高考真题-理科数学-2013
AB?AF?BF?2?3x?x?4,AF?BF?3x?x?9xx?1?16，
????
2212221212
2
因而，所以AF，AB，BF成等比数列.
AF?BF?AB
22
22
22．（本小题满分12分）
x1??x
??
已知函数fx=ln1?x?．
????
1?x
（1）若x0时，fx0，求?的最小值；
??
1111
（2）设数列a的通项a?1???????，证明：a?a??ln2．
??
nn2nn
23n4n
分析（1）求出fx的导函数等于0的根为x?0，说明函数fx在区间0,??上单调，分析检验
??????
x2?x
1??
并求解?的最小值；（2）?取最小值时，对x>0总有fx<0，则>ln1?x，
????
22?2x
1
令x?即可构造所证不等式左侧的形式，利用放缩法证明.
k
2
1?2?x??x
??
??
解析（1）由已知f0?0，fx?，f0?0.
??????
2
1?x
??
1
?
若?<，则当00，所以fx>0.
??????
2
1
?
若?≥，则当x>0时，fx<0，所以当x>0时，fx<0.
????
2
1
综上，的最小值是.
?
2
x2?x
1??
（2）证明：令?=，由（1）知，当x>0时，fx<0，即>ln1?x.
????
22?2x
2n?12n?1
??
xk?1k?1
11112k?1
取x?，则>ln.于是a?a????
??
2nn??
??
k2kk?1k4n2k2k?12kk?1
??????
k?nk?n
??
2n?1
k?11
>ln?ln2n?lnn?ln2.所以a?a?>ln2.
?
2nn
k4n
k?n
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