最新人教版八年级数学上册第16讲（竞赛选讲）因式分解之添项拆项,双十字相乘复习教案【精编】

第16讲因式分解的方法—配方法和拆添项法

知识导图：

?

知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。

补充公式：

A卷

一、填空题

1、分解因式：.（拆项法）

2、分解因式：.（添项法）

3、分解因式：.（添项法）

4、（“希望杯”初二试题）分解因式：.

5、（天津市竞赛试题）已知，则.

6、（“希望杯”初二竞赛试题）已知，（），且，则或.（配方法）



二、选择题

7、（“五羊杯”竞赛试题）若x是自然数，设，则（）

A、y一定是完全平方数B、存在有限个x，使y是完全平方数

C、y一定不是完全平方数D、存在无限个x，使y是完全平方数



8、若a、b、c满足，则代数式的最大值是（）

A、27B、18C、15D、12



B卷

一、填空题

9、（全国联赛）已知，且，则.（配方法）

10、整数a、b满足，则.（拆项法）

11、正数a、b、c满足，则，，.

二、选择题

12、（“五羊杯”竞赛试题）a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（）

A、若，则

B、若，则

C、若，则

D、若，则



三、解答题

13、分解因式：

（1）（2）（郑州市竞赛题）（拆项配方）













（3）（拆项配方）（4）（重庆市竞赛题）（拆项配方）













（5）（拆项配方法）（6）















C卷

一、解答题

14、（“希望杯”初二年级培训题）求最大正整数N，使得是是一个完全平方数。















15、（全国数学联赛）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数。

























双十字相乘法

例分解因式













小结：用双十字相乘法对多项式进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

?分解因式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．



(1)

(2)

(3)

(4)



参考答案

A组

1.答案：

解析：原式

提示：本题的关键是将拆为和.

2.答案：

解析：原式

提示：本题的关键是将通过添加，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。

3.答案：

解析：原式



提示：本题的关键是将通过添加，构造立方差公式，进而提取公因式分解。

4.答案：

解析：原式



提示：本题的关键是将通过拆项，构造完全平方公式。（拆项法）

5.答案：2

解析：由题意得：



，，



提示：本题的关键是将通过拆项14，构造完全平方公式。（配方法）

6.答案：

解析：由



故

提示：本题的关键是将利用x、y的倒数关系代换，然后配方。

7.答案：C

解析：

提示：本题的关键是将拆项，然后利用提取公因式法分解即可。（拆项法）

8.答案：A

解析：原式

由于，故原式的最大值为27.

提示：本题的关键是将利用解决问题。（配方法）

9.答案：2

解析：由已知变形得：

故

提示：本题的关键是展开整理配成完全平方式。

10.答案：15

解析：由等式变形得：

，

，

故

提示：本题的关键是将拆项进行因式分解求解。

11.答案：，，

解析：把已知式变形得：



又∵

∴

即，，

故，，

提示：本题的关键是将拆项配成。（拆项法）

12.答案：C

解析：根据；；由

13.（1）解原式





提示：本题的关键是通过添项构成完全平方式，进而利用平方差公式分解。（拆项法）

（2）.解原式





（3）.解原式





（4）解原式







（5）解原式







（6）解：令，，则

原式





14.解：





当，即时，以上括号中的式子可成为完全平方式

若，则

即在两个相邻自然数的平方之间，这是不可能的。

因此，N的最大值为1002.

15.解：

由已知，，

得：，

而

得或

故每人捐款数为47元或25元。































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