圆的相关概念及垂径定理复习教案学生学校年级初三次数科目数学教师日期时段课题圆的内容教学重点圆的基本性质、边角关系、弧长关系的应用垂径定
理、圆的性质应用教学难点1、圆的性质应用、垂径定理的应用、2、圆的性质理解、应用教学目标掌握基本性质及含义。2、熟练应用解题、计算
准确。教学步骤及教学内容一、检查评讲作业1、检查学生的作业、及时指点2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二
、教学内容：圆的内容知识点1：圆的基本性质应用知识点2:垂径定理/两圆公共弦定理知识点3：圆的性质(考题)应用三、课堂练习，小结
圆的切线证明的两种情况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。性质定理：切线垂直于过切点的半径推论1：过圆心垂直于切线的直线
必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。四、作业布置管理人员签字：日期：年月
日【上次课错题回顾】9、（2019·莱芜中考）在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点
的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是.10、(2018·梧州中考)将点A（1，－
3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到点B（a，b），则ab＝．【相似题巩固】7、（2018·淄博中考）如图，四边形EF
GH是由四边形经过旋转得到的．如果用有序数对（2，1）表示方格纸上A点的位置，用（1，2）表示B点的位置，那么四边形旋转得到四边形
EFGH时的旋转中心用有序数对表示是．【新课知识讲解及巩固】一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长
的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹
形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点
的轨迹是这条线段的；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条
直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。有关概
念：圆——到定点的距离等于定长的点的集合圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合圆的外部——可以看作是圆心的距离大于
半径的等圆——圆心不相同，半径相等的圆；同心圆——圆心相同，半径不等的圆。弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。按与半圆的
大小关系可分为：优弧和劣弧等弧——在同圆或等圆中，的两条弧弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最
长的弦。弦心距——圆心到直线的距离弓形——弧与所对的弦所组成得图形。圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部圆的外部
——到圆心的距离大于半径的点的集合叫圆心角：顶点在圆心的角圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。弦切角、
圆内角、圆外角及性质：①顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。②顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两
弧度数差的一半.③顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.确定圆的条件：定理——不在同一直线上的
三点确定一个圆。相关概念及性质——三角形的外接圆、圆的内接三角形、三角形的外心三角形的外心的性质：三角形的外心到。定理：圆的内接
四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角二、圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；垂径定理——垂直
于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂
直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧④在同圆或等圆中,两条平
行弦所夹的弧相等依据垂径定理及其推论①②③可概括为定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他
三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧即：①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出
其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧圆是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。1
、圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。此定理
也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；③；④弧弧推论——在同圆或等圆中
，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角与圆心角的关系：同弧所对
的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴3、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角∴推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所
对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙中，∵是直径或∵∴∴是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那
么这个三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于
斜边的一半的逆定理。4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边形是内接四边形∴
三、圆的相关位置关系（1）点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在
圆外；（2）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交
点；切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端∴是⊙的切线直线和圆位置关系的判定：①依据定义②依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系圆的切线的判定：定
义②依据d=r③用判定定理——圆的切线证明的两种情况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（
如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：
①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的
切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴平分相关概念及性质：三角形的内切圆、圆的外切三角形、三角
形的内心三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形各边距离相等圆的外切四边形两组对边和相等弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周
角（3）、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点；外切（图2）有一个交点；相交（图3）有两个交点；内切（图4）有一
个交点；内含（图5）无交点；一些重要的圆的相关定理圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等
。即：在⊙中，∵弦、相交于点，∴（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙中，∵
直径，∴（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙中，∵是切线，是
割线∴（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙中，∵、是割
线∴两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平
分圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。四、圆的相关运
算（1）圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.（2）、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公
式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图=（2）圆柱的体积：（2）圆锥侧面
展开图（1）=（2）圆锥的体积：专题练习1、如图，直径为10的⊙A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点
，则∠OBC的余弦值为()O1ACB1xy第3题图A.B．C.D．第2题图第1题图2、.如图，⊙O的弦AB垂直平分
半径OC，若AB=则⊙O的半径为（）（A）（B）（C）（D）3、如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与
下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A.点（0，3）B.点（2，3）C.点（5，1）D.点（6，1）
4、一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为(
)_O_A_B_D_CABCDEFO（第5题）ABCDOA、B、C、D、第6题图（第4题图）5、如图，顺次连结圆内
接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（）A.4B.3C.5D.76、如图，若
AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（）(A)116°(B)32°(C)58°（D
)64°7、）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为(
0，8)，则圆心M的坐标为()第7题图A．(－4，5)B．(－5，4)C．(5，－4)D．(4．－5
)8已知两圆半径r1、r2分别是方程x2—7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（）．A．相交B．内切
C．外切D．外离9、已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点
D，则∠CDP等于（）A、30°B、60°C、45°D、50°CDBAEO10题图10、如图，是的直径，交的中点于，于，连接，则
下列结论正确的个数是（）④是的切线A．1个B．2个C．3个D．4个11、如图,AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E
点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；11题图③弧AE=弧BE；
④CE·AB=2BD2．其中正确结论的序号是（）12题图A．①②B．②③C．②④D．③④12、如图，把⊙O1向右平移8个
单位长度得⊙O2，两圆相交于A.B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是（）A.4π-8B.8π-16
C.16π-16D.16π-32二、填空题13、如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥A
D，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于14、已知扇形的面积为12，半径是6，则它的圆心角是。OxyBCA第16题（第1
5题）15、如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥
OD；②；③△ODE∽△ADO；④．其中正确结论的序号是．16、如图，△ABC的外心坐标是__________.17、在平面
直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆，（1）当r时，圆O与坐标轴有1个交点；（2）当r时，圆O
与坐标轴有2个交点；（3）当r时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r时，圆O与坐标轴有4个交点；18、如图，在Rt△ABC中，
∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形E
FGH的周长是．。三、解答题19、如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，．（1）
求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．20、如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝90D是AB边上的一点，以BD
为直径的⊙0与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F.(1）求证：BD=BF;(2）
若BC=12,AD=8，求BF的长．21、如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED
=4，（1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关
系，并说明理由．【作业布置】4课后巩固练习徐汉杰20171007（100分）45minute正确率：一、选择题．(3
0分)1、如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）．A．CE=DEB．C．∠BAC
=∠BADD．AC>AD2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4
B．6C．7D．8图2图33．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不
正确的是（）A．AB⊥CDB．∠AOB=4∠ACDC．D．PO=PDA．45°B．35°C．25°
D．20°4、（2010?大田县）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，
8）两点，则点P的坐标是（）A、（5，3）B、（3，5）C、（5，4）D、（4，5）4题5题5、（2010?潍坊
）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m，则DC的长为（）A、3cmB、2.5
cmC、2cmD、1cm二、填空题(40分)1、如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D
在⊙O上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______度。(1)(2)
(3)(4)2．在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为________。3．如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_______cm。4．如图3，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=_______。5．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=______。6．如图4，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC的周长为______。三、综合提高题(30分)1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数． |
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