2020届高三好教育精准培优专练培优点八平面向量一、平面向量的建系坐标化应用例1：在中，，边上的高为，则的最小值为．【答案】【解析】以所
在的直线为轴，的中垂线为轴，建立如图所示平面直角的坐标系，则，，，即，，，故当时，取得最小值为，此时．二、平面向量中三点共线问题例
2：设，是两个不共线的单位向量，若满足，且，则当最小时，在与的夹角的余弦值为．【答案】【解析】作，，，∵，且，∴三点共线，∵，，
∴如图所示，当时，最小，又∵，为单位向量，∴，即与的夹角的余弦值为．三、平面向量与三角形的四心问题例3：已知，，是平面内不共线三点
，是的外心，动点满足，则的轨迹一定通过的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心【答案】D【解析】取边的中点，则，由，可得，所以，即
点的轨迹为三角形中边上的中线，故选D．四、平面向量与三角函数结合例4：已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且．（1
）求函数的最小正周期；（2）的图象经过点，求函数在区间上的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，，∵直线是图象
的一条对称轴，∴，解得，又∵，，∴，，即的最小正周期是．（2）∵图象过点，∴，即，故，∵，∴，即，可得，故函数在上的取值范围为．对
点增分集训一、选择题1．已知向量，其中，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，又∵，∴，即的最小值为．2．在
中，为的重心，过作直线分别交直线，于点，，设，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵为的重心，∴，∵，，∴，又∵，，三点共
线，∴，解得．3．若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】
B【解析】∵，，∴原式化为，即对角线构成平行四边形为矩形，∴为直角三角形．4．已知向量，，若是实数，且，则的最小值为（）A．B．
C．D．【答案】C【解析】∵，，∴∴，当时取等号．5．已知非零向量与满足且，则为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等
腰非等边三角形D．等边三角形【答案】D【解析】∵，∴的角平分线与垂直，即，又∵，∴，即，故三角形为等边三角形．6．在中，，线段上
的一点，且，则的最小值时，的模为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴，∵三点共线，∴，即，当且仅当，即，时取等
号，∴，可得．7．在平面内有和点，若，则点是的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】D【解析】∵，，，∴，即，可得，故
是的外心．8．是平面上定点，是平面内不共线三点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【
解析】设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为的角平分线的方向，又，所以与的方向相同，由，可得，所以点在上移动，故的轨迹一定是
通过的内心，故选B．9．已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足，，则动点一定通过的（）A．内心B．外心C．重
心D．垂心【答案】D【解析】∵，∴，可得，即点在边的高上，故点的轨迹经过的垂心．10．在平行四边形中，分别是，的中点，交于点，记，
，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，分别是，的中点，∵三点共线，∴存在实数，使得，∵三点共线，∴存在实数，且，使得，
即，解得，，，故．11．如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】以为原点，
为轴，的垂线为轴，建立坐标系，设，，，则，，，，，，，，∵，，∴，，解得，，即．12．已知是的外心，，，，若，则的最小值为（）A
．B．C．D．【答案】A【解析】如图，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立直角坐标系，则，，，的中垂线为，的中垂线为，求出两直
线的交点坐标即圆心坐标，∴，，，∵，∴，，解得，，即（当且仅当，即时，取等号）．二、填空题13．设，向量，，若，则．【答案】【解
析】∵向量，∴，又∵，∴，即．14．是所在平面上的一点，若，则是三角形．【答案】等腰【解析】∵，．∴为等腰三角形．15．设，
，与的夹角为，则的最小值为．【答案】【解析】∵，∴，又∵与的夹角为，可作，，，如图所示，令，∵，∴三点共线，由图可知当时，的值最
小，∵，∴的最小值为．16．如图，是半径为的圆的直径，是圆上异于的，一点，是线段上靠近的三等分点，且，则的值为．【答案】【解析】
如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则圆：，设，，，∵是线段上靠近的三等分点，∴，解得，即，，∵，∴，解得，即，
故的值为．三、解答题17．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角；（2）求函数的图象的对称中心与对称轴．【答案】（1）；（2）对称
中心：，，对称轴：，．【解析】（1）设向量、的夹角为，∵当时，，，∴，又∵，∴，即向量、的夹角为．（2）由题意得．由，，得，；由，
，得，．所以函数图象的对称轴为，，对称中心为，．18．已知向量，，且函数．（1）求函数的最大值以及取最大值时的取值集合；（2）在中
，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．【答案】（1）函数的最大值为，此时的取值集合为；（2）．【解析】（1）∵向量，，且函数
，∴，当，，即，时，取最大值，∴函数的最大值为，此时的取值集合为．（2）∵，∴，∵为的内角，∴，由余弦定理得，即，又，，故，得．∴的面积．精准培优专练好教育云平台——教育因你我而变13 |
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