高考真题-理科数学-2013
（2）设d为非负整数，证明：d??dn?1，2，3的充分必要条件为a为公差为d的等差数列；
????
nn
（3）证明：若，d?1n?1，2，3则a的项只能是1或2，且有无穷多项为1.
a?2????
nn
1
分析（1）根据所给定义及所给数列的项的最值直接写出；（2）利用充要条件的定义及等差数列的单
调性证明；（3）利用反证法证明.
解析（1）d?d?1，d?d?3．
1234
（2）证明：（充分性）因为a是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a≤a≤a≤
??
n12n
因此A?a,B?a,d?a?a??dn?1，2，3，．
??
nnnn?1nnn?1
（必要性）因为d??d≤0n?1，2，3，，所以
??A?B?d≤B.
n
nnnn
又因为a≤A，a≥B，所以a≤a.于是，A?a，B?a．
nnn?1nnn?1nnnn?1
因此a?a?B?A??d?d,即a是公差为d的等差数列.
??
n?1nnnnn
（3）证明：因为a?2，d?1，所以A?a?2，B?A?d?1.故对任意
1111111
n≥1，a≥B?1．假设an≥2中存在大于2的项.
????
n1n
设m为满足的最小正整数，则m≥2，并且对任意.又因为，
a?21≤k?m，a≤2a?2
mk1
所以A?2，A?a?2,于是，
m?1mm
B?A?d?2?1?1,B?mina,B≥2.
??
mmmm?1mm
故d?A?B≤2?2?0，与d?1矛盾.
m?1m?1m?1m?1
所以对于任意n≥1，有a≤2，即非负整数列a的各项只能为1或2.
??
nn
因为对任意所以
n≥1，a≤2?a,A?2.
n1n
故B?A?d?2?1?1.
nnn
因此对于任意正整数n，存在m满足m?n，且a?1，即数列a有无穷多项为1.
??
mn
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