第3讲椭圆的性质和位置关系
【知识要点】
一、焦点在x轴和在y轴上的两种标准方程的几何性质比较：
标准方程 图形 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 轴长 短轴长，长轴长. 离心率 二、直线与椭圆的位置
联立直线方程与椭圆方程，相切：△=0；相交：△>0；相离：△<0
相交弦长（设交点为A、B）：
三、中点弦问题（点差法）
设直线与椭圆的相交弦为AB，且AB的中点P（）
则直线的斜率
四、椭圆的第二定义、平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。
定点为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线
【题型分析】
题型一、椭圆的简单几何性质
例1.已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标
例2.如右图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F，F，线段OF，OF的中点分别为B，B，且△AB是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B作直线l交椭圆于P，Q两点，使PBQB2，求直线l的方程．，过椭圆的右焦点作轴的垂线交椭圆于A、B两点，若则椭圆的离心率等于（）
A．B.C.D.
2.已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，直线x+y+1=0与椭圆交于P，Q两点，且，求这个椭圆的方程。
题型二椭圆中的最值问题
例3.已知椭圆C：，P是曲线C上的动点，定点A的坐标为（2,0），求|PA|的最大值与最小值。
变式训练二
1.若动点（，）在曲线上变化，则的最大值为（）
A.B.C.D.
2.已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）
A.0B.1C.2D.
题型三直线和椭圆的位置
例4.当m取何值时,直线:y=x+m与椭圆C:相离、相切、相交?
例5.已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于A,B两点，则|AB|的长为_______
例6.已知椭圆，直线，问椭圆上是否存在一点到直线的距离最小，最小距离是多少？并求出该点的坐标。
变式训练三
1．若直线和圆O：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）
A.2B.1C.0D.0或1
2.已知椭圆，直线
（1）当m为何值时，直线与椭圆有两个交点。
（2）当m=4时，椭圆上是否存在一点，使其到直线的距离最大，并求最大距离和该点的坐标。
3.已知椭圆及直线
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）当直线被椭圆截得的弦最长时，求直线的方程
题型四中点弦问题
例7.已知椭圆（1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
（2）求过点Q（8，2）的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程；
（3）过点P（2，1）作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程
变式训练四
1.已知动点P到定点和到定直线的距离之比为
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）试问是否存在直线，使与所求的轨迹交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由
题型五对称问题
例8（浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线对称
（1）求实数的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）
变式训练五
已知椭圆C的标准方程为，试确定m的取值范围，使得对于直线：，椭圆C上有不同的两点关于直线对称。
【经典练习】
1．若椭圆的离心率，则的值是（）．
A．B．或C．D．或
2．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（）．
A．B．C．D．
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（）．
A.B.3C.D.
4.设、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A、B两点，且，，则椭圆的离心率为（）
A．B.C.D.
5.已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线：交椭圆E于A,B两点.若,点M到直线的距离不小于，则椭圆E的取值范围是（）
A.B.C.D.
6.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则的最大值为（）
A.2B.3C.6D.8
7.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）
A.必在圆内B.必在圆上
C.必在圆外D.以上三种情形都有可能
8.已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）
A.B.C.D.
9．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是．
10.椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是．
11.中点在原点，一个焦点为（0,），且直线被椭圆截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为_________________
12.在△ABC中，AB=BC，，若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为_______
13.斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长。
14.已知椭圆，直线：。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？
15.椭圆C:，直线与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到直线的距离为，求△AOB面积的最大值
【课后练习】
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点，；⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点；
⑶焦距是，离心率等于．
2.若椭圆，一组平行直线的斜率是
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？
3.(课标2)已知椭圆C:，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
（1）证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出的斜率；若不能，说明理由
拓展学习（椭圆的第二定义应用）
例.定点A（），F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使得取得最小值。
变式训练
1.给定A（-2，2），已知B是椭圆上的动点，当取最小值时，求B的坐标。
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