第1讲常用逻辑
【知识要点】
一、命题的定义：可以判断真假的语句叫命题。正确的叫真命题，错误的叫假命题。
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
二、简单命题与复合命题：
简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题。
复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
复合命题的真假判断：
p q p且q() P或q() 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 P 非p（） 真 假 假 真
复合命题的否定
的否定为的否定为
三、四种命题的概念
条件命题的概念：形如若p则q的命题叫做条件命题，其中p是条件，q是结论
如果原命题为：若p则q，则它的：
逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题；
否命题为：若┐p则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题；
逆否命题为：若┐q则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.
注意：条件命题的否定（又称非命题）的形式为：若p则┐q.
四种命题的关系：原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题（互为逆否命题）同真假
四、充分条件与必要条件
定义：如果已知p(q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
如果既有p(q，又有q(p，就记作：pq.“”叫做等价符号。这时p是q的充分必要条件，简称充要条件。
五、全称命题与特称命题
定义：含有全称量词任意的、所有的、每一个…的命题叫全称命题，其一般形式为：
含有特称量词存在、有一个、至少有一个…的命题叫特称命题，其一般形式为：
全称命题的否定形式：的否定形式为
特称命题的否定形式：的否定形式为
【题型分析】
题型一复合命题
例1.命题p：若的夹角为钝角，
命题q：定义域为R的函数上都是增函数，则上是增函数
下列说法正确的是 （）
A．“p且q”是假命题 B．“p或q”是真命题
C．为假命题 D．为假命题
变式训练一
1.由下列各组命题构成的复合命题中，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
“非p”为真命题的是()
(A)p：11不是质数，q；6是18和15的因数．
(B)p：0∈N﹡{-1,0,1}．
(C)p：方程x2-3x+1=0的两根相异,q：方程2x2-3=0的两根互为相反数，
(D)p：矩形的对角线相等，q：菱形的对角线相互垂直，
2.若“或”是假命题，则的范围是___________。
题型二条件命题
例2.命题：“若，则”的逆否命题是（）
A若，则 B.若，则
C.若，则D.若，则
例3.设原命题：若，则中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是（）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
变式训练二
1．给定下列命题：
若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；
“矩形的对角线相等”的逆命题；“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，bR，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
若非是的充分不必要条件，求的取值范围。
变式训练三
1.（陕西理科）“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2.“”是“直线与直线互相垂直”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，则是的（）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型四全称命题与特称命题
例6（辽宁卷文）下列4个命题
>
其中的真命题是（）
（A）（B）（C）（D）
例7（天津卷理）命题“存在R，0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（）
（A）不存在R,>0（B）存在R,0
（C）对任意的R,0（D）对任意的R,>0
变式训练四
1.（四川卷）设，集合是奇数集，集合是偶数集。若命题，则（）
A）（B）
（C）（D）
题型五反证法
原理：要证原命题的正确性，可转化为证明它的逆否命题
例8.设，求证：不同时大于
变式训练五
1.若，，.试用反证法证明：.
【经典练习】
1.若p是真命题，q是假命题，则()
A．pq是真命题B．pq是假命题C．p是真命题D．q是真命题已知a，b，cR，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3nN，>，则P为（）
（A）nN,>（B）nN,≤
（C）nN,≤（D）nN,=
5（天津理科）设，则“”是“”的（）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
6.（广东卷6）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）
A． B． C． D．
7.已知，则“”是“”的 （）
A．既不充分也不必要条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
8.已知命题p：x∈R，cosx＝；命题q：x∈R，x2－x＋1>0.则下列结论正确的是()
A．命题pq是真命题B．命题pq是真命题
C．命题pq是真命题D．命题pq是假命题已知条件，条件，则是的（）
A充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件：，则（）
A.B.
C.D.
11.(山东)命题“对任意的”的否定是（）
A.不存在B.存在
C.存在D.对任意的
12.a、b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(ax＋b)·(xb－a)为一次函数”的()
A．充分而不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件”是真命题，则实数的最小值为.
14．是否存在实数p,使“4x+<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在，求出p的取值范围．是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件，如果存在，求出p的取值范围．已知mR，设命题P：|m－5|≤3；命题Q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点．求使命题“P或Q”为真命题的实数的取值范围．设p:实数x满足,其中,实数满足
（Ⅰ）若且为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件,求实数的取值范围.
，，均为实数，且，，，求证：，，中至少有一个大于0
【能力提高】
1.已知甲：a+b≠4，乙：a≠1且b≠3，则甲是乙的________条件．
(四川)设S为实数集R的非空子集．若对任意x，yS，都有x＋y，x－y，xyS，则称S为封闭集．下列命题：
集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；
若S为封闭集，则一定有0S；
封闭集一定是无限集；
若S为封闭集，则满足ST?R的任意集合T也是封闭集．
其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．
函数的图像必过定点（-1,1）；命题如果函数的图像关于点（3,0）对称，那么函数的图像关于原点对称，则（）
A．“p且q”为真B.“p或q”为假C.p真q假D.p假q真
4.已知；若是的必要非充分条件，求实数的取值范围。
【课后练习】
1.“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分必要条件“x＝2kπ＋(kZ)”是“tanx＝1”成立的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件
对任意实数a，b，c，给出下列命题：
“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
“a>b”是“a2>b2”的充分条件；“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的个数是()
A．1B．2C．3D．4已知命题：“，”，请写出命题的否定:.w.
5.设命题p:函数f(x)=是R上的减函数，命题q:函数的定义域为R，如果“（非p）或q”为假命题，求实数的a取值范围。
6．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A＝90都大于，即
，而
得
即，自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立
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