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| 人教版 八年级下册数学图形的对称-翻折变换（折叠问题）练习题【精编】 |
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图形的对称-翻折变换（折叠问题）
一．选择题（共30小题）
1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）
A．1 B．2 C．2 D．12
2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）
A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21
3．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）
A． B． C． D．
4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）
A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8
5．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）
①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）
A．70° B．65° C．80° D．35°
7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）
A．3 B．4 C．3.5 D．6
8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）
A． B． C． D．
9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）
A．小平的作法正确，张萌的作法不正确
B．两人的作法都不正确
C．张萌的作法正确，小平的作法不正确
D．两人的作法都正确
10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）
A．12 B．16 C．18 D．24
11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）
A．cm B．cm C．2cm D．cm
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）
A．y=﹣ B．y=﹣x+ C．y=﹣ D．y=﹣2x+
14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）
A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+5
15．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）
A．AF=
B．四边形ACDE是矩形
C．图中与△ABC全等的三角形有4个
D．图中有4个等腰三角形
17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）
A．16 B．17 C．18 D．19
18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）
A． B． C． D．
19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）
A．（2，1） B．（2，3） C．（4，1） D．（0，2）
21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）
A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm
22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
23．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）
A． B．2 C．2 D．
24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
26．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
27．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）
A． B． C．1 D．
28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
29．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=．其中所有正确结论的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
30．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF的长为（）
A． B． C．2 D．1
图形的对称-翻折变换（折叠问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）
A．1 B．2 C．2 D．12
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．
【解答】解：∵菱形AECF，AB=6，
∴假设BE=x，
∴AE=6﹣x，
∴CE=6﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，
2BE=CE，
∴CE=2x，
∴2x=6﹣x，
解得：x=2，
∴CE=4，利用勾股定理得出：
BC2+BE2=EC2，
BC===2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）
A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=，则EC=8﹣=，
利用三角形面积公式计算出S△BCE=BC?CE=×6×=，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED==，利用三角形面积公式计算出S△BDE=BD?DE=×5×=，然后求出两面积的比．
【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，
∴AB==10，
∵把△ABC沿DE使A与B重合，
∴AD=BD，EA=EB，
∴BD=AB=5，
设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，
在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=（8﹣x）2+62，
∴x=，
∴EC=8﹣x=8﹣=，
∴S△BCE=BC?CE=×6×=，
在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，
∴ED==，
∴S△BDE=BD?DE=×5×=，
∴S△BCE：S△BDE=：=14：25．
故选B．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．
3．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】在Rt△ABC中，设AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE的正弦值．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，
∴AC=a，BC=a；
∵△ABD是等边三角形，
∴AD=AB=2a；
设DE=EC=x，则AE=2a﹣x；
在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2=x2，解得x=；
∴AE=，EC=，
∴sin∠ACE==．
故选：B．
【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）
A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图，作辅助线；首先求出△BDP的面积，进而求出△DPC的面积；借助三角形的面积公式求出的值；由旋转变换的性质得到AB=PB，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；
由题意得：S△ABD=S△PBD=30，
∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，
∴=，
由题意得：AB=BP，
∴AB：PC=3：2，
故选A．
【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的方法是作高线，表示出三角形的面积；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、推理或解答．
5．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）
①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AEB+∠FEC=×180°=90°，
则∠AEF=90°，即∠2=90°，①正确；
由图形可知，∠1＜∠AEC，②错误；
∵∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°，又∠1+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠3，④正确；
∵∠BAE=∠3，∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，③正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）
A．70° B．65° C．80° D．35°
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据平角的知识可求出∠DED′的度数，再由折叠的性质可得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，从而根据平行线的性质可得出∠EFB的度数．
【解答】解：∵∠AED′=40°，
∴∠DED′=180°﹣40°=140°，
又由折叠的性质可得，∠D′EF=∠DEF=∠DED′，
∴∠DEF=70°，
又∵AD∥BC，
∴∠EFB=70°．
故选：A．
【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，难度一般．
7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）
