2020年高考理科数学《导数的定义与基础应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一对导数定义的理解与考查例1、如图，直线和圆，当从开始在平面上
绕点O匀速旋转（旋转角度不超过90o）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图像大致是（）。【答案】D【解析】在直线
旋转的过程中，可以发现面积的平均变化率是先增大后减小，但是始终都是正数，即面积是时间的增函数，且增幅是先快再慢。选D.【易错点】不
能把实际问题与导数的定义联系起来【思维点拨】深刻理解导数的定义--导数反映函数在点处变化的快慢程度.理解导数的几何意义，即在某点处
的导数值为该点处切线的斜率。题型二求切线方程例2、曲线的方程为，求此曲线在点处的切线的斜率，以及切线的方程.【答案】【解析】利
用导数的几何意义，曲线在点处的切线的斜率等于函数在处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程.由得，所以曲线在点处的切线斜率为
，过点P的切线方程为，即.【易错点】不能根据曲线的方程起初切线的斜率【思维点拨】曲线在某点处的切线斜率，即在该点处导函数的函数值题
型三单调性问题例3、已知在R上是减函数，则的取值范围.【答案】【解析】函数的导数：由已知得在R上恒成立.当时，，显然在R上不
是恒成立；当时，有解得.综上，所求的取值范围是【易错点】丢掉a=0的情况【思维点拨】对参数问题，务必保持警惕，不要因为“潜在假设”
而失误题型四极值问题例4．求函数的极值.【答案】时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.【解析】(1).令，
解得：或.当变化时，，的变化情况如下表：(-∞，-1)-1(-1，1)1(1,+∞)+0-0+↗5↘1↗因此，时，有极大值，并且极
大值为；当时，有极小值，并且极小值为.【易错点】极值是指的函数值，而非自变量x的值，定义要清楚【思维点拨】用导数求函数极值的步骤（
1）求；（2）求出方程所有的根；（3）对于在函数定义域内的根，逐个进行检验：（建议列表）①如果在根附近的左侧，右侧，那么是极大值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．（4）应当指出的是，有些函数在某些点处的导数不存在，这些点需要单独验证是否是极值点.例如，
在处的导数不存在，但是函数的极值点.题型五最值问题例5．求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】函数在区间上的最大值为，最小值为
.【解析】(1).令，解得：或.当变化时，的变化情况如下表：-3(-3,-2)-2(-2，2)2(2,4)4+0-0+7↗↘↗因
此，函数在区间上的最大值为，最小值为.【易错点】不知道去计算、去比较哪些函数值【思维点拨】求函数在闭区间上的最值的步骤：（1）求函
数在开区间)内的极值；（2）将函数的各极值与和比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【巩固训练】题型一对导数定义的理
解与考查1.3.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为A.6B.18C.5
4D.81【答案】C【解析】∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.2．若，则等于（）A.－2B.－4
C.2D.0【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴，故选B3.(如图所示）函数在点P处
的切线方程是，则=【答案】2【解析】因为函数在点P处的切线方程是，所以，所以=2.考题型二求切线方程1.求曲线经过点的切线方程
.【答案】见解析【解析】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解.由得，所以曲线在点处切线的斜率为若点是切点，则，于是切线方程为，即
；若点不是切点，则切线率，解之得，所以，所以切线方程是，即.2.设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处
的切线垂直，则P的坐标为________．【答案】（1,1）【解析】∵(ex)′＝e0＝1，设P(x0，y0)，有′＝－＝－1，又
∵x0＞0，∴x0＝1，故P的坐标为(1，1)．3．设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【答案】略
【解析】（1）因为，所以依题设，，即解得：（2）由（I）知由即知，与同号令，则所以，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单
调递增故是在区间上的最小值，从而综上可知，，，故的单调递增区间为题型三单调性问题1．设，求函数)的单调区间。【答案】见解析【解析
】，因为x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a2<0.（1）当a1时，对所有x>0，有x2+
(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当00，
解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)，(2-a+,+∞)内单调递增，而当2-a-+(2a-4)x+a2<0，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)内单调递减。2.是定义在内的函数，为其导函数，且恒成立（）A
．B．C．D.【答案】C【解析】由于，得即所以构造函数，由知在是增函数。对于A：即为，错误；对于B：即为，错误；对于C
：即为，正确；3.已知.（I）讨论的单调性；（II）当有最大值,且最大值大为时,求的取值范围.【答案】见解析【解析】（I）的定义
域为，，若，则，在时单调递增。若，则当时，当时。所以在单调递增，在单调递减。（II）由（I）知当时在无最大值；当时，在取得最大值，
最大值为，因此，令，则在是增函数，。于是当时，；当时，。因此的取值范围是4.设函数。证明：在单调递减，在单调递增；【答案】见解析
【解析】设函数。证明：在单调递减，在单调递增；解析：（I）因为，所以在R上恒成立，所以在R上单调递增。而，所以时，；所以时，；所以
在单调递减，在单调递增。题型四极值问题1．设函数的导函数为，若为奇函数，且在上存在极大值，则的图像可能为（）A.
B.C.D.【答案】D【解析】若为奇函数，则的导函数
为是偶函数，否AC。又由于在上存在极大值，即的图象在有“峰”，所以在存在变号零点且由正变负。选D2．设在和处都取得极值，则与的值
为，这时极大值点是；极小值点是。【答案】，x=2，x=1。【解析】因为f(x)在(0,+∞)上连续，可导，又f(x)在x1
=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.[来源:Zxxk.Com]所以当x∈(0,1)时，，所以f(x)
在(0,1]上递减；当x∈(1,2)时，，所以f(x)在[1，2]上递增；当x∈(2,+∞)时，，所以f(x)在[2，+∞）上递减
。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。答案：，x=2，x=1。3.已知函数f(x)＝ex(ax＋b)
－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求
f(x)的极大值．【答案】略【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知，得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b
＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x
－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0
；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2]，[－ln2，＋∞)上单调递增，在[－2，－ln2]
上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．题型五最值问题1．设函数若对于任意都有成
立，求实数的取值范围。【答案】略【解析】令得或。∵当或时，∴在和上为增函数，在上为减函数，∴在处有极大值，在处有极小值。极大值为
,而,∴在上的最大值为7。若对于任意x都有成立,得m的范围。2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a
的取值范围是()A．[0，1)B．(－1，1)C.D．(0，1)【答案】D【解析】f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)
．当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值．当a＞0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．当x∈(－∞
，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；当x∈(－，)时，f(x)单调递减，所以当＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最
小值．答案D3.已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1.(1)当a＝1时，求曲线x＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程
；(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．【答案】略【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝＋lnx－1，x∈(0，＋∞)，所以
f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为.又f(2)＝ln2
－，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2－)＝(x－2)，即x－4y＋4ln2－4＝0.(2)因
为f(x)＝＋lnx－1，所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，则f′(x)>0，f
(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．②若0(0，a)上单调递减，当x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值lna.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0
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