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1、设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解
不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞
，1).【解析】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；当1≤x≤2时，f(x)＞3
无解；当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f(x)＝所以f(
x)min＝1.因为f(x)＞a恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零
点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二利
用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_
_______．【答案】(1).【解析】(1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，∴a2＋a＋2≤3，解得≤
a≤.即实数a的取值范围是.【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要
求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立?a<
f(x)min.题型三不等式的证明与应用例3、设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(
2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．【答案】略.【解析】[证明](1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得＋>＋.②若＋>＋，则(＋)2>(＋)
2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(
c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分
析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用
分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一解绝对值不等式1.不等式|x－1|＋|x＋
2|≥5的解集为________【答案】{x|x≤－3或x≥2}.【解析】原不等式等价于或或解得x≥2或x≤－3.故原不等式的解集
为{x|x≤－3或x≥2}．2.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若
f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围【答案】（1）{x|x≤1或x≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当
a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－
2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a.由
条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．3.设函数f(x)＝.(1)当a＝－5时，
求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a≥
－3.【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，
知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥
－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数.（
1）图中画出的图像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）见解析（2）.【解析】⑴如图所示：（2）2.不等式|x＋1|－|x－2|>
k的解集为R，则实数k的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,
2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3
时，原不等式恒成立．解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－
3即可．故k<－3满足题意．题型三不等式的证明与应用已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)
≥8(1－a)(1－b)(1－c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[
(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－
c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①
因为(a＋b)＋(b＋c)≥2＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式
得证.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充
要条件．【答案】略.【解析】证明(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)
2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－
4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋
b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|
.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．3.设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2
)＋＋≥1.【答案】略.【解析】(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.12 |
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