高考真题-理科数学-2012
经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
2t?1
|r(A)|?|r(A)|?，
12
t?2
2
t?t?1t?12t?1
|c(A)|?|c(A)|?...?|c(A)|?1??1??，
12t
t(t?2)t?2t?2
t?12t?1
|c(A)|?|c(A)|?...?|c(A)|?1??.
t?1t?22t?1
t?2t?2
2t?12t?1
下面证明是最大值.若不然，则存在一个数表A?S(2,2t?1)，使得k(A)?x?.
t?2t?2
由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其
绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于x?1，故A的每一列两个数
[x,2]
x?1
符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.
设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g?h，则g?t,h?t?1.另外，由
对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.
t?1
考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于个负数，每个正数的绝对
值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x?1（即每个负数均不超过1?x）.因此
|r(A)|?r(A)?t?1?(t?1)(1?x)?2t?1?(t?1)x?x?2t?1?(t?2)x?x，
??
11
2t?1
故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾.因此kA的最大值为。
??
t?2
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