高考真题-理科数学-2012
（21）（本小题满分13分）
2
数列{x}满足：x?0,x??x?x?c(n?N)
1n?1nn
n
（I）证明：数列{x}是单调递减数列的充分必要条件是c?0
n
（II）求c的取值范围，使数列{x}是单调递增数列。
n
【解析】（I）必要条件
2
当时，x??x?x?c?x?数列是单调递减数列
c?0{x}
n?1nnn
n
充分条件
22
数列{x}是单调递减数列?x?x??x?x?c?c?x?0
12111
n
得：数列{x}是单调递减数列的充分必要条件是c?0
n
（II）由（I）得：C?0
①当c?0时，a?a?0，不合题意
n1
2
②当时，x?c?x,x??c?2c?x?c?0?c?1
c?0
2132
22
x?x?c?x?0?x?c?1?0?x?x?c
n?1nnn1n
22
x?x??(x?x)?(x?x)??(x?x)(x?x?1)
n?2n?1n?1nn?1nn?1nn?1n
11
当c?时，x?c??x?x?1?0?x?x与x?x同号，
nnn?1n?2n?1n?1n
42
由x?x?c?0?x?x?0?x?x
21n?2nn?1n
2
limx?lim(?x?x?c)?limx?c
n?1nnn
n??n??n??
11
当c?时，存在N，使x??x?x?1?x?x与x?x异号
NNN?1N?2N?1N?1N
42
与数列是单调递减数列矛盾
{x}
n
1
得：当0?c?时，数列{x}是单调递增数列.
n
4
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