第2讲椭圆的概念及标准方程
【知识要点】
一、椭圆的定义：
平面内到两定点F1F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．（长轴、短轴的概念）
二、椭圆的标准方程的推导：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程．
三、椭圆的标准方程：
（1）表示焦点在x轴上的椭圆，焦点是F1(-c,0),F2(c,0);
(2)表示焦点在y轴上的椭圆，焦点是F1(0,-c),F2(0,c);
在两种标准方程中c2=a2-b2，将(1)方程的x、y互换即可得到（2）；
②∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
四、椭圆的一般方程：
（其中），（当时，焦点在x轴；当时焦点在y轴）
五、椭圆的离心率（描述椭圆的圆与扁的程度）：
（0
六、焦半径公式，焦三角形面积公式：（选讲）
设P是椭圆（a>b>0）上任意一点
则左焦半径；右焦半径
又记∠=,则焦三角形的面积：
七、最远与最近距离
椭圆上的点到椭圆中心的最远距离为，最近距离为，到一个焦点的最远距离为，最近距离为
【题型分析】
题型一求曲线的轨迹方程
例1如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
变式训练一
1.已知点P在直线x=2上移动，直线l过原点，并且与射线OP垂直.通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q.求点Q的轨迹方程.
题型二椭圆的概念
例2.已知定圆x2+y2-6x-55=0，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程．
变式训练二
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()
A．椭圆B．直线C．圆D．线段
2.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，AQ的垂直平分线与CQ的连线的交点为M，则点M的轨迹方程为.
3.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点构成的
△的周长是（）
A．2B.4C.D.
题型三椭圆的标准方程
例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),且椭圆经过点.
（2）椭圆经过点
例4.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）
A． B．C．2 D．4
变式训练三
1．已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且过点(-1,-2)，求椭圆C的方程。
2.椭圆的一个焦点是，那么等于（）
A. B. C. D.
3．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是____________
题型四椭圆的离心率问题
例5.连接椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）
A.B.C.D.
变式训练四
1.F1,F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率
为________________
2.在△ABC中，AB=BC，，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为_______
3.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以O为圆心，为半径作圆M，若过
作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为___________
题型五焦三角形问题
例6.椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是____________
例7.已知、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点。
（1）若=，求△的面积；（2）求的最大值。
变式训练五
1.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．(0,1)B.C.D.
2.是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积
为（）
A．B．C．D．
3、椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（）
A．B．C．D．
【经典练习】
1．化简方程=10为不含根式的形式是（）
（A）（B）（C）（D）
2.（广东文科）已知椭圆（）的左焦点为，则（）
A．B．C．D． B. C. D.
4.已知方程表示椭圆，则k的取值范围是（）
Ａ．k>5 Ｂ．k<3 Ｃ．3
5、已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则||+||的值为（）
??A、11???B、10????C、9????D、16
6.以椭圆的右焦点F２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F１，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为 （）
A． B． C．２－ D．－１
7.设为椭圆的两个焦点，，为椭圆上的点，，且，则点的个数是（）
A.4B.3C.2D.1
8.已知为椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若△是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）
A.B.C.D.
9.直线x＋2y－2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．
10.已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为(0,2)，则m的值是。
11．若y2－lga·x2=－a表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是.
12．若椭圆的离心率为=，则k的值等于.
13．点P为椭圆上的一点，F1和F2是其焦点，若∠F1PF2=45°，则△F1PF2的面积为.
14.P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是______．
15.已知圆：.圆：.一动圆P与外切,与内切,求动圆圆心P的轨迹方程.
16.已知椭圆的焦点是F1(-1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
求椭圆的方程；
（2）若点P在第三象限，且∠PF1F2=120o,求tan∠F1PF2.
17.已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．
【课后巩固】
1.若椭圆a2x2－=1的一个焦点是(－2,0)，则a=（）
（A）（B）（C）（D）
2．点P为椭圆上一点，以点P以及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标是（）
（A）(±,1)（B）(,±1)（C）(,1)（D）(±,±1)
3．椭圆的焦点坐标是（）
（A）(±7,0)（B）(0,±7)（C）(±,0)（D）(0,±)
4.设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是()
A．钝角三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．直角三角形
5．过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的三角形△ABF2的周长是.
6．椭圆(a>b>0)的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标为c，则椭圆的离心率为.
7.已知椭圆x2+（m+3）y求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标
期望数学岛
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