A．3 B．4 C．3.5 D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由矩形的性质得到∠1=∠CFE=60°，由折叠可得∠2=60°，从而求得∠4的度数，得到AE=EC，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得EC的长度，即可得到答案．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴BC∥AD，
∴∠1=∠CFE=60°，
∵EF为折痕，
∴∠2=∠1=60°，AE=EC，
∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°，
Rt△CDE中，∠4=90°﹣60°=30°，
∴EC=2×DE=2×1=2，
∴BC=AE+ED=EC+ED=2+1=3．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折问题；由折叠得到角相等，得到AE=EC利用勾股定理求解是正确解答本题的关键．
8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由四边形ABCD是矩形与△AEC由△ABC翻折得到，AD=CE，∠ADF=∠CEF，由AAS证得△ADF≌△CEF，的长FA=FC，设DF=x，则FA=4﹣x，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即可求出DF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折得到，
∴BC=EC，∠CEF=∠ABC=90°，
∴AD=CE，∠ADF=∠CEF，
在△ADF与△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴FA=FC，
设DF=x，则FA=FC=DC﹣DF=4﹣x，
在Rt△DFA中，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，
即32+x2=（4﹣x）2，
解得：x=，
即DF的长是．
故选C．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，得到相等的线段与角是解决问题的关键．
9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）
A．小平的作法正确，张萌的作法不正确
B．两人的作法都不正确
C．张萌的作法正确，小平的作法不正确
D．两人的作法都正确
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】在图1中，由BM=2BF推出∠BMF=30°，所以∠MBF=60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．
【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC
∵AE=ED=BF=FC，AB=BM，
∴BM=2BF，
∵∠MFB=90°，
∴∠BMF=30°，
∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，
∵MB=MC，
∴△MBC是等边三角形，
∴张萌的作法正确．
在图2中，∵BM=BC=2BF，∠MFB=90°，
∴∠BMF=30°，
∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，
∵MB=MC
∴△MBC是等边三角形，
∴小平的作法正确．
故选D．
【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．
10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）
A．12 B．16 C．18 D．24
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，易得△CEF的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，
∵BF==6，
∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，
∴△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=12．
故选A．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，利用勾股定理得CF的长是解答此题的关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．
【解答】解：设CE=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52﹣32=16，
∴AF=4，DF=5﹣4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即x2=（3﹣x）2+12，
解得：x=．
故选B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）
A．cm B．cm C．2cm D．cm
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，
∴BC==3cm，
∵将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，
∴△BED≌△BCD，
∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，
∴AE=AB﹣BE=2cm，
设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，
由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，
即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=．
故选：B．
【点评】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）
A．y=﹣ B．y=﹣x+ C．y=﹣ D．y=﹣2x+
【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．
【分析】由点A（0，4）、B（3，0），可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得OA′的长，且△A′OC∽△AOB，再由相似三角形的性质，求得OC的长，继而利用待定系数法求得直线BC的解析式．
【解答】解：∵点A（0，4）、B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
由折叠的性质可得：A′B=AB=5，∠OA′C=∠OAB，
∴OA′=A′B﹣OB=2，
∵∠A′OC=∠AOB=90°，
∴△A′OC∽△AOB，
∴，
即，
解得：OC=，
∴点C的坐标为：（0，），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+．
故选C．
【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．注意求得点C的坐标是解此题的关键．
14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）
A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+5
【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．
【分析】首先在RT△ABE中，求出EB，再在RT△CDE中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵△ADE是由△ADO翻折，
∴DE=DO，AO=AE=10，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=8，AO=BC=10，∠B=∠BCO=∠BAO=90°，
在RT△ABE中，∵AE=10，AB=8，
∴EB===6，
∴EC=4，设DO=DE=x，
在RT△DCE中，∵CD2+CE2=DE2，
∴（8﹣a）2+42=a2，
∴a=5，
∴点D（0，5），点E（4，8），设直线DE为y=kx+b，
∴解得，
∴直线DE为：y=+5．
故选A．
【点评】本题考查翻折变换、待定系数法确定一次函数的解析式，解题的关键是巧妙利用勾股定理，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．
15．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先由DE∥BC与折叠的性质，可证得DE是△ABC的中位线，继而求得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，
由折叠的性质可得：∠ADE=∠EDF，AD=DF，
∴∠B=∠BFD，
∴BD=DF，
∴AD=BD，
同理：AE=EC，
∴DE=BC，
即BC=2DE=4．
故选B．
【点评】此题考查了折叠的性质以及三角形中位线的性质．注意证得DE是△ABC的中位线是关键．
16．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）
A．AF=
B．四边形ACDE是矩形
C．图中与△ABC全等的三角形有4个
D．图中有4个等腰三角形
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，等量代换得到AE=CD，AD=CE，推出四边形ACDE是平行四边形，于是得到AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确；根据平行四边形和矩形的性质得到△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，于是得到图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；推出△BCE是等腰三角形，△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，于是得到图中有5个等腰三角形，故D错误．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，
∴AE=CD，AD=CE，
∵点B、A、E在同一条直线上，
∴AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，
∴△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，
∴图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；
∵BC=CE，
∴△BCE是等腰三角形，
∵四边形ACDE是矩形，
∴AF=EF=CF=DF，
∴△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，
