第11讲等腰三角形
知识点框架图：
知识点梳理：
（一）等腰三角形的性质
等腰三角形的定义：腰、底边、顶角、底角。
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
（二）等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形)。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（三）方法点拨：等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
经典例题：
例1.等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想
1．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是
2．已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是
3．等腰三角形的两边长是6和7，则三角形的周长为：
4．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，求它的顶角度数。
分析：1、当等腰三角形的顶角是锐角时，一腰上的高在三角形的部？
2、当等腰三角形的顶角是钝角时，一腰上的高在三角形的部？
分别画出图形求解。
例2.等腰三角形边与角计算中的方程思想
如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数。
解：∵在△EBD中，,
∴设(标在图上)
∵在△AED中,,
∴∠=∠
又∵∠是△的外角，
∴
例3.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
例4、已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D。
（1）如图①，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。若BE+CF=9cm，求线段EF的长。
(2)如图②，过点D作DE∥AB，交BC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F。若BC=12cm，求△DEF的周长。
例5.如图，△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在CB的延长线上，求证:DB=CE
例6.如图，AD为△ABC的角平分线，于点E，于点F,连接EF交AD于G。
求证：AD垂直平分EF
若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由。
经典练习
1.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）
A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不对
2.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC
与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）
A.6个B.7个C.8个D.9个
3.如图，是等边三角形，，则的度数是________。
4.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。
5.中，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：。
6.如图，中，AB=AC,,求∠A的度数.
7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，
BC=8，AD⊥BC于点D，则DC=
能力提高
1、如图，过的顶点的直线∥，、的平分线分别交于、两点，若，，则可能的值为（A.8B.15C.20D.24
2.如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD,
连接AD、BE交于点P,作BQ⊥AD,垂足为点Q.求证：BP=2PQ.
3.如图，中，，BD平分。求证：。
(取BE=AB,BF=BD)
4.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,点E是AB上的一个动点，若∠B=60°，AB=BC,且
∠DEC=60°，判断AD+AE与BC的关系，并证明你的结论。(提示：在BC上取点F,使得BF=BE)
课后巩固
1.如图，中，AB=AC,D在BC上，DE⊥AB于E,DF⊥BC交AC于F,若∠EDF=70°，求∠AFD的度数
2.已知：如图，中，于D。求证：。
3.如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数。
4.如图，中，∠EDF=2∠E,FA⊥DE于点A,问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系.
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°。作AB的中垂线分别交
AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE.求证：EF=2DE.
补充备用题
1.如图，∠BAC=30°，点P是∠BAC平分线上的一点，PD⊥AC于D，PE//AC交AB于E，已知AE=10cm，求PD的长度。
2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF//AC,交DE的延长线于点F，连接CF.
求证：AD⊥CF;
连接AF，试判断是否为等腰三角形，并说明理由
2
|
|