∴图中有5个等腰三角形，故D错误；
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等腰三角形和矩形的判定方法．
17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）
A．16 B．17 C．18 D．19
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据勾股定理得到BC=8，由折叠的性质得到BD=CD=BC=4，DE⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到DE=AB=3，AE=AC=5，于是得到结论．
【解答】解：∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，
∴BC=8，
∵将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，
∴BD=CD=BC=4，DE⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴DE∥AB，
∴DE=AB=3，AE=AC=5，
∴四边形ABDE的周长=AB+AE+DE+BD=6+5+3+4=18，
故选C．
【点评】此题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．
【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°．
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵，
∴设AD=1，BC=4，
过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形．
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5
∴AB=CD==5，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，
∵∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴，
∴DF=，
∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，
∴=．
故选B．
【点评】此题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常用辅助线解决问题．
19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；
【解答】解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=GF，
∵E是边CD的中点，
∴DE=CE=6，
设BG=x，则CG=12﹣x，GE=x+6，
∵GE2=CG2+CE2
∴（x+6）2=（12﹣x）2+62，
解得x=4
∴BG=4．
故选B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）
A．（2，1） B．（2，3） C．（4，1） D．（0，2）
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【分析】根据关于y轴对称的点的特点找到B''，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．
【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，
∴点B与点B′关于y轴对称，
∴B′（2，3），
故选B．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，坐标与图形的关系，熟记关于y轴对称的点的特点是解答本题的关键．
21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）
A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据翻折变换的性质可得AE=EC，AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC的边AC对折顶点C和点A重合，
∴AE=EC，AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
∵AE=6cm，
∴AC=AE+EC=6+6=12，
∵△ABC的周长为36cm，
∴AB+BC=36﹣12=24cm，
∴△ABD的周长是24cm．
故选A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边是解题的关键．
22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE，FA=FC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠FCA=∠CAB，又∠FAC=∠CAB，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC=，
∴FD=FE，
∵DC=AB=8，AF=，
∴FD=FE=8﹣=，
∴AD=BC=EC==6，
故选：D．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
23．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）
A． B．2 C．2 D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，
∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，
∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，
∴∠ADE=∠A′DE，
∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，
在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=5÷=cm，
在Rt△BDE中，DE=BD?tan30°=×=cm．
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．
24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据题意得到：△AED≌△ACD；进而得到AE=AC=6，DE=CD；根据勾股定理求出AB=10；再次利用勾股定理列出关于线段CD的方程，问题即可解决．
【解答】解：
由勾股定理得：
==10，
由题意得：△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，DE=CD（设为x）；
∠AED=∠C=90°，
∴BE=10﹣6=4，BD=8﹣x；
由勾股定理得：
（8﹣x）2=42+x2，
解得：x=3（cm），
故选B．
【点评】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是借助翻折变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析、判断、推理或解答．
25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，
解之得：x=3，
∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，
∴S△AFC=?AF?BC=10．
故选C．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
26．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=AE+DE=AE+BE=9．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．
解得AE=4．
∴△ABE的面积为3×4÷2=6．
故选：A．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
27．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）
A． B． C．1 D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，利用勾股定理即可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得AE的长，继而求得答案．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=，
∴AB==，
由折叠的性质可得：AE=AB=，
∴CE=AE﹣AC=．
故选A．
【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．
28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用平行四边形的对边相等得到AD=BC=4，DC=AB=6，再由折叠的性质得到DE=AD，由DC﹣DE求出EC的长即可．
【解答】解：由折叠及平行四边形的性质得：AE=AD=BC=4，DC=AB=6，
则EC=DC﹣DE=6﹣4=2，
故选B．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
29．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=．其中所有正确结论的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的，问题得解．
【解答】解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=?S△GBE=×24=，故④正确．
综上可知正确的结论的是3个．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
30．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF的长为（）
A． B． C．2 D．1
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】设DF=FD′=x，在RT△CFD′中利用勾股定理求出x即可解决问题．
【解答】解：如图，∵△EFD′是由△EFD翻折得到，
∴DF=FD′，设DF=FD′=x，
在RT△CFD′中，∵∠C=90°，CF=6﹣x，CD′=BC=4，
∴x2=42+（6﹣x）2，
∴x=，
∴CF=6﹣x=．
故选B．
【点评】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．
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